祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积公开课资源课件.ppt

1、 祖暅祖暅,字景烁，祖冲之之子，字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县人（今河北省涞源县范阳郡蓟县人（今河北省涞源县人），南北朝时代的伟大科学家。人），南北朝时代的伟大科学家。祖暅在数学上有突出贡献，他在祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于实践的基础上，于5 5世纪末提出世纪末提出了体积的计算原理。祖暅原理：了体积的计算原理。祖暅原理：“幂势既同，则积不容异幂势既同，则积不容异”。“势势”即是高，即是高，“幂幂”即是面积。即是面积。祖暅原理“幂势既同，则积不容异幂势既同，则积不容异”夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截

2、得的两个行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。祖暅原理 祖暅原理的提出要比其他国家的祖暅原理的提出要比其他国家的数学家早一千多年。在欧洲直到数学家早一千多年。在欧洲直到1717世世纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出上述结论。上述结论。祖冲之父子是祖冲之父子是我们中华民族的我们中华民族的骄傲和自豪骄傲和自豪学习目标学习目标:（1）能够利用祖暅原理求柱体和锥体的体积。（2）能够利用祖暅原理求球体的体积。祖暅原理“幂势既同，则积不容异幂势既同，则积不容异”hSV底长方体从而

3、我们可以得到所有柱体的体积是_hSV底柱体探究一探究一如图，下面是底面积都等于如图，下面是底面积都等于S，高都等于，高都等于h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式吗？原理推导柱体的体积公式吗？设疑自探一设疑自探一设疑自探二设疑自探二要求：要求：（1）请各位同学积极把你的观点在组内展示，）请各位同学积极把你的观点在组内展示，小组长要认真组织，确保人人参与热烈讨论。小组长要认真组织，确保人人参与热烈讨论。（2）请汇集全组智慧，找出最能代表你们）请汇集全组智慧，找出最能代表你们的答案，并认真做好的答案，并认真做好结论结论的归纳升华。的归纳升华

4、。（3）注意展示点评任务，展示人书写要迅速。）注意展示点评任务，展示人书写要迅速。小组讨论小组讨论 在展示评价后，若你仍有补充，在展示评价后，若你仍有补充，我们奖励我们奖励 分分20题题 号号方方 式式 展示分工展示分工 点评分工点评分工自探一自探一板书板书 自探二自探二板书板书展示要求：展示要求：1.1.书面展示要书面展示要板书工整、规范、快速板书工整、规范、快速;2.2.组长结合本组情况，适当选派代表组长结合本组情况，适当选派代表;3 3.非展示同学继续讨论，完成后结合展示点评，迅速记非展示同学继续讨论，完成后结合展示点评，迅速记 录，录，认真纠错，及时提问、补充和变式训练认真纠错，及时提

5、问、补充和变式训练.第五组第五组第一组第一组探究锥体的体积公式探究锥体的体积公式问：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？问：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？ACA1BB1C1A1BB1C1AA1BC1ACBC1分成的每个锥体的体积有什么关系？说明理由。锥体的体积hSV底锥体31题题 号号方方 式式 展示分工展示分工 点评分工点评分工自探一自探一板书板书 自探二自探二板书板书点评要求：点评要求：1.1.语言简练，声音洪亮语言简练，声音洪亮,不能挡住学生看黑板的视线；不能挡住学生看黑板的视线；2.2.先打分先打分，说明扣分原因说明扣分原因，要脱稿，面向全体同学；，要脱稿，面向全体同学；3.3.重点强调

6、重点强调解题思路和关键解题思路和关键或提出新的方法。或提出新的方法。王浩楠王浩楠 刘智胜刘智胜第五组第五组展示要求：展示要求：1.1.书面展示要书面展示要板书工整、规范、快速板书工整、规范、快速;2.2.组长结合本组情况，适当选派代表组长结合本组情况，适当选派代表;3 3.非展示同学继续讨论，完成后结合展示点评，迅速记非展示同学继续讨论，完成后结合展示点评，迅速记 录，录，认真纠错，及时提问、补充和变式训练认真纠错，及时提问、补充和变式训练.第一组第一组结论结论 半径为半径为R R的球的球 的体积公式是的体积公式是334RV球质疑再探质疑再探1.类比祖暅原理类比祖暅原理,如图所示如图所示,在平

7、面直角坐标系中在平面直角坐标系中,图图1是一个形状不规则的封闭图形是一个形状不规则的封闭图形,图图2是一个上是一个上底为底为1的梯形的梯形,且当实数且当实数t取取0,3上的任意值时，直上的任意值时，直线线y=t被图被图1和图和图2所截得的两线段长始终相等，所截得的两线段长始终相等，则图则图1的面积为的面积为_.运用拓展2.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：暅原理）：“幂势既同，则积不容异幂势既同，则积不容异”。“势势”即是高，即是高，“幂幂”是面积。意思是：如果两等高的几何体在同高处是面积。意思是：如果两等高的几何体在同高

8、处所截得两所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。已已知双曲线的一条渐近线方程为知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，一个焦点为，一个焦点为 。直线直线y=0和直线和直线y=3在第一象限内与双曲线及渐近线围成在第一象限内与双曲线及渐近线围成如如图所示的图形图所示的图形OABN，则它绕，则它绕y轴旋转一圈所得几何体的轴旋转一圈所得几何体的体积为体积为_。05，3总结本节课内容，重点，难点！总结本节课内容，重点，难点！学科班长总结本节课同学们的表现！学科班长总结本节课同学们的表现！课后探究课后探究利用祖暅原理探究台体的体积公式。利用祖暅原理探究台体的体积公式。球、柱、台、锥体体积之间的关系。球、柱、台、锥体体积之间的关系。课后作业：课后作业：完成课时作业完成课时作业1。