偏微分方程基本概念与三类典型方程的导出课件.ppt
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1、1 教材:季孝达等编数学物理方程 数学物理方程2 数学物理方程(简称数学物理方程(简称数理方程数理方程)是指从物理学及其它各门自然科学、是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的偏微分方程技术科学中所导出的偏微分方程 数学物理方程广泛用于研究自然数学物理方程广泛用于研究自然界中的诸多物理现象和普遍规律,比界中的诸多物理现象和普遍规律,比如热传导,弦振动,气体扩散等等如热传导,弦振动,气体扩散等等.序 言3科学、工程问题的求解一般流程实际问题实际问题数学数学物理模型物理模型数学方法数学方法学习基本原理,基本求解方法 随着计算机的发展,数值方法已深入到物理、材料科学与加工、信息等各个领域。
2、数值方法数值方法分析方法分析方法 本课仅限介绍数学模型的最基本的解析分析方法。4第1章 偏微分方程定解问题 数学物理方程的基本概念 三类典型的数学物理方程的导出 一阶线性偏微分方程和某些二阶线性方程偏微分方程通解的解法 处理一般线性问题的基本原理叠加原理齐次化原理1.15数理方程的基本概念数理方程的基本概念 偏微分方程(偏微分方程(PDE)的基本概念)的基本概念12(,)nxx xx自变量自变量12()(,)nu xu x xx未知函数未知函数121112(,)0nmnmmmnnuuuF xxuxxxxx偏微分方程的一般形式偏微分方程的一般形式6PDE的阶的阶:偏微分方程中未知函数的偏微分方程
3、中未知函数的最高阶偏导数的阶数最高阶偏导数的阶数称为偏微分方程的阶。称为偏微分方程的阶。12nmmmm121112(,)0nmnmmmnnuuuF xx uxxxxx线性线性PDE非线性非线性PDE如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是一次的,及其系数仅依赖于自变量,就称为线性偏微分方程。7非线性非线性PDE半线性半线性PDEPDE拟线性拟线性PDEPDE完全非线性完全非线性PDEPDE8二阶线性二阶线性PDE:21111,11(,)(,)(,)(,),nnijnjnnni jjijjuuaxxb xxc xx uf xxx xx,ijja b c f其中是给定的函数。线性线性PDE
4、的自由项的自由项:方程中不含未知函数及其偏导数的项称为自由项。当自由项 时,称为齐次方程,否则称为非齐次方程。0f 主部主部偏微分方程的解偏微分方程的解:古典解:如果将某个函数 u 代入偏微分方程中,能使方程成为恒等式,且方程中出现的偏导数都连续,则这个连续函数就是该偏微分方程的古典解。通解:含有与偏微分方程阶数相同的、相互独立的任意函数(常数)的解。特解:不含任意函数或任意常数的解。91.sin()0uxy ux线性线性PDE2.线性线性PDE3.sinuuuxt非线性非线性PDE4.222()()uuuxt非线性非线性PDE22222cosuuxaettx举例举例10是二维的是二维的是一维
5、的是一维的是一维的是一维的是一维的是一维的1.sin()0uxy ux2.3.sinuuuxt4.222()()uuuxt22222cosuuxaettxPDE维数维数:是指方程中出现的空间坐标的个数。是指方程中出现的空间坐标的个数。11定常和非定常:定常和非定常:如果方程中不出现时间如果方程中不出现时间 t,则称方程为定常的则称方程为定常的,否则称为非定常的否则称为非定常的.是定常的是定常的是非定常的是非定常的1.sin()0uxy ux2.3.sinuuuxt4.222()()uuuxt22222cosuuxaettx是非定常的是非定常的是非定常的是非定常的121.1 三类经典方程的导出三
6、类经典方程的导出 波动方程波动方程 一维均匀弦的微小横振动问题一维均匀弦的微小横振动问题 调和方程(调和方程(Laplace方程方程,Poisson方程方程)静电场问题静电场问题 热传导方程热传导方程(扩散方程扩散方程)三维热传导问题三维热传导问题13 均匀弦的微小横振动问题均匀弦的微小横振动问题 弦的特点:匀、细、软、紧的一根弹性细线。振动特性:微小的、横向振动:振动的幅度很小,弦在任意位置处切线的倾斜角很小。考虑一根拉紧的长为l 的弦,线密度 ,以弦的平衡位置所在直线为 x 轴,并以弦的左端点为坐标原点,则右端点的坐标为(l,0)。求它在平衡位置附近作微小的横向振动的规律。遵循牛顿第二定律
7、遵循牛顿第二定律:作用在物体上的力作用在物体上的力=该物体的质量该物体的质量该物体的加速度该物体的加速度14取弦的平衡位置为取弦的平衡位置为ox 轴,运动平面为轴,运动平面为 x-O-u.在时刻在时刻 t,弦线在,弦线在 x 点的位移为点的位移为 u(x,t)ouxPQl把上图中把上图中PQ的放大的放大ouxPQxxxTT),(txF15 设弦上坐标为 x 的点在时刻 t 沿垂直于 x 轴方向的位移用函数 u(x,t)来表示。(,),x xx下面利用下面利用微元法微元法建立方程:建立方程:在任一时刻在任一时刻 t,任取一小段弦,任取一小段弦它弧长为它弧长为其中倾斜角其中倾斜角很小很小。2222
8、111 sin,usxuxxtgxxx 16 现在研究弧段在时刻现在研究弧段在时刻 t 时的受力情况。时的受力情况。弦所受的力有弦内部的张力弦所受的力有弦内部的张力T,其方向沿,其方向沿弦的切线方向。弦的切线方向。假设在弧段运动方向,即假设在弧段运动方向,即ou轴方向上存在轴方向上存在外力作用。外力作用。(,).F x tx(,),F x t其方向垂直于其方向垂直于 x 轴轴,coscos0.TT在在 ox 轴方向上,弧段所受力的总和为轴方向上,弧段所受力的总和为 (,)x xx上所受的外力近似为:上所受的外力近似为:则小弦段则小弦段设在时刻设在时刻 t,x 点处的外力密度为点处的外力密度为1
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