专题四：向量、三角函数与解三角形 -江西省南昌市2022-2023学年高三数学一轮复习.docx

1、(四)向量、三角函数与解三角形一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知点为角终边上一点，若，则A2B3C4 D5 2若向量，则下列与向量共线的向量是A.B.C. D.3在ABC中，则的值为A.B.C.D.4 为得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点A.先向右平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）B.先向左平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）C.先向右平移个单位长度，再将纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变）D.先向左平移个单位长度，再将纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变）5已知非零向量，下列有关向

2、量的命题，正确的是A若，则B若，则C是的充要条件D若，则6在中，内角所对的边分别为，已知，则ABCD7已知，与的夹角为，则在方向上的投影为A.B.C.D.8已知函数均为正数的图象关于直线对称，且，则A.B.C.D.9如图，在直角梯形中，若，则A. B. C. ，D. 10函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是A. 是函数一个对称中心B. 是函数一个条对称轴C. 函数在上单调递增D. 将函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象11古希腊数学家帕普斯在数学汇编中提出了一个几何命题，其中蕴含了丰富的三角知识，为三角公式的证明提供了几何模型，这个几何模型可以证明锐角情形下的两角和与差的正弦、

3、余弦公式.如图，点分别在半径为1的半圆上，设，于点，交半圆于点，若，则A.B.C. D.12汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了被称为几何学的基石勾股定理的正确性，现将弦图中的四条股延长相同的长度（将“股”线延长交轴分别为）得到如图2所示的一个“数学风车”，现以弦图的中心为坐标原点，线段在如图所示的轴上，此“数学风车”绕点逆时针匀速旋转一周的时间为秒，分别用表示秒后两点的纵坐标，那么以下选项不正确的有A函数与的图象经过平移后可以重合B函数的最大值为C函数图象的一个对称中心为D函数在上递减二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

4、13已知，则_.14已知单位向量，对任意实数满足恒成立，则向量的夹角的取值范围是_.15已知函数的部分图象如图所示，则_16如图，边长为3的正方形中，分别是边上的动点，若，则的最大值为.三解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知函数（1）角满足，且，求角的值；（2）在（1）条件下，若，且，求的值.18. （12分）在中，内角所对应的边分别为，且满足.（1）判断的形状；（2）若，求的周长和面积.19.已知，记，若两个相邻的零点之间距离为.（1）求在上递增区间；（2）的内角的对边分别为，若，求的最大值.20在中，已知，为的中点，.（1）若，求；（2）若的平分线

5、与相交于点，且，求.21.（12分）在锐角中，内角所对的边分别为.（1）若，求证：；（2）若，求的最小值.22. 如图，已知为抛物线的焦点，是抛物线上不同的两点（在的右上方，在直线的下方），且.（1）求抛物线的方程；（2）求证：的中点在定直线上；（3）若外接圆的半径为，求.(四)向量、三角函数与解三角形解析一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知点为角终边上一点，若，则A. 2B. 3C.4 D.5 【解析】B；因为，所以，解得.2若向量，则下列与向量共线的向量是A.B.C. D.【解析】C；因为，所以，因此只有C选项的向量满足

6、条件.3在ABC中，则的值为A.B.C.D.【解析】D；因为，由正弦定理知，利用余弦定理可得，因此.4为得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点A. 先向右平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）B. 先向左平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）C. 先向右平移个单位长度，再将纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变）D. 先向左平移个单位长度，再将纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变）【解析】B；由题意，只需将函数的图像上所有的点先向左平移个单位长度得到函数的图像，再将函数的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变），即可得到函数的图像.5已知非零向量，下列有关向量

7、的命题，正确的是A若，则B若，则C是的充要条件 D若，则【解析】D；向量不能比较大小，A错误；即，故，B错误；模长相等不一定是相反向量，C错误；向量相等具有传递性，D选项正确6在中，内角所对的边分别为，已知，则A B C D【解析】C；，又因为，经计算，再利用三角形余弦定理得.7已知，与的夹角为，则在方向上的投影为A. B. C. D.【解析】A；由题知，而，所以得，则.8已知函数均为正数的图象关于直线对称，且，则A. B. C. D.【解析】C；由题可知，则解得，又，则，所以，则，所以.9.如图，在直角梯形中，若，则A. B. C. ， D. 【解析】B；以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在

8、的直线为轴，建立平面直角坐标系，设，则，所以，所以，因为，所以，则.10函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是A. 是函数一个对称中心B. 是函数一个条对称轴C. 函数在上单调递增D. 将函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象【解析】B；由图易知，则，将代入得，且，因此.令，得，的对称中心为，A对；令，得，的对称轴为，B对；令，得，故在上增加，上减少，C错；将函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数，D错.11古希腊数学家帕普斯在数学汇编中提出了一个几何命题，其中蕴含了丰富的三角知识，为三角公式的证明提供了几何模型，这个几何模型可以证明锐角情形下的两角和与差的正弦、余弦公式.如图，

9、点分别在半径为1的半圆上，设，于点，交半圆于点，若，则A. B. C. D.【解析】A；由三角函数的定义知，则，所以，则.12汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了被称为几何学的基石勾股定理的正确性，现将弦图中的四条股延长相同的长度（将“股”线延长交轴分别为）得到如图2所示的一个“数学风车”，现以弦图的中心为坐标原点，线段在如图所示的轴上，此“数学风车”绕点逆时针匀速旋转一周的时间为秒，分别用表示秒后两点的纵坐标，那么以下选项不正确的有A函数与的图象经过平移后可以重合B函数的最大值为C函数图象的一个对称中心为D函数在上递减【解析】A；

10、故A正确；，故B正确；，故D错误；，对称中心为正确二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知，则_.【解析】；因为.14已知单位向量，对任意实数满足恒成立，则向量的夹角的取值范围是_.【解析】；因为恒成立，因此，故，即恒成立，解得，因此的夹角取值范围是.15已知函数的部分图象如图所示，则_【解析】；由，故，又因为，故，故.16.如图，边长为3的正方形中，分别是边上的动点，若，则的最大值为.【解析】；设，则，因为，则，即，又因为，所以，因为，由，所以，则，所以，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，则.三解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知

11、函数（1）角满足，且，求角的值；（2）在（1）条件下，若，且，求的值.【解析】（1）化简函数，即，解得，. （2）因为，所以，因为，所以，所以.18. （12分）在中，内角所对应的边分别为，且满足.（1）判断的形状；（2）若，求的周长和面积.【解析】（1）因为所以，故，由正弦定理可得：因为,所以因此，所以，又因为，所以，所以为等腰三角形；（2）因为，所以，所以，所以，又因为，因此，所以，由正弦定理：，解得，因此的周长为：，的面积为.19.已知，记，若两个相邻的零点之间距离为.（1）求在上递增区间；（2）的内角的对边分别为，若，求的最大值.【解析】（1），易知，则，单调递增区间，则，而在上，所以

12、递增区间为；（2）因为，所以，则，根据余弦定理，所以，又因为，所以最大值为2.20在中，已知，为的中点，.（1）若，求；（2）若的平分线与相交于点，且，求.【解析】（1）若，则,因为为的中点，则,故.（2）因为为的平分线，所以，故.且,则，那么，即.21.（12分）在锐角中，内角所对的边分别为.（1）若，求证：；（2）若，求的最小值.【解析】（1）因为，所以所以，所以，所以，所以，所以；（2）因为，所以，所以，所以，因为锐角，所以，所以，所以，所以，令，则.当，即时，则，时，的最小值为8.22. 如图，已知为抛物线的焦点，是抛物线上不同的两点（在的右上方，在直线的下方），且.（1）求抛物线的方程；（2）求证：的中点在定直线上；（3）若外接圆的半径为，求.【解析】（1）因为为抛物线的焦点，所以，即抛物线方程为；（2）由题意可知，过点作轴的平行线，如图，所以，因为，所以，则直线的斜率为，设直线的方程为，设点、，联立，整理得，所以，所以的中点，即中点为，则的中点在直线上；（3）设、，则直线的斜率为，所以，由抛物线的定义可得，所以，由正弦定理得，可得，将代入可得，令，由图形可得，则，则，则，所以，则.13