江苏省南通市2020届高三数学专题复习课程资源-利用导数证明不等式教师版.doc

1、第 1 页 共 20 页 利用导数证明不等式（1） *关注结构特征构造抽象函数（相关结论） 1、 条件中有( )( )0fxf x，构造( )( )( ) xx e f xefxf x 2、 条件中有( )( )0xfxf x，构造( )( )( )xf xxfxf x 3、 条件中有( )( )0xfxnf x，构造 1 ( )( )( ) nn x f xxxfxnf x 4、 条件中有( )( )0fxf x，构造 2 ( )( )( )( )( ) xx xxx f xfx ef x efxf x eee 5、 条件中有( )( )0xfxf x，构造 2 ( )( )( ) f xx

2、fxf x xx 6、 条件中有( )( )0xfxnf x，构造 1 ( )( )( ) nn f xxfxnf x xx 7、 条件中有( )tan( )0fxxf x，构造 ( )( )tan( ) sinsintan f xfxxf x xxx 等等。 *利用函数的思想构造具体函数： 把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值的问题， 从而证明不等式， 而如 何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是利用导数证明不等式的关键。 1、 直接作差（有时作商）构造函数（求导诚可贵，构造价更高） ，将不等式问题转化为函 数值域问题。 典例：求证：当x0 时， 2x xe。 分析：本题直

3、接作差或者直接作商、通过取对数等价转化，或通过两边开平方等价转化均可 实现证明，不妨逐一试之。 PS:若遇导数零点不可求（隐零点） ，则虚拟设根，先设再估，探求范围，整体代换，化超越 为平凡。 2、 将待证不等式等价变形后再构造函数。 其中的变形包括：数式变形：移项、提取因式、整体代换（一般对数真数比较复杂时可整体 代换） 、分式变形、拆项拼凑、取对数等手段。 例 1：导数零点不可求（虚拟设根，整体代换，化超越为平凡） 设函数 2 ( )ln x f xeax （1）讨论( )f x的导函数( )fx的零点的个数； （2）证明：当0a时， 2 ( )2lnf xaa a 第 2 页 共 20

4、页 解： （1）定义域(0,)， 2 ( )2(0) x a fxex x 10,( )0afx ( )fx没有零点 20a 2x ye a y x ( )0 +fx 在（ ， ） 2 ( )210 a fae 2 ( )2 b a fbe b 当 1 4 b 且 4 a b 时， 11 22 ( )22(2)0 4 a fbee a 当0a 时，( )fx存在唯一零点。 （2）设( )fx在(0,)的唯一零点为 0 x， 0 x满足 0 2 0 20 x a e x 当 0 (0,)xx，( )0fx ，( )f x 0 (,)xx，( )0fx ，( )f x min0 ( )()f xf

5、 x 0 2 0 2 x a e x ， 00 2lnln2xax 超越平凡化 00 2lnln2axaaax 整体代换 00 2lnln2lnaxaaaax 0 2 000 0 22 ()ln2ln2ln 2 x a f xeaxaxaaa xaa 0a 时， 2 ( )2lnf xaa a 例 2：导数零点不可求，先设再估，探求范围（限制得越小越好）或在极值点附近放缩 ( ), ( )ln2 x f xeg xx 求证：当(0,)x时， 1 ( )( ) 10 f xg x （参考数据：ln20.693，ln3 1.099） 解：令( )( )( )ln2 x h xf xg xex， 第

6、 3 页 共 20 页 1 ( ) x h xe x ，在(0,) 1 ( )20 2 he， 1 (ln2)20 ln2 h 或 2 ( )0 3 h ( )h x在(0,)上有唯一零点 0 1 ( ,ln2) 2 x 且 0 0 1 x e x ，即 00 lnxx （ “化超越为平凡” ） ( )h x在 0 (0,)x， 0 (,)x 0 000 0 1 ( )()ln22 x h xh xexx x 令 1 ( )2F tt t ，在(0,1) 0 11 ()(ln2)ln220.13 ln210 F xF 0 1 () 10 h x 1 ( )( ) 10 f xg x 例 3：比

7、较 2x e e 与x的大小。 分析： （1）x0，易证； （2）x0 时，等价转化为比较 2x e 与lnx的大小。 法一：令 2 ( )ln x f xex ， 2 1 ( ) x fxe x ，( )fx在（0，+）单调增 (1)0f ，(2)0f，( )fx在（0，+）上有唯一实根 0 x，且 1 0 x0.得证。 法二：也可由常用不等式1lnxx ，1 x xe ，得 2 1 x xe ，本质找到了第三方隔离 直线1yx，将熟悉的一次函数作为超越之间的过渡。 4( ) x f xe例 ：，ab，, a bR，求证： 1 222 f bf af af bab f ba 第 4 页 共

8、20 页 法一：要证 1 222 f bf af af bab f ba ， 即证 2 1 22 a bbaba eeee e ba ， 即证 2 222222 1 22 bababa eeeeee ba ，即证 2222 4 baba eeee ba ， 即证 22 11 4 b ab a ee ba ，令(0) 2 ba t t 构造 21 ( ) 1 t t e h tt e ，只需证( )0h t ，易证。 法二：令lnam，lnbn(0)nm 只需证 1 lnln22 nmmn mn nm ，只需证 4 ln nm n mnm 令1 n t t m ，构造 21 ( )ln1 1 t

9、 h ttt t ，以下易证。 例 5：已知 2 21 ( )(ln ) x f xa xx x （1）讨论( )f x的单调性； （2）当1a 时，证明 3 ( )( ) 2 f xfx对1,2x 成立。 分析： （2）直接作差构造函数，历经三次求导，两次零点不可求，两次设而不求。 第 5 页 共 20 页 求F(x)最值 Y N 求导得 F(x) F(x)零点可求 构造函数 F(x)=f(x)-g(x) 再次求导 试根法 基本函数 证明 F(x)零点存在 Y N 设而不求 判断 F(x)符号 判断 F(x)单调性 求 F(x)最值 得 f(x)与 g(x)大小关系 第 6 页 共 20 页

10、 利用导数证明不等式（2） （一）将待证不等式等价变形后再构造函数： （1）双变量问题：化为单变量。先构造齐次式再整体换元（常用于极值 点偏移等问题） 主元思想，冻结变量 （2）将超越平凡合理搭配，拼凑出便于求导后找到零点的优良结构，整合 重组。如()l nhxxx、( )ln nn f xaxxbxc、 ln ( ) nn axb g xc xx 等 （二）利用单调性穿上“f”后构造新函数再证。 （常用于二元变量一元化、极值点偏移、拐 点偏移等问题） 例 1：双变量化为单变量：先构造齐次式，然后再整体换元 ( )lnh xxbx有两个不同的零点1x，2x 求 b 的取值范围； 求证： 12

11、2 1 x x e 解：定义域(0,)，b 范围 1 (,0) e 11ln0xbx，22ln0xbx 2121lnln()0xxb xx，1221lnln()0xxb xx 112 2 2121 ln lnln x xxx xxxx ，不妨设12xx 要证 2 12x xe，只需证 12 121 2 21 ln(lnln)2 xx x xxx xx 即证 21 21 21 2() lnln xx xx xx 令 2 1 1 x t x ， 令 2(1)4 ( )lnln2 11 t F ttt tt ， 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) t F t ttt t ， ( )F t在

12、(1,)上单调增， (1)0F，( )0F t ，即 2(1) ln 1 t t t 2 12x xe 第 7 页 共 20 页 （或利用对数平均不等式， 121221 21 212121 2() (lnln)2 xxxxxx xx xxxxxx ，21xx， 2(1)1 ln 1 xx x xx ） 例 2：已知 2 ( )2lnf xxxax，若 1 x， 2 x 12 ()xx是函数( )f x的两个零点，求证： 12 2 ()0 3 xx f 分析： 2 ( )2fxxa x 12 12 12 262 ()(2) 323 xx fxxa xx （*） 2 1111 ()2ln0f xx

13、xax， 2 2222 ()2ln0f xxxax，消去 a 2 1 12 21 2ln () x x axx xx ， 代入（*） ， 2 121 21 2112 2ln 261 ()() 323 x xxx fxx xxxx 21 xx， 21 1 ()0 3 xx 欲证 12 2 ()0 3 xx f ， 即证 2 1 2112 2ln 6 0 2 x x xxxx ， 即证 2 1 2 2 211 1 31 2 ln0 2 1 x xx x xxx x ， 21 2 0 xx ， 第 8 页 共 20 页 即证 2 1 2 2 1 1 31 ln0 2 1 x xx x x x 令 2

14、 1 (1) x tt x ，令 31 ( )ln 21 t G tt t 2 1 41 ( )0 21 tt G t tt ( )G t在1,上单调增，( )(1)0G tG，得证。 通过消元，换元，不断减少变量的个数。 例 3.( )lng xxx，00,必存在唯一的 12 (,0),(0,)xmxm 使得 12 xx、为( )f x的两个零点。 （2）若函数有两个零点 12 xx、,不妨设 12 xx，由（1） 12 0xx 12 +0xx 12 xx ，( )f x在（-，0）单调减， 12 0xx 则 1212 ( )()xxf xfx 即证 12 ( )()0f xfx即证 22

15、()()0f xfx 构造函数，把不等式的问题转化为函数的单调性问题。 构造( )( )()2 xx g xf xfxeex ,则( )20 xx g xee，( )g x在（0，+ ）单调增。( )(0)0g xg。得证。 第 9 页 共 20 页 一般步骤：1、构造差函数 0 ( )(2)( )F xfxxf x 2、研究( )F x的单调性 3、结合 0 ()F x=0，判断( )F x的符号，从而确定 0 (2)( )fxxf x与的大小关系 4、由 3 再结合( )f x的单调性得结论。 例 5.已知 2 () ( )= ln xa f x x （a 为常数） （1）当 a=0 时，

16、求( )f x的单调区间； （2）当 a=1 时， 对任意的 x1，恒有( )f xk 成立，求实数 k 的取值范围； （3）当 o0.（先放缩后证明） 此时 1 ( ) 2 x fxe x 。以下易证。 例 2：设 L 为函数 ln ( ) x f x x 在点（1,0）处的切线。 （1）求 L 的方程； （2）证明：当x1 时， 3 (1)ln(1)0 x xex 。 分析： （1）y=x-1 （2）法一：由1 x ex 得 3 2 x ex ，x1， 3 (1)(1)(2) x xexx 构造函数( )(1)(2)ln(1)g xxxx, (21)(2) ( ) 1 xx g x x ,

17、( )(2)0g xg得证。 法二：原不等式等价于 3 ln(1) 1 x x e x 。由 y=x-1 是 ln ( ) x f x x 的一条切线，则 y=x-2 是 ln(1) ( ) 1 x f x x 的一条切线.不妨试试此直线为隔离直线。以下易证。 第 16 页 共 20 页 例 3：证明不等式 1 1 12 ln 21 (21)(22) n n n kk k ， * nN 分析：要证 1 1 12 ln 21 (21)(22) n n n kk k ，只要证： 1 1 122 lnln 2121 (21)(22) nn nn nn (2)n 即： 122 ln 21 (21)(2

18、2) n n nn 分析后可设 n 224 = ,(1, 2 +13 n x x （一般对数式的真数比较复杂时，可考虑整体换元） 则 11 2 (21)(22) nn x x 得证： 2 1 2lnxx x *分析通项是关键，在解题时，可以把已知的函数不等式和要证的通项进行对照，必要时可 以通过合理的变形，把它们联系起来。 例 4：( )2 lnf xxx （1）求( )f x的最小值； （2）证明：0x ， 2 ( )2() x x f x ee 解答： （1） ： m i n 12 ( )( )f xf ee ； （2） ：法一：同上，令 2 ( )2() x x g x ee ，( )g

19、 x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调 递减， max 2 ( )(1)g xg e ； minmax ( )( )f xg x得证。 法二：承上启下，借助（1） 2 ( )f x e （1） ，从一般到特殊， 2 () x f e e (2 (1)+(2)得 4 ( )() x f xf e e （1,2 等号不同时成立） 4 ( )() x f xf e e ，得证。 第 17 页 共 20 页 例 5：已知 1 ( )ln()f xx x ，且( )f x在 1 2 x 处的切线方程为( )yg x. （1）求( )yg x的解析式； （2）证明：当0x时，恒有( )( )f xg

20、 x； （3）证明：若0 i a ，且 1 1 n i i a ，则 2 12 12 1111 (+)(+).(+)()n n n n aaa aaan * (1, ,)in i nN （1）解答： 635 ( )ln 552 g xx （2） 33 22 11 ( )( ) 11 nnnn ff x nnnn ，在（ ，）处的切线方程为： 32 22 11 ( 11 nnn yxln n nnn ) 下证 32 22 11 ( )( 11 nnn f xxln n nnn )（切线法） 构造函数 32 22 111 ( )()(0) 11 nnn h xln xxln nx xnnn )-

21、3223 23 1 ()()2 ( ) (1)() xnn xn xnn n h x nxx 则当 1 0x n 时，( )0h x ，当 1 x n ，( )0h x ， min 1 ( )( )h xh n 32 22 11 ( )( 11 nnn f xxln n nnn ) 0 i a ， 32 22 111 ()( 11 ii i nnn ln aaln n annn ) 32 22 11 1(1)11 ()( 11 nn ii ii i nnnn ln aanln nnln n annnn )=) 2 12 12 1111 (+)(+).(+)()n n n n aaa aaan

22、第 18 页 共 20 页 例 6zyx,均是正实数，且1zyx， 求三元函数 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 ),( z zz y yy x xx zyxf 的最小值，并给出证明. 解：设 222 111 222 333 ( ),( ),( ) 111 xxyyzz f xf yf z xyz . 则 2 2 1 1 3 )( x xx xf 在 1 3 处的切线方程为 10 39 )( 1 x xg. 首先证明 )()( 11 xgxf， 10 x， (1) 即证 10 39 1 3 2 2 x x xx 0319339 23 xxx , 0)3() 13( 2 xx 此式

23、显然成立. 同理有 11 ( )( )f yg y (2) 11 ( )( )f zg z (3) )3)(2)(1 (式相加得 111 9()9 ( , )( )( )( )0 10 xyz f x y zf xf yf z ，当且仅当 3 1 zyx时，0),(zyxf 这里， 我们考虑 2 2 1 1 3 )( x xx xf 与 10 39 )( 1 x xg有什么关系？研究函数的性质不难发 现直线 10 39 )( 1 x xg是函数 2 2 1 1 3 )( x xx xf 在 3 1 x处的切线，且位于)(xf图像的下 侧，故在 3 1 x附近可用 1( ) g x来近似估计)(

24、xf. 例 7：设)5 , 4 , 3 , 2 , 1( , 0ixi且 5 1 1 1 1 i i x 求证： 5 2 1 1 4 i i i x x 证明：令)5 , 4 , 3 , 2 , 1( 1 1 ia x i i . 第 19 页 共 20 页 则 125 ) 1 1 (4 1 1 4 , 1, 0 2 2 2 2 5 1 ii ii i i i i i ii aa aa a a x x aa 于是原不等式等价于1 125 5 1 2 2 i ii ii aa aa . 设) 10( 125 )( 2 2 x xx xx xf. 则 2 22 1132113 ( ),( )=,(

25、 ) 55(521)54 xx ffxf xx . 于是，)(xf在 5 1 x处的切线方程为 31 ( ) 420 g xx 先证： ( )( )fxg x， 01x 即证 2 2 31 521420 xx x xx 0) 13() 15( 2 xx，显然成立 故 5 1 5 1 5 1 2 2 1 20 1 4 3 125 ii i i ii ii a aa aa 1 5 20 1 1 4 3 原不等式得证. 例 8. 已知正整数，求证 11125 12236nnn . 分析：法一：证明原不等式的加强版： 111251 1223641nnnn ， 法二：用定积分的几何意义：构造函数 1 y x 并作图象如图 1 所示， 因函数 1 y x 在(0, )上是凹函数，由函数图象 可知，在区间 ,2 nn上的个矩形的面积之和小于 曲边梯形的面积， 第 20 页 共 20 页 即： 2 2 1111 ln|ln2lnln2 122 n n n n dxxnn nnnx 因为 25 ln20.6931,0.6944 36 ，所以 25 ln2 36 . 所以 11125 12236nnn