机械优化设计课件第四章-无约束优化的直接搜索法-.ppt
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- 机械 优化 设计 课件 第四 无约束 直接 搜索
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1、机械优化设计机械优化设计太原科技大学张学良第四章 无约束优化的直接搜索法 各种无约束优化方法的区别就在于确定其各种无约束优化方法的区别就在于确定其搜索方向搜索方向S(k)的方法不同,所以搜索方向的构成的方法不同,所以搜索方向的构成问题是无约束优化方法的关键。根据构造搜索问题是无约束优化方法的关键。根据构造搜索方向所使用的信息性质的不同,无约束优化方方向所使用的信息性质的不同,无约束优化方法可以分为两类:法可以分为两类:X(k+1)=X(k)+(k)S(k)(k=0,1,2,)一类是只利用目标函数值信息的无约束优一类是只利用目标函数值信息的无约束优化方法,如坐标轮换法、鲍威尔法,称为直接化方法,
2、如坐标轮换法、鲍威尔法,称为直接搜索法;另一类是利用目标函数的一阶或二阶搜索法;另一类是利用目标函数的一阶或二阶导数信息的无约束优化方法,如梯度法、牛顿导数信息的无约束优化方法,如梯度法、牛顿法、共轭梯度法、变尺度法,称为间接搜索法。法、共轭梯度法、变尺度法,称为间接搜索法。基本思想基本思想 4.1 坐标轮换法坐标轮换法(变量轮换法、交替法、降维法)(变量轮换法、交替法、降维法)将将n维无约束优化问题转化为维无约束优化问题转化为n个沿坐标个沿坐标轴方向轴方向ei(i=1,2,n)的一维优化问题来求解,的一维优化问题来求解,并记完成并记完成n次一维搜索为一轮。若一轮搜索后次一维搜索为一轮。若一轮
3、搜索后未得到满足精度要求的最优点,则继续下一未得到满足精度要求的最优点,则继续下一轮迭代搜索。如此反复,直至得到满足精度轮迭代搜索。如此反复,直至得到满足精度要求的最优点为止。在每一轮搜索中,每次要求的最优点为止。在每一轮搜索中,每次迭代仅对迭代仅对n元函数的一个变量沿其坐标轴方向元函数的一个变量沿其坐标轴方向进行一维搜索,其余进行一维搜索,其余n-1个变量均保持不变,个变量均保持不变,再依次轮换进行一维搜索的坐标轴,直至完再依次轮换进行一维搜索的坐标轴,直至完成沿成沿n个沿坐标轴方向的个沿坐标轴方向的n次一维搜索。次一维搜索。x1x2X0(1)X1(1)X2(1)取初始点取初始点X(0)=X
4、0(1),x1坐标轴方向的单位坐标轴方向的单位向量向量S1(1)=e1=1 0T,x2坐标轴方向的单位向量坐标轴方向的单位向量S2(1)=e2=0 1T。X1(1)=X0(1)+1(1)S1(1),X2(1)=X1(1)+2(1)S2(1)判断是否满足迭代收敛准则:判断是否满足迭代收敛准则:|X2(1)X0(1)|?X1(1)=X0(1)+1(1)e1(1)=x1(0)x2(0)T +1(1)1 0T X2(1)=X1(1)+2(1)e2(1)=x1(1)x2(1)T +2(1)0 1T第一轮迭代搜索:第一轮迭代搜索:若满足,则输出最优解,否则,继续下一若满足,则输出最优解,否则,继续下一轮迭
5、代搜索。轮迭代搜索。Xi(k)=Xi-1(k)+i(k)ei(k)(k迭代轮次,迭代轮次,i k轮迭代的第轮迭代的第i次一维搜索次一维搜索 i(k)一维搜索求得的最优步长)一维搜索求得的最优步长)|Xn(k)X0(k)|?计算步骤与算法框图计算步骤与算法框图 1)任选初始点)任选初始点X(0)=X0(1)=x1(0)x2(0)xn(0)T,给定迭代收敛精度给定迭代收敛精度,i=1,k=1。2)置)置n个坐标轴方向向量为单位向量,即个坐标轴方向向量为单位向量,即e1=1 0 0 T,e2=0 1 0 0 T,en=0 0 1T。3)按如下迭代计算公式进行迭代计算)按如下迭代计算公式进行迭代计算
6、Xi(k)=Xi-1(k)+i(k)ei(k)(k迭代轮次,迭代轮次,i k轮迭代的第轮迭代的第i次一维搜索次一维搜索 i=1,2,n)4)判断是否满足迭代收敛准则)判断是否满足迭代收敛准则|Xn(k)X0(k)|?若满足,则输出最优解若满足,则输出最优解:X*=Xn(k),f*=f(X*)否则,令否则,令X0(k+1)=Xn(k),k k+1,返回,返回3)。)。举例:举例:用坐标轮换法求目标函数用坐标轮换法求目标函数 f(X)=x12+x22 x1x2 4x1 10 x2+60 的无约束最优解。初始点的无约束最优解。初始点X(0)=0 0 T,迭代迭代收敛精度收敛精度=0.1。坐标轮换法搜
7、索过程和收敛情况讨论坐标轮换法搜索过程和收敛情况讨论 X0(1)X*X1(1)X0(1)X*X1(1)x1x2X0(1)X1(1)X2(1)X*等值线出现脊线的情况(等值线出现脊线的情况(4M14图)图)4.2 鲍威尔(鲍威尔(Powell)法)法 基本思想基本思想 它是直接利用函数值来构造共轭搜索方它是直接利用函数值来构造共轭搜索方向的一种共轭搜索方向法,又称鲍威尔共轭向的一种共轭搜索方向法,又称鲍威尔共轭方向法或方向加速法。由于对于方向法或方向加速法。由于对于n维正定二次维正定二次函数,共轭搜索方向具有函数,共轭搜索方向具有n次收敛的特性,所次收敛的特性,所以鲍威尔法是直接搜索法中十分有效
8、的一种以鲍威尔法是直接搜索法中十分有效的一种算法,一般认为对于维数算法,一般认为对于维数n 20的目标函数它的目标函数它是成功的。鲍威尔法是在研究具有正定对称是成功的。鲍威尔法是在研究具有正定对称矩阵矩阵H的二次函数的极小化问题时形成的,其的二次函数的极小化问题时形成的,其基本思想是在不用函数导数信息的前提下,基本思想是在不用函数导数信息的前提下,在迭代过程中逐次构造关于在迭代过程中逐次构造关于H的共轭方向。的共轭方向。共轭方向的生成共轭方向的生成 设是设是X(k)和和 X(k+1)为从不同点出发,沿同为从不同点出发,沿同一方向进行一方向进行一维搜索一维搜索而得到的两个极小点。而得到的两个极小
9、点。S(j)S(j)S(k)X(k)X(k+1)f(X(k)f(X(k+1)S(j)T f(X(k)=0 S(j)T f(X(k+1)=0 具有正定对称矩阵具有正定对称矩阵H的二次函数的二次函数 f(X)=0.5 XT H X +BT X+C 在在 X(k)和和 X(k+1)两点处的梯度可以表示为两点处的梯度可以表示为 f(X(k)=H X(k)+B (1)f(X(k+1)=H X(k+1)+B (2)(2)(1)得)得f(X(k+1)f(X(k)=H(X(k+1)X(k)(3)(3)式两边同时左乘)式两边同时左乘S(j)T得得S(j)Tf(X(k+1)f(X(k)=S(j)TH(X(k+1)
10、X(k)=0即即 S(j)T H(X(k+1)X(k)=0若取若取 S(k)=X(k+1)X(k)那么,那么,S(k)和和 S(j)关于关于H 共轭,即共轭,即 S(j)T H S(k)=0 这说明:这说明:沿沿S(j)方向分别对函数做两次一维搜索,方向分别对函数做两次一维搜索,得到两个极小点得到两个极小点X(k)和和 X(k+1),该两点的连,该两点的连线方向线方向S(k)与与S(j)是关于是关于H 共轭的方向。共轭的方向。X(k)x1x2X*S(j)X(k+1)S(k)上述生成共轭方向的方法完全可以推广上述生成共轭方向的方法完全可以推广到到n维优化问题中,即在维优化问题中,即在n维空间中,
11、按上述维空间中,按上述方法可以生成方法可以生成n个相互共轭的搜索方向。个相互共轭的搜索方向。鲍威尔法的基本原理和迭代过程鲍威尔法的基本原理和迭代过程 1)采用坐标轮换法顺次沿)采用坐标轮换法顺次沿n个坐标轴方个坐标轴方向进行一维搜索,然后以初始点向进行一维搜索,然后以初始点X(0)和终点和终点Xn(1)构成一个构成一个新的方向新的方向 S(1),并以次方向搜索,并以次方向搜索方向再作一维搜索得到极小点方向再作一维搜索得到极小点Xn+1(1)。2)取始点)取始点X0(2)=Xn+1(1),并,并去掉去掉原搜索原搜索方向组中的方向组中的第一个方向第一个方向S1(1)=e1,而将第一轮,而将第一轮构
12、成的构成的新搜索方向新搜索方向 S(1)作为作为最末一个方向最末一个方向,以,以此组成第二轮迭代的此组成第二轮迭代的n个方向。个方向。依此进行下去,直到获得满足迭代收敛精度依此进行下去,直到获得满足迭代收敛精度要求的近似极小点为止。要求的近似极小点为止。根据这一原理构造的迭代算法称为根据这一原理构造的迭代算法称为鲍威鲍威尔基本算法。尔基本算法。X1(1)X*S1(1)X0(1)S2(1)S(1)x1x2X2(1)X3(1)X1(2)X2(2)S(2)鲍威尔基本算法的缺点鲍威尔基本算法的缺点 鲍威尔基本算法仅具有理论意义,不要鲍威尔基本算法仅具有理论意义,不要说对于一般的函数,就是对于二次函数,
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