惠州市2020 届10月高三理科数学第二次调研考试卷（理数含答案）.pdf

1、数学试题（理科） 惠州市 2020 届高三第二次调研考试 惠州市 2020 届高三第二次调研考试 理科数学 理科数学 2019.10 全卷满分 150 分，时间 120 分钟 注意事项： 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填 写在答题卡上。 2作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信 息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上， 写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小

2、题 5 分，共分，共 60 分分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求 在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求. 1集合 Mx | lg x 0，Nx | x2 4，则 M N（ ）. A(-2,0) B1,2) C(1,2 D(0,2 2设复数z满足(1 )1i zi（其中i为虚数单位） ，则z （ ）. Ai Bi C2i D2i 3已知 n S为数列 n a的前n项和，1 nn Sa，则 5 S（ ）. A 31 16 B 31 2 C 1 32 D 31 32 4已知, a b为互相垂直的单位向量，若=cab，则cos, b c（ ）. A 2 2 B 2 2

3、C 3 3 D 3 3 5下列说法正确的是（ ） 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指 标检测，这样的抽样是分层抽样 某地气象局预报：5 月 9 日本地降水概率为 90%，结果这天没下雨，这表明天气预 报并不科学 在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 在回归直线方程中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，预报变量增 加 0.1 个单位 A B C D 101 . 0 +=+=xyy 数学试题（理科） 6若 31 cos 23 = ，且 22 ，则sin2的值为（ ）. A 4 2 9 B 2 2 9 C 2 2 9 D 4 2 9

4、7设:p实数, x y满足()() 22 112xy+，:q实数, x y满足 1, 1 1 yx yx y ， 则p是q的（ ）条件. A必要不充分 B充分不必要 C充要 D既不充分也不必要 8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是 “每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 40=3+37在不超过 40 的素数中， 随机选取 2 个不同的数，其和等于 40 的概率是（ ）. A 1 15 B 1 17 C 1 22 D 1 26 【注：如果一个大于 1 的整数除了 1 和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数。 】 9函数 1 ( ) ln1 f

5、 x xx = 的图象大致是（ ）. A. B. C. D. 10我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知 1 F、 2 F是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当 12 60FPF=时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ） A3 B 2 C 2 3 3 D2 数学试题（理科） 11已知矩形ABCD，1AB =，3BC =，将ADC 沿对角线AC进行翻折，得到三 棱锥DABC，则在翻折的过程中，有下列结论： 三棱锥DABC的体积最大值为 3 1 ； 三棱锥DABC的外接球体积不变； 三棱锥DABC的体积最大值时，二面角DACB的大小是 60；

6、 异面直线AB与CD所成角的最大值为90 其中正确的是（ ）. A B C D 12设函数 m x xf sin3)(=，若存在)(xf的极值点 0 x满足 2 2 0 2 0 )(mxfx+， 则m的取值范围是（ ）. A(，6)(6，) B(，4)(4，) C(，2)(2，) D(，1)(1，) 二填空题：本题共二填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分，其中第分，其中第15题第一空题第一空3分，第二空分，第二空2分。分。 13已知函数 3 ( )lnf xaxx的图象在点(1, (1)f处的切线斜率为 2， 则a的值等于_ 14某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了

7、100 个样本。若样本数据 1 x， 2 x， 100 x的方差为8，则数据 1 21x ， 2 21x ， 100 21x的方差为_ 15设x、y为正数，若 1 2 y x+=，则 12 xy + 的最小值是 ，此时x= 16已知椭圆() 22 22 10 xy ab ab +=的短轴长为 2，上顶点为A，左顶点为B，左、右 焦点分别是 1 F， 2 F，且 1 F AB的面积为 23 2 ，点P为椭圆上的任意一点， 则 12 11 PFPF +的取值范围是 . 数学试题（理科） 三解答题：共三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算

8、步骤。第1721题为必考 题，每个考生都必须作答。第 题为必考 题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共60分。分。 17 （本小题满分 12 分） 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,ca b，已知2a，5b =，2BA= （1）求cos A； （2）求c边的值 18（本小题满分 12 分） 在数列 n a中， 1 1a， 2 8 3 a， 1 11 1 nn n n aa n + + =+ ，其中 * nN，为常 数 （1）求的值； （2）设 n n a b n ，求数列 n b的通项公式

9、 19 （本小题满分 12 分） 如图，在底面为矩形的四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD （1）证明：ABPD； （2）若,90PAPDABAPD，设Q为PB中点， 求直线AQ与平面PBC所成角的余弦值 P A B C D 数学试题（理科） 20 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 :2C yx的焦点为F，直线l与C交于,A B两点，且与x轴交于点 ( ,0)P a （1）若直线l的斜率 3 2 k，且 3 2 FP，求AFBF的值； （2）若0a ，x轴上是否存在点M，总有OMAOMB？ 若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由 数学试题（理科） 数学试题（理科） 21 （本

10、小题满分 12 分） 已知函数 1 2 2 ( )ln x e f xax xx =+ （a为常数）在区间()0,2内有两个极值点 () 1212 ,x xxx （1）求实数a的取值范围； （2）求证：() 12 2 1 lnxxa+ 数学试题（理科） 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知关于x的不等式20xmx+的解集为 |2x x ，其中0m. （1）求m的值； （2）若正数a、b、c满足abcm+ + =，求证： 222 2 bca abc + . （二）选考题：共（二）选考题：共10分。请考生在第分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第

11、一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系xOy中， 圆C的参数方程为 cos 1 sin x y = = + (为参数) 以原 点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系 （1）求圆C的普通方程及其极坐标方程； （2）设直线l的极坐标方程为sin()2 3 +=，射线: 6 OM =与圆C的交点为P （异于极点） ，与直线l的交点为 Q，求线段 PQ 的长 数学试题（理科）答案 第 1 页，共 12

12、 页 惠州市 2020 届高三第二次调研考试 理科数学参考答案与评分细则 惠州市 2020 届高三第二次调研考试 理科数学参考答案与评分细则 一、选择题：一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D A B A A C B A C C 1 【解析】1 ,| 22Mx xNxx= ，所以(12MN = ，故选 C 2 【解析】(1)z1ii+= ， 2 1(1)2 z 1(1)(1)2 iii i iii = + ，z的共轭复数为zi=，故选 B 3【解析】 11 1 2 1 nn nn Sa n Sa = = 时，两式相减，整理得 11 1 11

13、2, 22 n nn n a aaa a = ， 所以 n a是首项为 1 2 ，公比为 1 2 的等比数列， 5 5 11 1 22 31 1 32 1 2 S = ，故选 D 4【解析】代数法： 2 22 2 ()12 cos, 22 () 2 aa a aa b cbbbb b c b c b b b ,故选 A. 几何法： 5 【解析】属于系统抽样，故错误；概率只说明事件发生的可能性，某次试验中不一定发生，所以 并不能说明天气预报不科学，故错误；正确. 故选 B 6.【解析】 311 cossin,sin,cos 233 2 2 223 = = = ， 12 24 2 sin22sin

14、cos2 339 = = ，故选 A. 7 【解析】如图：，由集合的包含关系可知选 A 8 【解析】不超过 40 的素数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37，共 12 个数，其中 403 3711 291723= +=+=+，共 3 组数，所以其和等于 40 的概率为： 2 12 31 22C = 故选 C 数学试题（理科）答案 第 2 页，共 12 页 9【解析】解法一：定义域为(0,1)(1,)x+，故排除 A；(100) 0f，排除 C； 1 ()0 100 f， 排除 D；故选 B 解法二：设( )ln1g xxx=，(1)0g=， 1 ( )1g x x

15、= ，当(1,)x+， ( ) 0g x ，( )g x单调增，当 (0,1)x， ( ) 0g x ，( )g x单调减，则( )(1)0g xg= 故 1 ( ) ln1 f x xx = 的定义域为(0,1)(1,)x+，且( )f x在(0,1)x上单调增，(1,)x+上 单调减，( )0f x ，故选 B 解法三： 1 ( ) ln1 f x xx = 定义域为(0,1)(1,)x+，故排除 A； 当0x 时，() 1 ln1,0 ln1 xx xx + ，排除 D； 当x+时， 1 ln10,0 ln1 xx xx ，排除 C；故选 B 10.【解析】设椭圆、双曲线离心率分别为 1

16、2 12 , cc ee aa =，设 12 ,PFx PFy=， 由椭圆、双曲线定义得 112 212 2 , 2 xyaxaa xyayaa +=+ = ，在 12 PFF中，由余弦定理得 ()() () 2222 22 12 0 1212 22 12 24 21 coscos60,3. 222 aac xyc FPFaa xyaa + + = 又 222 121222 122 1,3,3. ccc e ea acace aaa = =故选 A. 11. 【解析】 1 3 D ABCABC VSh =，当平面ADC 平面ABC时，三棱锥DABC的高最大，此时 体积最大值为 1131 13

17、3224 D ABC V = =，错误；设AC的中点为O，则由 ,Rt ABC Rt ADC知，OAOBOCOD=，所以O为三棱锥DABC外接球的球心，其半 径为 1 1 2 AC =，所以外接球体积为 4 3 ，即三棱锥DABC的外接球体积不变，正确；由 的解析过程知，三棱锥DABC的体积最大值时，平面ADC 平面ABC，所以二面角 DACB的大小是 0 90，错误；当ADC沿对角线AC进行翻折到使点D与点B的距离 为2，即2BD =时，在BCD中， 222 BCBDCD=+，所以CDBD，又CDAD，翻 数学试题（理科）答案 第 3 页，共 12 页 折后此垂直关系没有变，所以CD 平面A

18、BD，所以CDAB，即异面直线AB与CD所成角 的最大值为 0 90，正确. 故选 C 12 【解析】当() 2 x kkZ m =+，即 21 2 k xm + =时，( )f x取得极值3。 存在 0 x使 2 2 0 2 0 )(mxfx+成立，亦即存在k使()() 2 21 23120kkm+成立， 因此， 只需()()21 23kk+最小即可， 即0k =或1k = 时不等式成立即可， 所以 2 3120m+， 即 2 4m ，所以()(), 22,m +. 故选 C 二填空题：本题共二填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分，其中第分，其中第15题第一空题第一空

19、3分，第二空分，第二空2分。分。 13 3 1 1432 15. 4（3 分分）， 1 2 （2 分分） 1614， 【16 题注】求出的范围区间端点开闭错误不给分。 写成： 12 11 14 PFPF +、|14（集合元素一般形式用题目以外的字母表示）不扣分。 写成以下四种形式不给分：|14xx，|14yy，|14aa，|14bb。 13【解析】( )( ) 2 11 3,1312,. 3 fxaxfaa x =+=+ = = 14【解析】样本数据 1 x， 2 x， 100 x的方差为8，所以数据 1 21x ， 2 21x ， 100 21x 的方差为 2 2832 =. 15【解析】

20、121222 2224 222 yyxyx x xyxyxyxy +=+=+= ，当且仅当 2 2 yx xy =即 1 2 , 2 yx x=时等号成立. 16.【解析】由已知得22b =，故1b = ，1 F AB的面积为 23 2 ， () 123 22 ac b =，23ac =，又()() 222 1acacacb=+=， 2a =，3c =， () 12 2 121211 11 1124 4 4 PFPFa PFPFPF PFPFPF PFPF + += + ， 又 1 2323PF+， 2 11 144PFPF +， 12 11 14 PFPF + 数学试题（理科）答案 第 4

21、页，共 12 页 即 12 11 PFPF +的取值范围为14， 三解答题：共三解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个考生 都必须作答。第 题为必考题，每个考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由正弦定理 sinsin ab AB =.1 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 得 25 sinsin2AA = .2 分 即 25 sin2sincosAAA = .3 分 因为sin0A，可解得

22、 4 5 cos=A . 4 分 （2）解法一：由余弦定理Abccbacos2 222 += 5 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 得 () 2 22 5 252 5 4 cc=+ ，整理得0252 2 =+ cc 6 分 解得2=c或 2 1 =c 8 分 当ac= 2时，得CA=， 又因为2BA=，故, 42 ACB =, 9 分 所以 2ba= ，与已知矛盾，所以2=c不满足要求。 10 分 当 1 2 c =时，经检验符合要求. 11 分 综上知： 2 1 =c. .12 分 【注】无检验过程最多只能得 8 分。 解法二：由（1）知 4 5 cos=A ，且1cossin 22

23、=+AA ， 又0A 5 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 所以 4 11 sin=A 6 分 数学试题（理科）答案 第 5 页，共 12 页 又2BA=，所以 8 3 16 11 16 5 sincos2coscos 22 =AAAB8 分 由余弦定理 Baccabcos2 222 += 9 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 得 += 8 3 2225 22 cc整理得 0232 2 = cc 10 分 即()()0212=+cc， 又因为0c .11 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 得 2 1 =c ， 综上知： 2 1 =c. .12 分 18（本小题满分 12 分）

24、 【解析】（1）将1=n代入 n nn n a n a 11 1 1 + + += + ，得 2 2 12 += aa 2 分 由 3 8 , 1 21 =aa，得3=. 4 分 （2）由 n nn n a n a 3 11 1 1 + + += + ，得 n nn n a n a 3 1 1 1 = + + 5 分 即 n nn bb 3 1 1 = + . 6 分 当1n =时，1 1 1 1 = a b，7 分 当2n时，() ()() 111221nnnnn bbbbbbbb =+ 8 分 1221 1111 3333 nn =+ 1 11 1 33 1 1 3 n = 10 分 1

25、11 22 3n = 所以 1 32 1 2 3 = n n b. （2n） 11 分 因为1 1= b也适合上式，所以 1 32 1 2 3 = n n b. 12 分 19（本小题满分 12 分） 【解析】（1）依题意，PADABCD面面，ABAD 1 分 数学试题（理科）答案 第 6 页，共 12 页 ABABCD面，PADABCDAD=面面， 2 分【注】此步骤缺少任 意一个条件，本得分点不给分。 ABPAD面 3 分 又PDPAD面 4 分 ABPD 5 分 （2）解法一：向量法 在PAD中，取AD中点O，PAPD= POADPOABCD面 6 分 以O为坐标原点，分别以OA为x轴，

26、过点O且平行于AB的直线为y轴，OP所在的直线为z轴， 建立如图空间直角坐标系，7 分 设2PA=.90APD=， 2 2AD= ()()()() 22 0,0, 2 ,2,2,0 ,2,2,0 ,2,0,0 ,1, 22 PBCAQ ()() 2,2,2 ,2 2,0,0PBBC= ， 22 , 1, 22 AQ = 8 分 设面PBC法向量为(), ,nx y z= 则 2220 2 20 n PBxyz n BCx =+= = = ，解得()0,1, 2n = 9 分 设直线AQ与平面PBC所成角为，则 2 sincos, 3 AQ n AQ n AQn 10 分 因为0, 2 ， 2

27、23 cos1 sin1 33 11 分 所以直线AQ与平面PBC所成角的余弦值为 3 3 . 12 分 （2）解法二：几何法 过 P 作 POAD 交于点 O，则 O 为 AD 中点， 过 A 作 PO 的平行线，过 P 作 AD 的平行线，交点为 E，连结 BE， 过 A 作 AHBE 交于点 H，连结 QH， 连结 BO，取中点 M，连结 QM，AM7 分【注】文字说明 1 分，作图 1 分。 四边形 AOPE 为矩形，所以 PE面 ABE，所以 PEAH， x y Q O E H M 数学试题（理科）答案 第 7 页，共 12 页 又 BEAH，所以 AH面 PBE， 所以AQH 为线

28、 AQ 与面 PBC 所成的角。8 分 令 AO=a，则 AE=a，AB= 2a，BE=3a，由同一个三角形面积相等可得 AH= 6 3 a， QAM 为直角三角形，由勾股定理可得 AQ=a，9 分 所以 sinAQH= AH AQ = 6 3 ,10 分 又因为AQH 为锐角，所以 cosAQH= 3 3 ,11 分 所以直线AQ与平面PBC所成角的余弦值为 3 3 12 分 20（本小题满分 12 分） 【解析】（1）解法一：依题意，设 3 : 2 l yxa 1 分 联立 2 :2C yx，整理得() 22 918890xaxa+= 2 分 由0，得 2 9 a 3 分 又 1 ,0 2

29、 FPa且 3 2 FP，2a或1a（舍去）4 分 所以式可化为 2 944360xx，设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 12 44 9 xx 5 分 12 4453 11 99 AFBFxx.6 分 解法二：依题意，设 3 : 2 l yxa 1 分 联立 2 :2C yx，整理得 2 3460yya 2 分 16 720a，即 2 9 a 3 分 又 1 ,0 2 FPa且 3 2 FP，2a或1a（舍去）4 分 所以式可化为 2 34120yy，设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 12 12 4 3 4 yy yy 5 分 222 121212

30、12 ()253 111 229 yyyyyy AFBFxx.6 分 数学试题（理科）答案 第 8 页，共 12 页 （2）当直线l斜率不存在时，由对称性知，存在点M满足OMAOMB7 分 若直线l存在斜率，设为()0k k 则:()l yk xa，联立 2 :2C yx 整理得 2 220kyyka 2 4 80k a ， 12 12 2 2 yy k yya += = 8 分 设( ,0)M m由OMAOMB易知 MAMB kk即 12 12 0 yy xmxm 9 分 122112 ()0y xyxm yy即 22 21 1212 () 22 yy yym yy 10 分 12 1212

31、 ()() 2 yy yym yy 12 0yy+， 12 2 22 yya ma = 所以(,0)Ma 11 分 综上所述，当0a 时，x轴上存在点(,0)Ma，总有OMAOMB.12 分 21（本小题满分 12 分） 【解析】（1）解法一：由 1 2 2 ( )ln, x e f xax xx =+ ，可得 3 1 )(2( )( x axex xf x = 1 分 由题意(),2 , 0x则0 2 3 x x ，记 1 ( )(0) x h xeaxx =， 1 ( ) x h xea = 由题意，知 21,x x是)(xhy =在()2 , 0上的两个零点. 当0a时，0)( xh，则

32、)(xh在()2 , 0上递增， )(xh至多有一个零点，不合题意；2 分 当0a时，由0)( =xh，得axln1+=3 分 （i）若2ln1+a且0)2(h，即 2 1 e a 时，)(xh在()aln1 , 0 +上递减，()2 ,ln1a+递增； 则0ln)ln1 ()( min =+=aaahxh， 则0 1 )0(, 0)2(= e hh， 从而)(xh在()aln1 , 0 +和()2 ,ln1a+上各有一个零点。 所以 2 1 e a 时，)(xhy =在()2 , 0上存在两个零点. 4 分 数学试题（理科）答案 第 9 页，共 12 页 （ii）若2ln1+a，即ea 时，

33、)(xh在()2 , 0上递减，)(xh至多一个零点，舍去. 5 分 （iii）若2ln1+a且0)2(h，即ea e 2 时，此时)(xh在()aln1 , 0 +上有一个零点， 而在()2 ,ln1a+上没有零点，舍去. 综上可得，实数a的取值范围是1, 2 e .6 分 （1）解法二：由 1 2 2 ( )ln, x e f xax xx =+ ，可得 3 1 )(2( )( x axex xf x = 1 分 由题意(),2 , 0x则0 2 3 x x ，由题意知 21,x x是0, 1 = xaxey x 在()2 , 0上的两个零点. 即：a x e x e axe axe xx

34、 x x = = = 2 1 1 1 2 1 1 1 21 2 1 0 0 又令 x e xg x 1 )( =，2 分 则)()( 21 xgxg=，从而只需直线ay =与函数 x e xg x 1 )( =的图象在内()2 , 0有两个交点. 3 分 由 2 1 ) 1( )( x ex xg x =得 x e xg x 1 )( =在区间内()1 , 0单调递减，在区间()2 , 1内单调递增， 所以1) 1 ()( min = gxg，( )(2) 2 e g xg=，4 分 且+= )(, 1 , 0 11 xg e eex x 5 分 所以实数a的取值范围是1, 2 e 6 分 （

35、2）解法一：令axxahxhxHln10),ln22()()(+=7 分 则0222)ln22()()( 1 2 1 =+=+= aaa e a exahxhxH x x 所以)(xH在()aln1 , 0 +上递增，8 分 从而0)ln1 ()(=+aHxH，即0)ln22()(+xahxh 0)ln22()( 11 +xahxh10 分 而)()( 21 xhxh=，且)(xh在()2 ,ln1a+递增； 数学试题（理科）答案 第 10 页，共 12 页 21 ()(22ln)h xhax+11 分 21 22lnxax+， 12 2(1 ln )xxa+，命题得证。12 分 解法二：由（

36、1）有 1 2 1 11 1 1212 1 22 2 lnln1 2lnln2. lnln1 x x axxaxe ax xxx axxaxe += +=+ += 7 分 则求证式() 1212122 1 1 2 1 lnln001.xxax xx xx x + 8 分 下证式成立： 由 1 0 x axe = 得 1 . x e a x = 令( ) 1x e g x x =，则( )()( ) () 1 12 2 1 ,. x ex g xg xgx x =9 分 易知 12 01xx ，从而式()( ) 221 111 111 .xg xgg xg xxx 10 分 又令( )( ) 1

37、 ,01G xg xgx x = ， 则即证( )0G x 对01x成立. 对( )G x求导，得( ) 1 1 1 2 1 . x x x G xexe x = 设( ) 1 1 1x x h xexe =，则( ) 1 1 1 1 0 x x x h xee x =+ ，11 分 从而( )( )( ) 10,0h xhG x=. ( )( )10.G xG=即01x，( ) 1 g xg x ，即( ) 1 1 1 g xg x 从而式成立。 12 2(1 ln )xxa+，命题得证。12 分 解法三：由（1）有 1 2 1 1 1 2 x x axe axe = = 得() 1221

38、2112 1 221 ,. xxxx a x xea xxee + =7 分 将 21 11 21 xx ee a xx = 代入 12 22 12 xx a x xe + =中， 数学试题（理科）答案 第 11 页，共 12 页 得() () () 1212 2112 12 2 22 2 21 12212 2 11 2 xxxx xxxx xx xxee x xxx aee ee + = + ，8 分 令 21 txx=，为证明 12 2 2 1 xx e a + ，则只需证：当0t 时， 2 2 120. 2 tt tt t eet ee + + 设( ) 2 2 tt m teet =+

39、 ，9 分 则( )( ) 2 ,20. tttt m teet m tee =+ 从而，( )( )( ) 00m tmm t=在区间()0,+内单调递增，10 分 ( )( )00.m tm= 即 2 20 tt eet + ，所以 12 2 2 1 xx e a + ，11 分 12 22xx ea + ，两边取对数化简可得 12 2(1 ln )xxa+，命题得证。12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共10分。请考生在第分。请考生在第22、23题中任选一题作答。题中任选一题作答。 22（本小题满分 10 分） 【解析】（1）由 1 xcos ysin = = + 1 xcos ysin = = 1 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 平方相加可得() 2 2 11xy+= 圆C的普通方程为：() 2 2 11xy+= 2 分 又cos ,sinxy= 3 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 ()() 22 cossin11+= 4 分 化简得圆C的极坐标方程为：2sin=. 5 分 （2）解法一：把 6 =代入圆的极坐标方程可得：2sin1 6 P = 7 分 把 6 =代入直线l极坐标方程可得：sin2 63 += 2 Q = 9 分