衡水中学2020届高三理科数学上册四调理数试题卷（含答案）.pdf

1、 1 / 3 2019-2020 学年度高三年级上学期四调考试 数学（理科）试卷 2019-2020 学年度高三年级上学期四调考试 数学（理科）试卷 第卷（第卷（选择题 共 60 分） 一、 选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请 将正确答案的序号填涂在答题卡上） 选择题 共 60 分） 一、 选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请 将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1已知集合 | (1) 0Ax x x， |()Bx yln xa，若ABA，则实数a的取值范围为( ) A(,0

2、) B(，0 C(1,) D1，) 2AB是抛物线 2 2yx的一条焦点弦，| 4AB ，则AB中点C的横坐标是( ) A2 B 1 2 C 3 2 D 5 2 3.如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值 为 A B C D 4已知、都为锐角，且 21 sin 7 、 21 cos 14 ，则( ) A 3 B 3 C 6 D 6 5. 设aR，0b，2 )，若对任意实数x都有sin(3)sin() 3 xaxb ，则满足条件的有序实数 对( , )a b的对数为( ) A1 B2 C3 D4 6. 已知F是双曲线 22 :1 45 xy C的一个焦点，点P在C上，

3、O为坐标原点若| |OPOF，则 OPF的面积为( ) A 3 2 B 5 2 C 7 2 D 9 2 7. 已知等差数列 n a的公差不为零，其前n项和为 n S，若 3 S， 9 S， 27 S成等比数列， 则 9 3 ( S S ) A3 B6 C9 D12 8.在ABC中，点P满足3BPPC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N， 若AMAB，(0,0)ANAC，则的最小值为( ) A 2 1 2 B 3 1 2 C 3 2 D 5 2 9.如图，点P在正方体 1111 ABCDABC D的面对角线 1 BC上运动，则下列四个结论： 三棱锥 1 AD PC的体积不变； 1

4、 / /AP平面 1 ACD； 1 DPBC；平面 1 PDB 平面 1 ACD 其中正确的结论的个数是( ) 2 / 3 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10. 过三点(1,3)A、(4,2)B、(1, 7)C的圆截直线20xay所得弦长的最小值等于( ) A2 3 B4 3 C13 D2 13 11. 如图， 三棱柱 ABCA1B1C1的高为 6， 点 D， E 分别在线段 A1C1， B1C 上， A1C13DC1， B1C4B1E 点 A，D，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC 的面积为 6，则较大 部分的体积为（ ） A22 B23 C26 D27

5、 12. 设 22 ()(2)2 x Dxaeaa其中2.71828e，则D的最小值为( ) A2 B3 C21 D31 第卷（共第卷（共 9090 分）分） 二二 、填空题： （本大题共、填空题： （本大题共4 4小题，每题小题，每题5 5分，共分，共2020分）分） 13已知函数 2 log,0 ( ) 42,0 x x x f x x ，则 1 ( ( ) 8 f f 14已知 1 F， 2 F分别为椭圆 22 :1 259 xy C的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M的 坐标为(2,0)，若AM为 12 F AF的角平分线，则 2 |AF 15如图（1） ，在等腰直角ABC中，斜边

6、4AB ，D为AB的中点，将ACD沿CD折叠得到如 图（2）所示的三棱锥CABD，若三棱锥CABD的外接球的半径为5，则ADB 16设定义在D上的函数( )yh x在点 0 (P x， 0 ()h x处的切线方程为:( )l yg x，当 0 xx时，若 0 ( )( ) 0 h xg x xx 在D内恒成立，则称P点为函数( )yh x的“类对称中心点”，则函数 2 2 ( ) 2 x f xlnx e 的“类对称中心点”的坐标是 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ）分，解答应写出文字说明，证明

7、过程或演算步骤。 ） 17 （本题满分 10 分）在平面四边形ABCD中，AC ，1AB ，3BC ，2CDDA （1）求C； （2）若E是BD的中点，求CE 18（本题满分 12 分）如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，6PA，顶点P在平 面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G （1）证明：G是AB的中点； （2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由） ，并求四面体PDEF的体积 3 / 3 19 （本题满分 12 分）设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右顶点为A，上顶点为B已知椭圆的离心 率为 5 3

8、 ，|13AB （1）求椭圆的方程； （2）设直线:(0)l ykx k与椭圆交于P，Q两点，l 与直线AB交于点M，且点P，M均在第四 象限若BPM的面积是BPQ面积的 2 倍，求k的值 20（本题满分 12 分） 如图， 四边形ABCD是平行四边形， 平面AED 平面ABCD，/ /EFAB，2AB ， 3DE ，1BCEF，6AE ，60BAD，G为BC的中点 （1）求证：平面BED 平面AED； （2）求直线EF与平面BED所成角的正弦值 21（本题满分 12 分）设抛物线的方程为 2 2ypx，其中常数0p ，F是抛物线的焦点 （1）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线上的动点，

9、求 | | PA PF 的最大值； （2）设2p ， 1 l， 2 l是两条互相垂直，且均经过点F的直线， 1 l与抛物线交于点A，B， 2 l与 抛物线交于点C，D，若点G满足4FGFAFBFCFD，求点G的轨迹方程 22（本题满分 12 分） 设a，bR，| 1a 已知函数 32 ( )63 (4)f xxxa axb，( )( ) x g xe f x （1）求( )f x的单调区间； （2）已知函数( )yg x和 x ye的图象在公共点 0 (x， 0) y处有相同的切线， 求( )f x在 0 xx处的导数； 若关于x的不等式( ) x g xe在区间 0 1x ， 0 1x 上恒

10、成立，求b的取值范围 1 / 3 ACDCB BCBCB BC 13 -4 14 5 2 15 2 3 16 3 ( ,) 2 e 17解： （1）由题设及余弦定理得： 222 2cosBDBCCDBC CD C=13 12cos C， 222 2cosBDABDAAB DA A54cos C由得cos 1 2 C ，故60C . （2）由 1 () 2 CECDCB，得 2221 (2) 4 CECDCBCD CB 11 (49223) 42 19 4 所以 19 2 CE 18解： （1）证明：PABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影， PD平面ABC，则PDAB， 又E为D

11、在平面PAB内的正投影，DE面PAB，则DEAB， PDDED，AB平面PDE，连接PE并延长交AB于点G， 则ABPG，又PAPB， G是AB的中点； （2） 在平面PAB内， 过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影 正三棱锥PABC的侧面是直角三角形， PBPA，PBPC， 又/ /EFPB，所以EFPA，EFPC，因此EF 平面PAC， 即点F为E在平面PAC内的正投影 连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心 由（）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故 2 3 CDCG 由题设可得PC 平面PAB，DE 平面PAB，所以/ /

12、DEPC，因此 2 3 PEPG， 1 3 DEPC 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA，可得2DE ，3 2PG ，2 2PE 在等腰直角三角形EFP中，可得2EFPF 所以四面体PDEF的体积 1114 222 3323 PEF VDES 19解： （1）设椭圆的焦距为2c， 由已知可得 2 2 5 9 c a ，又 222 abc， 解得3a ，2b ， 椭圆的方程为： 22 1 94 xy ， （）设点 1 (P x， 1) y， 2 (M x， 2) y， 21 (0)xx则 1 (Qx， 1) y BPM的面积是BPQ面积的 2 倍，| 2|PMPQ，从而 2111 2()

13、xxxx ， 21 5xx， 易知直线AB的方程为：236xy 2 / 3 由 236xy ykx ，可得 2 6 0 32 x k 由 22 4936xy ykx ，可得 1 2 6 94 x k ， 2 945(32)kk， 2 182580kk，解得 8 9 k 或 1 2 k 由 2 6 0 32 x k 可得 2 3 k ，故 1 2 k 20证明： （1）证明：在ABD中，1AD ，2AB ，60BAD， 由余弦定理可得3BD ，仅而90ADB，即BDAD， 又平面AED 平面ABCD， BD平面ABCD，平面AED平面ABCDAD，BD平面AED， BD 平面BED，平面BED

14、平面AED （2）/ /EFAB， 直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角， 过点A作AHDE于点H，连接BH， 又平面BED平面AEDED， 由（1）知AH 平面BED， 直线AB与平面BED所成的角为ABH， 在ADE，1AD ，3DE ，6AE ，由余弦定理得 2 cos 3 ADE， 5 sin 3 ADE， 5 3 AHAD， 在Rt AHB中， 5 sin 6 AH ABH AB ， 直线EF与平面BED所成角的正弦值 5 6 21解： （1）A是点( 2 p F，0)关于顶点O的对称点，可得( 2 p A ，0)， 设过A的直线为() 2 p yk x，t

15、ank， 联立抛物线方程可得 22 222 (2 )0 4 k p k xk pp x， 由直线和抛物线相切可得 2242 (2 )0k ppk p，解得1k ， 可取1k ，可得切线的倾斜角为45， 由抛物线的定义可得 |11 |sin(90)cos PA PF ，而的最小值为45， | | PA PF 的最大值为2； （2）由 2 4yx，可得(1,0)F，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 3 (C x， 3) y， 4 (D x， 4) y，( , )G x y， 设 1: (1)lyk x，联立抛物线 2 4yx，可得 2222 (24)0k xkxk， 即有

16、 12 2 4 2xx k ， 1212 4 ()2yyk xxk k ， 由两直线垂直的条件，可将k换为 1 k ，可得 2 34 24xxk， 34 4yyk ， 3 / 3 点G满足4FGFAFBFCFD， 可得4(x， 1234 )(4yxxxx， 1234) yyyy， 即为 2 1234 2 4 444xxxxxk k ， 1234 4 44yyyyyk k ， 可得 222 2 11 ()22ykkx kk ， 则G的轨迹方程为 2 2yx 22（1）解：由 32 ( )63 (4)f xxxa axb， 可得 2 ( )3123 (4)3()(4)fxxxa axa xa， 令

17、( )0fx，解得xa，或4xa由| 1a，得4aa 当x变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下表： x (, )a ( ,4)aa (4,)a ( )fx ( )f x ( )f x的单调递增区间为(, )a，(4,)a，单调递减区间为( ,4)aa； （2）( ) i ( )( ( )( ) x g xef xfx，由题意知 0 0 0 0 () () x x g xe g xe ， 00 00 0 00 () ( ()() xx xx f x ee ef xfxe ，解得 0 0 ()1 ()0 f x fx ( )f x在 0 xx处的导数等于 0； ( )ii解：( ) x

18、g xe， 0 1xx， 0 1x ，由0 x e ，可得( ) 1f x 又 0 ()1f x， 0 ()0fx， 故 0 x为( )f x的极大值点，由( ) I知 0 xa 另一方面，由于| 1a，故14aa ， 由（）知( )f x在(1, )aa内单调递增，在( ,1)a a内单调递减， 故当 0 xa时，( )f xf（a）1在1a ，1a上恒成立， 从而( ) x g xe在 0 1x ， 0 1x 上恒成立 由f（a） 32 63 (4)1aaa aab，得 32 261baa，11a 令 32 ( )261t xxx， 1x ，1， 2 ( )612t xxx， 令( )0t x，解得2x （舍去） ，或0x ( 1)7t ，t（1）3，(0)1t，故( )t x的值域为 7，1 b的取值范围是 7，1