河北省衡水中学2019届高三文科数学上学期二调考试数学（文数）试卷（含答案）.pdf

1、1 衡水中学 2019 届高三上学期二调考试 数学（文科）试题 衡水中学 2019 届高三上学期二调考试 数学（文科）试题 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡 上 每小题 5 分，共 60 分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡 上） 1.已知集合 2 1,0,1,2,3 ,20 ,ABx xx= =则AB =（） A. 3 B.2,3 C.1,3 D.1,2,3 2.下列关于命题的说法错误的是（） A.命题“若 2 320xx+=，则2x =”的逆否命题为“

2、若2x ，则 2 320xx+” B.“2a =”是“函数( )logaf xx=在区间()0,+上为增函数”的充分不必要条件 C.命题“ 0 xR，使得 2 00 10xx+ ”的否定是“xR ，均有 2 10xx+ ” D.“若 0 x为( )yf x=的极值点，则() 0 0fx=”的逆命题为真命题 3.复数 2i i 1 z = （i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（） A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 4.函数( ) 32 33f xxxx=+的极值点的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3 5.函数()21 exyx=的图象大致是（） A.B.C.

3、D. 6.已知函数( )yf x=在区间(),0内单调递增，且()( )fxf x=，若 () 1.2 1 2 1 log 3 ,2, 2 afbfcf = ，则, ,a b c的大小关系为（） A.acb B. bca C.bac D.abc 7.已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且对任意的()( ),2xR f xf x+=，当01x，( ) 2 f xx=，若直 线yxa=+与函数( )f x的图象在0,2内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（） A.0 B.0 或 1 2 C. 11 42 或 D. 1 0 4 或 2 8.为得到函数cos 2 3 yx =+ 的图象，只需将

4、函数sin2yx=的图象（） A.向右平移 5 12 个长度单位 B.向左平移 5 12 个长度单位 C.向右平移 5 6 个长度单位 D.向左平移 5 6 个长度单位 9.设函数( )()()lnf xxxaxaR=在区间()0,2上有两个极值点，则a的取值范围是（） A. 1 ,0 2 B. ln2 1 0, 4 + C. 1 0, 2 D. ln2 1 1 , 42 + 10.若函数( )()sin0 6 f xx =+ 在区间(),2内没有最值，则的取值范围是（） A. 11 2 0, 124 3 B. 11 2 0, 63 3 C. 1 2 , 4 3 D. 1 2 , 3 3 11

5、.已知函数( ) 1 2 ln1, ( )2e x f xxg x =+=，若( )( )f mg n=成立，则mn的最小值是（ ） A. 1 ln2 2 + B.e2 C. 1 ln2 2 D. 1 e 2 12.已知函数( ) 2 4 ,0, ln ,0, xx x f x xx x + = ( )1g xkx=，若方程( )( )0f xg x=在() 2 2,ex 上有 3 个实根，则k 的取值范围为（） A.(1,2 B. 3 1,2 2 C. 33 1,2 22 D. 2 331 1,2 22e + 第卷（共 90 分） 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分每小题 5 分，共

6、20 分） 13.已知角的终边经过()2,3，则 3 cos 2 += . 14.给出下列四个命题： 函数( )2sin 2 3 f xx =+ 的一条对称轴是 7 12 x =； 函数( )tanf xx=的图象关于点,0 2 对称； 若 12 sin 2sin 20 44 xx = ，则 12 xxk=，其中kZ； 函数 2 cossinyxx=+的最小值为1. 以上四个命题中错误的个数为 个. 3 15.已知( )()yf xxR=的导函数为( )fx，若( )() 3 2f xfxx=，且当0x时，( ) 2 3,fxx则不等式 ( )() 2 1331f xf xxx+的解集是 .

7、16.已知函数( )( ) 2 ln, e m f xxxg x x =+=其中e为自然对数的底数，若函数( )f x与( )g x的图象恰有一个公 共点，则实数m的取值范围是 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 10 分） 已知函数( ) 2 2sincos2sin 222 xxx f x =. （1）求( )f x的单调递增区间； （2）求( )f x在区间,0上的最小值. 18. （本小题满分 12 分） 已知函数( )()si

8、n10,0 6 f xAxA =+ 的最大值为 3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 . （1）求函数( )f x的解析式和当0,x时，( )f x的单调减区间； （2）将( )f x的图象向右平移 12 个长度单位，再向下平移 1 个长度单位，得到( )g x的图象，用“五点 法”作 出( )g x在0,内的大致图象. 19. （本小题满分 12 分） 已知函数( )e2 . x f xx= （1）求曲线( )yf x=在点( )()0,0f处的切线方程； （2）若函数( )( ),1,1g xf xa x= 恰有 2 个零点，求实数a的取值范围. 20. （本小题满分 12 分） 已知

9、函数( )()1 lnf xm axxxa= +. （1）当0a =时，若( )0f x 在()1,+上恒成立，求m的取值范围； 4 （2）当1ma=时，证明：() ( )10xf x. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数( )( ) 22 1 ln, 2 f xxmxg xmxx mR=+令( )( )( )F xf xg x=+. （1）当 1 2 m =时，求函数( )f x的单调区间及极值； （2）若关于x的不等式( )1F xmx恒成立，求整数m的最小值. 22. （本小题满分 12 分） 已知函数( )()ln a f xxxaR x =+. （1）若函数( )f x在)1

10、,+上为增函数，求a的取值范围； （2）若 函 数( )( ) () 2 1g xxf xaxx=+有 两 个 不 同 的 极 值 点 ， 记 作 12 ,x x， 且 12 xx， 证 明 ： 23 12 ex x ()e为自然对数的底数. 5 2018-2019 学年度高三年级上学期二调考试 文科数学答案 一、选择题 1.C【解析】因为 () 2 202020 ,Bx xxx x xx xx=或所以1,3 .AB = 故选 C. 2.D【解析】由原命题与逆否命题的构成关系，可知 A 正确；当21a =时，函数( ) 2 logf xx=在定义域内是单 调递增函数;当函数( )logaf x

11、x=在定义域内是单调递增函数时，1a ，所以 B 正确；由于存在性命题的否定是 全称命题，所以“ 0 xR，使得 2 00 10xx+ ”的否定是“xR ，均有 2 10xx+ ” ，所以 C 正确；因为 () 0 0fx=的根不一定是极值点，例如：函数( ) 3 1f xx=+，则( ) 2 30,fxx=即0x =就不是极值点，所以命 题“若 0 x为( )yf x=的极值点，则() 0 0fx=”的逆命题为假命题，所以 D 错误.故选 D. 3.C【解析】由 () 2 2i i 12i 1 i i 1i1 z + = ，可知复数 2i i 1 z = 在复平面内对应的坐标为()1, 1，

12、所以复数 2i i 1 z = 在复平面内对应的点在第四象限.故选 C. 4.A【解析】由题可得，( )() 2 2 36331 .fxxxx=+=当1x =时，( )0fx=，但在此零点两侧导函数均大于 0，所以此处不是函数的极值点，所以函数极值点的个数为 0.故选 A. 5.A【解析】因为趋向于负无穷时，()21 e0 x yx=，所以 C,D 错误；因为()21 exyx = +，所以当 1 2 x 时， 0y，所以 A 正确，B 错误.故选 A. 6.B 【 解 析 】 因 为()() 122 2 log 3log 3log 3 ,afff = 且 1.21 2 11 log 3,02

13、2, 22 =所 以 1.2 2 1 log 320 2 .又( )f x在区间(),0内单调递增，且( )f x为偶函数，所以( )f x在区间()0,+内单调 递减，所以() 1.2 1 2 1 log 32, 2 fff 所以.bca故选 B. 7.D【解析】因为()( )2f xf x+=，所以函数( )f x的周期为 2，作图如下： 由图知，直线yxa=+与函数( )f x的图象在区间0,2内恰有两个不同的公共点时，直线yxa=+经过点()1,1 6 或与( ) 2 f xx=相切于点A，则1 1, a= +即0a =或 2 ,xxa=+则1 40a = +=，即 1 4 a = .

14、故选 D. 8.B【解析】由题得，cos 2cos2sin 2 3266 yxxx =+=+= .因为 5 sin 2sin2sin 2, 666 xxx =+=+ 所以cos 2 3 yx =+ 5 sin 2 6 x =+ 5 sin2. 12 x =+ 由图象平移的规则， 可知只需将函数sin2yx=的图象向左平移 5 12 个长度单位就可以得到函数cos 2 3 yx =+ 的图象.故选 B. 9.D【解析】由题意得，( ) 1 lnln210fxxaxxaxax x =+=+ = 在区间()0,2上有两个不等的实根，即 ln1 2 x a x + =在区间()0,2上有两个实根.设(

15、 ) ln1 2 x g x x + =，则( ) 2 ln 2 x gx x = ，易知当01x时， ( )0gx ， ( )g x单调递增；当12x时，( )0gx ， ( )g x单调递减，则( )( ) max 1 1. 2 g xg=又( ) ln2 1 2 4 g + =，当 1 0 e x时，( )0g x ，所以 ln2 11 . 42 a + 故选 D. 10.B 【解析】 易知函数sinyx=的单调区间为 3 , 22 kk + ，kZ.由 3 , 262 kxkkZ + 得 4 33 ,. kk xkZ + 因为函数( )()sin0 6 f xx =+ 在区间(),2内

16、没有最值， 所以( )f x 在区间(),2内单调，所以() 4 33 ,2, kk kZ + ，所以 3 , 4 3 2 , k kZ k + + ，解得 12 , 323 k kkZ+.由 12 , 323 k k +得 2 . 3 k 当0k =时，得 12 ; 33 当1k = 时，得 21 . 36 又 0，所以 1 0. 6 综上，得的取值范围是 11 2 0,. 63 3 故选 B. 11.A【解析】设( )( )f mg nt=，则0t ， 1 11 e,lnlnln2, 222 t t mnt =+=+令 ( )( )( ) 111 2 111 elnln2,e,e0, 2

17、ttt h tth th t tt =+=+则所以 ( )h t 在区间( )0,+上单调递增.又 ( )10 h =，所以当()0,1t时，( )0h t；当()1,t+时，( )0h t，所以( )h t在区间()0,1上单调递减，在 区间()1,+上单调递增，即( ) 1 1ln2 2 h=+是极小值也是最小值，所以mn的最小值是 1 ln2 2 +.故选 A. 12.B 【解析】 当0x =时，( )( )00,01fg= ， 则( )( )000fg=不成立， 即方程( )( )0f xg x=没有零解. 7 当0x 时，ln1xxkx=，即ln1kxxx=+，则 1 ln.kx x

18、 =+设( ) 1 ln,h xx x =+则( ) 22 111,x h x xxx =由 ( )0h x ，得 2 1ex，此时函数( )h x单调递增；由( )0h x，得01x，此时函数( )h x单调递减，所以 当1x =时， 函数( )h x取得极小值( )11h=； 当 2 ex =时，( ) 2 2 1 e2 e h=+； 当0x时，( )h x +； 当0x 时， 2 41xxkx+=，即 2 41kxxx=+，则 1 4kx x =+.设( ) 1 4,m xx x =+则( ) 2 22 11 1, x m x xx = =由 ( )0,m x 得1x （舍去）或1x，此

19、时函数 ( )m x单调递增；由( )0,m x 得10x ，此时 ( )m x单调 递减， 所以当1x = 时， 函数( )m x取得极大值()12m =； 当2x = 时，() 13 224; 22 m = +=当0x时， ( ).m x 作出函数( )h x和( )m x的图象，可知要使方程( )( )0f xg x=在() 2 2,ex 上有三个实根，则 3 1,2 2 kk = 或.故选 B. 二、填空题 13. 3 13 13 【解析】因为角的终边经过点()2,3，所以2,3,13xyr= =，则 3 13 sin, 13 y r =所以 33 13 cossin. 213 +=

20、14.1【解析】对于，因为 7 2 12 f = ，所以2sin 2 3 yx =+ 的一条对称轴是 7 12 x =，故正确；对于， 因为函数( )tanf xx=满足( )()0f xfx+=，所以( )tanf xx=的图象关于点,0 2 对称，故正确；对 于，若 12 sin 2sin 20, 44 xx = 则() 12 2,2, 44 xmxnmZ nZ =所以 () 12 11 , 22 xxmnkkZ=故错误；对于，函数 2 22 15 cossinsinsin1sin, 24 yxxxxx =+= + = + 当sin1x =时，函数取得最小值1，故正确.综 上，共有 1 个

21、错误. 15. 1 , 2 + 【解析】令( )( ) 3, F xf xx=则由( )() 3 2f xfxx=，可得()( )FxF x=，所以( )F x为偶函 数.又当0x时，( ) 2 3fxx，即( ) 0Fx .由( )() 2 1331f xf xxx+，得( )()1F xF x，所以 1xx，解得 1 2 x . 8 16.) 2 e 1 0, e + + 【解析】因为( ) 1 10fx x = +，所以函数 ( )f x在区间()0,+上单调递增，且 11 10, ee f = 所以当0m时，( )f x与( ) m g x x =有一个公共点；当0m时，令( )( )

22、f xg x=，即 2 2 ln e xxxxm+=有一个解即可.设( ) 2 2 ln e h xxxxx=+， 则( )( ) 2 2ln1.0, e h xxxh x=+ =令得 1 e x =. 因为当 1 0 e x时，( )0;h x当 1 e x 时，( )0,h x所以当 1 e x =时，( )h x有唯一的极小值 2 e 1 e + ，即( )h x 有最小值 2 e 1 e + ，所以当 2 e 1 e m + = 时，有一个公共点.综上，实数m的取值范围是) 2 e 1 0, e + + . 三、解答题 17. 解： （1）( ) 2 21 cos 2sincos2si

23、nsin2 22222 xxxx f xx = 2222 sincossin 22242 xxx =+=+ ， 由()22 242 kxkkZ +， 得() 3 22 44 kxkkZ +. 则( )f x的单调递增区间为() 3 2,2 44 kkkZ + .（5 分） （2）因为0x，所以 3 444 x +， 当 42 x += ，即 3 4 x = 时，( )min 2 1 2 f x= .（10 分） 18. 解： （1）因为函数( )f x的最大值是 3， 所以13,2.AA+ =即 因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 2 ， 所以最小正周期,2T=即. 所以( )2sin

24、21 6 f xx =+ .（3 分） 令() 3 222 262 kxkkZ +， 即() 5 36 kxkkZ +. 因为0,x， 所以( )f x的单调减区间为 5 , 36 .（6 分） （2）依题意得，( )12sin 2 123 g xfxx = = . 9 列表得： 描点( )() 5211 0,3 ,0 ,2 ,0 , 2 ,3 612312 . 连线得( )g x在0,内的大致图象. （12 分） 19. 解： （1）因为( )e2 x f xx=，所以( ) e2 x fx =. 所以( ) 01.f= 又( )01,f= 所以曲线( )yf x=在点( )()0,0f处的

25、切线方程为1,yx = 即10xy+ =.（5 分） （2）由题意得，( )e2 x g xxa=， 所以( ) e2 x g x =. 由( ) e20 x g x =，解得ln2x =， 故当1ln2x 时，( ) 0g x ，( )g x在)1,ln2上单调递减； 当ln21x时，( ) 0g x ，( )g x在(ln2,1上单调递增. 所以( )() min ln222ln2g xga=. 又() 1 1e +2ga =，( )1e2ga=， 结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点， 则 () ( ) () 1 1e20, 1e20, ln222ln20, ga ga ga =+ =

26、 = 解得22ln2e2a . 所以实数a的取值范围为(22ln2,e2.（12 分） 10 20. 解： （1）由( )0f x ，得 ln x m x 在()1,+上恒成立. 令( ) ln x g x x =，则( ) () 2 ln1 ln x gx x =. 当()1,ex时，( ) 0g x ； 当()e,+x时，( ) 0g x ， 所以( )g x在()1,e上单调递减，在()e,+上单调递增. 故( )g x的最小值为( )e =eg. 所以em ，即m的取值范围为(,e.（6 分） （2）因为1ma=， 所以( )()1 ln1f xxxx= +，( ) 11 ln1ln

27、x fxxx xx + = + = . 令( ) 1 lnh xx x = ，则( ) 22 111x h x xxx = +=. 当()1,x+时，( ) 0h x ，( )h x单调递减； 当()0,1x时，( ) 0h x ，( )h x单调递增. 所以( )( ) max 110h xh= ，即当()0,x+时，( ) 0fx ， 所以( )f x在()0,+上单调递减. 又因为( )10,f= 所以当()0,1x时，( )0;f x 当()1,x+时，( )0.f x 于是() ( )10xf x对()0,x +恒成立.（12 分） 21. 解： （1）由题得，( )() 2 1 l

28、n0 2 f xxxx=，所以( )() 1 0fxx x x =. 令( ) 0,fx =得1x =. 由( ) 0,fx 得01x，所以( )f x的单调递增区间为()0,1， （2 分） 由( ) 0,fx 得1x ，所以( )f x的单调递减区间()1,+.（3 分） 所以函数( )( ) 1 =1 2 f xf= 极大值 ，无极小值.（4 分） （2）法一：令( )( ) ()() 2 1 1ln11 2 G xF xmxxmxm x=+， 所以( )() () 2 111 1 mxm x G xmxm xx + =+=. 11 当0m时，因为0x ，所以( ) 0G x ，所以(

29、)G x在()0,+上是递增函数. 又因为( ) 3 120 2 Gm= +，所以关于x的不等式( )1G xmx不能恒成立. 当0m 时，( ) () () 2 1 1 11 m xx mxm x m G x xx + + = . 令( ) 0G x =,得 1 x m =， 所以当 1 0,x m 时，( ) 0G x ；当 1 ,x m + 时，( ) 0G x ， 因此函数( )G x在 1 0,x m 上是增函数，在 1 ,x m + 上是减函数. 故函数( )G x的最大值为 11 ln 2 Gm mm = . 令( ) 1 ln 2 h mm m =， 因为( ) 1 10 2

30、h=，( ) 1 2ln20 4 h=， 又因为( )h m在()0,m+上是减函数， 所以当2m时，( )0h m ， 所以整数m的最小值为 2.（12 分） 法二：由( )1F xmx恒成立，知 () () 2 2 ln1 0 2 xx mx xx + + 恒成立. 令( ) () () 2 2 ln1 0 2 xx h xx xx + = + ，则( ) ()() () 2 2 21 2ln 2 xxx h x xx + = + . 令( )2lnxxx=+， 因为 11 ln40 22 = ，( )110= ，且( )x为增函数. 故存在 0 1 ,1 2 x ，使() 0 0x=，即

31、 00 2ln0xx+=. 当 0 0xx时，( ) 0h x ，( )h x为增函数，当 0 xx时，( ) 0h x ，( )h x为减函数， 所以( )() 00 0 2max 000 2ln221 2 xx h xh x xxx + = + . 而 0 1 ,1 2 x ，所以() 0 1 1,2 x ， 12 所以整数m的最小值为 2.（12 分） 22.解:（1）由题可知，函数( )f x的定义域为()0,+，( ) 2 22 1 1. axxa fx xxx + =+ = 因为函数( )f x在区间)1,+上为增函数， 所以( )0fx在区间)1,+上恒成立等价于() 2 min

32、 axx+，即2a ， 所以a的取值范围是(,2.（4 分） （2）由题得，( ) 2 ln,g xxxaxax=+则( )ln2.g xxax= 因为( )g x有两个极值点 12 ,x x， 所以 1122 ln2,ln2.xaxxax= 欲证 23 12 ex x等价于证() 23 12 lnlne3x x=，即 12 ln2ln3xx+， 所以 12 3 2. 2 axax+ 因为 12 0xx，所以原不等式等价于 12 3 24 a xx + . 由 1122 ln2,ln2,xaxxax=可得() 2 21 1 ln2 x a xx x =，则 () 2 1 21 ln 2 x x

33、 a xx = . 由可知，原不等式等价于 2 1 2112 ln 3 2 x x xxxx + ，即 () 2 211 2 2 112 1 31 3 ln. 2 2 1 x xxxx x xxx x = + + 设 2 1 x t x =，则1t ，则上式等价于 () () 31 ln1 12 t tt t + . 令( ) () () 31 ln1 12 t h ttt t = + ，则( ) ()() () ()() () 22 3 12611411 . 1212 tttt h t t ttt + = + 因为1t ，所以( )0h t，所以( )h t在区间()1,+上单调递增， 所以当1t 时，( )( )10h th=，即 ()31 ln 12 t t t + ， 所以原不等式成立，即 23 12 ex x.（12 分）