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1、 第一章第一章 绪论绪论 第二章第二章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 第三章第三章 连接件强度的实用计算连接件强度的实用计算 第四章第四章 扭转扭转 第五章第五章 弯曲内力弯曲内力 第六章第六章 弯曲应力弯曲应力 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 第八章第八章 应力状态分析和应力应力状态分析和应力-应变关系应变关系 第九章第九章 强度理论强度理论 第十章第十章 组合变形组合变形 第十二章压杆稳定第十二章压杆稳定 材料力学的研究对象材料力学的研究对象 材料力学的任务及与工程的联系材料力学的任务及与工程的联系 变形固体的物性假设变形固体的物性假设 内力、应力、应变和截面法内力、应力、应变和截面法 杆

2、件变形的基本形式杆件变形的基本形式 一、具有足够的强度一、具有足够的强度（strength）强度：材料或材料所组成的构件抵抗破坏的能力。强度条件：在规定外力荷载作用下不破坏。二、具有足够的刚度二、具有足够的刚度（rigidity）刚度：材料或材料所组成的构件抵抗变形的能力。刚度条件：在规定外力荷载作用下变形不超过一定范围。三、具有足够的稳定性三、具有足够的稳定性（stability）稳定性：构件保持原有平衡状态的能力。稳定性条件：在规定外力荷载下保持其原有平衡形态。一、连续性假设一、连续性假设（assumption of continuity）认为物质毫无空隙地充满了物体的几何空间，认为物质毫

3、无空隙地充满了物体的几何空间，结构是密实的。结构是密实的。二、均匀性假设二、均匀性假设（assumption homogeneity）认为物体内各处的力学性质完全相同。认为物体内各处的力学性质完全相同。三、各向同性假设三、各向同性假设（assumption of isotropy）认为物体在各个方向具有相同的力学性能。认为物体在各个方向具有相同的力学性能。：构件是由固体材料制成的，构件在外力作用下几何形状和尺寸会发生改变，故通常把构件称为变形固体。对变形固体，根据其主要性质，作出如下的基本假设：应变（应变（strainstrain）构件在外力作用下会发生尺寸和形状的改变，称为变形变形。变形会使

4、构件上各点、各线和各面的空间位置发生移动，称为位移。构件内某一点的原来位置到其新位置所连直线的距离，称为该点的线线位移位移；构件内某一直线段或某一平面在构件变形时所旋转的角度，称为该线或该面的角位移角位移。描述材料变形剧烈程度的物理量称为应变，通常可区分为和，都是无量纲量。截面法截面法（method of section）求内力的一般方法是截面法。用一个截面把物体截求内力的一般方法是截面法。用一个截面把物体截开，取其中任意一截离体为研究对象，求内力的方法，开，取其中任意一截离体为研究对象，求内力的方法，称为称为。截面法的基本步骤：截面法的基本步骤：Q：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分

5、为二（如教材图1-2（a）所示）。Q：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。Q：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）。杆件的四种基本变形形式杆件的四种基本变形形式 杆受一对大小相等，方向相反的纵向力，力的作用线与杆轴线重合。(a)(a)轴向拉伸轴向拉伸(b)(b)轴向压缩轴向压缩FFFFQ(2)杆受一对大小相等，方向相反的横向力，力的作用线靠得很近。剪切变形剪切变形FF 杆受一对大杆受一对大小相等，方向相反小相等，方向相反的力偶，力偶作用的力偶，力偶作用面垂直于杆轴线。面

6、垂直于杆轴线。扭转变形扭转变形MeMeg gj j弯曲变形弯曲变形MMQ(4)杆受一对大小相等，方向相反的力偶，力偶作用面是包含轴线的纵向面。同时发生两种或以上的基本变形。第二章第二章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 拉压杆的轴力及拉压杆的轴力及轴力图轴力图 截面上的内力和应力截面上的内力和应力 拉压杆的变形与位移拉压杆的变形与位移 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 安全条件、许用应力、强度条件与刚度条件安全条件、许用应力、强度条件与刚度条件 工程中以拉伸和压缩为主要变形的杆件，称为工程中以拉伸和压缩为主要变形的杆件，称为。承。承受拉伸或压缩杆件的外力作用线与杆轴线重合，

7、杆件沿杆受拉伸或压缩杆件的外力作用线与杆轴线重合，杆件沿杆轴线方向伸长或缩短，这种变形形式称为轴线方向伸长或缩短，这种变形形式称为或或。轴向拉压（轴向拉压（axial tension or compressionaxial tension or compression）的）的：外力的合力作用线与杆的轴线重合。外力的合力作用线与杆的轴线重合。：杆件受一对大小相等、方向相反的纵向力，力：杆件受一对大小相等、方向相反的纵向力，力的作用线与杆轴线重合。的作用线与杆轴线重合。：沿轴线方向伸长或缩短，伴随横向缩扩，横截：沿轴线方向伸长或缩短，伴随横向缩扩，横截面沿轴线平行移动。面沿轴线平行移动。F F F

8、 F 内力由于物体受外力作用而引起的其内部各质点间相互作用的力的改变量。引起伸长变形的轴力为正引起伸长变形的轴力为正拉力（拉力（）；）；引起压缩变形的轴力为负引起压缩变形的轴力为负压力（压力（）。）。F F FF F F截面法mmF F mmF sFNmmF FN s：横截面面积：横截面上的轴力AFAFAFNNs拉应力为正压应力为负NAFAdAss或:杆件截面上的分布内力的集度，称为。拉（压）杆斜截面上的应力拉（压）杆斜截面上的应力 横截面横截面-是指垂直杆轴线方向的截面；是指垂直杆轴线方向的截面；斜截面斜截面-是指任意方位的截面。是指任意方位的截面。FFFNpscoscosAFp全应力：全应

9、力：psss2coscos ps2sin2sin0 p正应力：正应力：切应力：切应力：1）=00 时，时，max2）450 时，时，max=/2 圣维南（圣维南（Saint-VenantSaint-Venant）原理）原理 作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一个与之静力等效的力系来代替。力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。FFFF2F2F2F2F 由于截面骤变而引起的局部应力发生骤然变化的现象。nksssmaxmaxs其中其中：-最大局部应力-名义应力（平均应力）nssmax沿轴线方向的正应变和横截面上的正应力分别为：llAFAFNs 当杆内应力低

10、于材料的某一极限（比例极限）值时，正应力与正应变成正比，这就是(Hookes law)，是由英国科学家胡克（Robet Hooke）于1678年首次用实验方法论证了这种线形关系后提出的。可写成：sE或或sE轴向变形与胡克定律轴向变形与胡克定律 为材料的拉（压）弹性模量弹性模量（modulus of elasticity），也称杨氏模量，其单位单位为Pa，常用Mpa或Gpa。：弹性模量因材料而异，正应变没量纲，E E与s s 的量纲相同。弹性模量E E表示材料材料抵抗弹性拉压变形的能力，其值越大，表示材料越不容易产生伸长（缩短）变形。EAlFlNniiiiiAELFlEA 称为杆的（rigidi

11、ty of tension or compression）。它表示抵抗弹性拉压变形的能力，其值越大，表示杆的伸长（缩短）变形越小。（Poissons ratio）（或横向变形系数）（或横向变形系数）低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢拉伸时的力学性能拉伸图 ：荷载荷载伸长量伸长量 (1)(1)弹性阶段弹性阶段(2)(2)屈服阶段屈服阶段(3)(3)强化阶段强化阶段(4)(4)局部变形阶段局部变形阶段Oepsb 线弹性阶段线弹性阶段 屈服阶段屈服阶段 强化阶段强化阶段 颈缩阶段颈缩阶段应力应力-应变（应变（-）图）图p-比例极限比例极限e-弹性极限弹性极限s-屈服极限屈服极限b-强度极限强度极限低碳钢应

12、力低碳钢应力-应变曲线分为四个阶段：应变曲线分为四个阶段：弹性阶段（弹性阶段（oaboab段）；段）；屈服阶段（屈服阶段（bcbc段）；段）；强化阶段（强化阶段（cdcd段）；段）；局部变形阶段局部变形阶段（颈缩阶段（颈缩阶段）（）（dede段）。段）。abcdebo1 o2f 为了消除掉试件尺寸的影响，将试件拉伸图转变为材为了消除掉试件尺寸的影响，将试件拉伸图转变为材料的应力料的应力。1.伸长率：伸长率：%1001lll2.断面收缩率：断面收缩率：%1001AAAl1-试件拉断后的长度试件拉断后的长度A1-试件拉断后断口处的试件拉断后断口处的 最小横截面面积最小横截面面积 MPa240ssM

13、Pa390bsGPa210200E：%30%20%60的材料称为的材料称为塑性材料塑性材料；%5的材料称为的材料称为脆性材料脆性材料。%5OP L0APbb s s强度极限：强度极限：Pb s sb，脆性材料唯一拉伸力学性能指标。应力应变不成比例，无屈服、颈缩现象，变形很小且s sb很低。拉伸强度s sb基本上就是试件拉断时横截面上的真实应力。校核杆件强度：设计截面面积：确定承载能力：nuss-许用应力许用应力u-极限应力极限应力n-安全因数安全因数强度条件：强度条件：ssAFN max,max smax,NFA sAFNmax,max,NmaxssAF 所谓所谓联接（联接（joints,co

14、nnectionsjoints,connections）是指结构是指结构或机械中用螺栓（或机械中用螺栓（boltbolt）、销轴（）、销轴（pinpin）、键）、键（keykey）、铆钉（）、铆钉（rivetrivet）和焊缝（）和焊缝（weldweld）等将两）等将两个或多个部件联接而成。在构件连接处起连接作个或多个部件联接而成。在构件连接处起连接作用的部件，称为用的部件，称为连接件（连接件（connections connections）。例如：。例如：螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，起着传递载荷螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。的作用。剪切面剪切面构件将发生相互的错构件将发

15、生相互的错动面，如动面，如n n n n。剪切面上的内力剪切面上的内力 剪切面上的内力剪切面上的内力 剪力剪力Fs，其作用线与剪切面平行。其作用线与剪切面平行。上刀刃上刀刃下刀刃下刀刃nnFFFFS剪切面剪切面FF剪切面剪切面FFFSFnn（合力）（合力）FF 剪切破坏剪切破坏 沿铆钉的剪切面剪断沿铆钉的剪切面剪断，如，如沿沿n n面剪断面剪断。挤压破坏挤压破坏 铆钉与钢板在相互接触面铆钉与钢板在相互接触面上因挤压而使溃压连接松动，发生上因挤压而使溃压连接松动，发生破坏。破坏。拉伸拉伸破坏破坏 钢板在受铆钉孔削弱的截钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。面处，应力增大，易在连接

16、处拉断。FnnFs剪切面其他的连接也都有类似的破坏可能性。其他的连接也都有类似的破坏可能性。AFs名义切应力名义切应力剪切强度条件（准则）剪切强度条件（准则）AFsmax nu:其中 为名义许用剪切切应力名义许用剪切切应力 u 为名义名义剪切剪切极限极限应力应力剪切破坏条件剪切破坏条件umax 在剪切实用计算中，假设剪切面上，得剪切面上的名义切应力和剪切的强度条件 SSAF：连接件计算中，连接件材料的许用切应力 是通过直接试验，按上式得到剪切破坏时材料的极限切应力，再除以安全因数，即得;可在有关的设计规范中查到。FS为剪切面上的剪力；AS为剪切面的面积。对大多数的连接件(或连接)来说，剪切变形

17、及剪切强度是主要的。挤压的概念挤压的概念FF挤压面挤压面FF压溃压溃(塑性变形塑性变形)挤压挤压：构件局部面积的承压现象。挤压力挤压力：在接触面上的压力挤压力，记Fbs。假设假设：挤压应力在有效挤压面上均匀分布。挤压强度条件：挤压强度条件：bsbsssmax)(挤压面为平面，计算挤压面就是该面。挤压面为平面，计算挤压面就是该面。挤压面为弧面，取受力面对半径的投影面挤压面为弧面，取受力面对半径的投影面名义挤压应力名义挤压应力bsbsbsAFstdFbs挤压力挤压力计算挤压面计算挤压面Abs=td 1bsbsss；、校核强度：2bsbsbsssFAFAs；、设计尺寸：3bsbsbsssAFAFs；

18、、设计外载：通过直接试验得到材料的极限挤压应力，从而确定了挤压许用应力s sbs bsbsbsbsssAFu传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 u纯剪切、切应力互等定理、剪切胡克定理纯剪切、切应力互等定理、剪切胡克定理 u等直圆轴扭转时的应力及强度条件等直圆轴扭转时的应力及强度条件u等直圆杆在扭转时的变形及刚度条件等直圆杆在扭转时的变形及刚度条件 轴轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形扭转变形。扭转角扭转角：变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一

19、个角度，称为扭转角，用表示。同时，杆件表面的纵向直线也转了一个角度变为螺旋线，称为剪切角剪切角。ABOgOBAj 传动轴和外力偶矩传动轴和外力偶矩 是通过转动传递动力的构件，杆件所受是通过转动传递动力的构件，杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。若己知轴传递的功率换算。若己知轴传递的功率P（kW），它应等于外），它应等于外力偶力偶Me和相应角速度和相应角速度w之乘积：之乘积：ePM w工程中功率工程中功率P P的常用单位为的常用单位为kWkW，力偶的单位，力偶的单位为为N Nm m，转速，转速 n n 的单位为的单位为r/min(

20、r/min(转转/分分)。Me1 Me2 Me3 n从动轮主动轮从动轮：n(转转/分分)：P(kW)TPPW60000100060eeenMnMMW2)12()(9549mNnPMeWW扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为，用符号 表示。eMT 扭矩大小可利用截面法截面法来确定。11TTMe Me AB11BMe AMe 11x扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定:扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。仿照轴力图的做法，可作，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小)。反映扭矩变化规律；进行强度计算（危险截面）。TTTTT(+)T(-)0

21、dArATArT0静力学条件因薄壁圆环横截面上各点处的切应力相等02 rA 202 rTArArTA00d得得 dAnnMe r0 xr0A：平均半径所作圆的面积。平均半径所作圆的面积。：圆筒的平均半径圆筒的平均半径 r0和壁厚和壁厚之比之比r0/10,（r0：为平均半径）。为平均半径）。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为。dabcxyzabOcddxdydz ：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（p)

22、，切应力与切应变成正比关系。切应力与切应变成正比关系。gG 式中：式中：G是材料的一个弹性常数，称为是材料的一个弹性常数，称为，因因g g 无量纲，故无量纲，故G的量纲与的量纲与 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通过实验确值可通过实验确定。钢材的定。钢材的G值约为值约为80GPa。切变模量切变模量、弹性模量弹性模量和和泊松比泊松比是表明材料弹性性质的三是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：系（推导详见后面章节）：)1(2EGpIT 横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点剪应

23、力计算公式。处任一点剪应力计算公式。时，时，表示圆截面边缘处的切应力最大，为：表示圆截面边缘处的切应力最大，为：ppWTRITmax，称为称为（与截面形状和尺寸有关）（与截面形状和尺寸有关）。xddj：称为，扭转角沿长度方向变化率。42d32pADIA DdO 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。424d(1)32pADIA dDOd 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。（空心截面）（空心截面）（实心截面）（实心截面）pTI由由知：当知：当max ,2dR)2(22 maxdIWWTdITI

24、dTppppp令pWTmaxW Wp p 抗扭截面系数（抗扭截面模量），抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：几何量，单位：mmmm3 3或或m m3 3。强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxpWT 为为，上式称为上式称为。校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：计算许可载荷：计算许可载荷：maxmaxpWTmaxTWpmaxtWT）（空：实：433116 16 DDWpmaxmaxPWT等直圆杆仅两端截面受外力偶矩等直圆杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时作用时pGITlj称为等直圆杆的称为等直圆杆的相距相距l 的两横截面间相对扭转角为的两横截面间相对扭转

25、角为llxGIT0pddjjgMe Me jpeGIlM(单位：单位：rad)GIp-（torsional rigidity），它），它表示杆表示杆抵抗抵抗扭转变形能力的强弱扭转变形能力的强弱。当两截面之间的扭矩或。当两截面之间的扭矩或GIp为变量时，为变量时，则应通过积分或分段计算各段的扭转角，并求其代数和，即则应通过积分或分段计算各段的扭转角，并求其代数和，即为全杆的扭转角。即：为全杆的扭转角。即：niPiiiiIGlT1j单位长度扭转角单位长度扭转角 (rad/m)dd pGITx j/m)(180 dd jpGITx 称为称为，取值可根据有关设计标淮或规范确定。取值可根据有关设计标淮或

26、规范确定。)/(maxmradGITp)/(180maxmaxmGITop180maxmaxpGIT 在工程中，的单位习惯用在工程中，的单位习惯用（/m）表示，将上式中的弧表示，将上式中的弧度换算为度，得：度换算为度，得：对于等截面圆轴，即为：对于等截面圆轴，即为：校核刚度：校核刚度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：计算许可载荷：计算许可载荷：max max pT IG max p TGI有时，还可依据此条件进行选材。有时，还可依据此条件进行选材。工程中的梁及力学简图工程中的梁及力学简图 梁的内力梁的内力-剪力和弯矩剪力和弯矩 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 剪力、弯矩与荷载集度之间的微分关系剪力、

27、弯矩与荷载集度之间的微分关系 静定平面刚架和曲杆的内力图静定平面刚架和曲杆的内力图 平面弯曲的概念平面弯曲的概念：以轴线变弯为主要特征的变形称为：以轴线变弯为主要特征的变形称为弯曲变形弯曲变形或简称或简称弯曲。特点：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，弯曲。特点：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。：以弯曲为主要变形的杆件。主要承受垂直于轴线荷载的杆件。轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁。：若梁上所有外力都作用在若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成

28、的曲线也在该平面内的弯纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。曲。平面弯曲问题是最常见也是最简单的弯曲问题，平面弯曲问题是最常见也是最简单的弯曲问题，有关内力与变形方面的分析是梁的研究重点。下面几章中，有关内力与变形方面的分析是梁的研究重点。下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。qFeMAyFByFxBAy对称面向纵悬臂梁简支梁外伸梁固定梁连续梁半固定梁固定铰支座固定铰支座：2 2个约束，个约束，1 1个自由度。如：桥梁个自由度。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。下的固定支座，止推滚珠轴承等。滑动铰支座滑动铰支座：1

29、 1个约束，个约束，2 2个自由度。如：桥梁个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。下的辊轴支座，滚珠轴承等。固定端支座固定端支座：3 3个约束，个约束，0 0个自由度。如：游泳个自由度。如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。池的跳水板支座，木桩下端的支座等。静定梁静定梁仅用静力平衡方程即可求得反力的仅用静力平衡方程即可求得反力的梁梁（如前述三种基本形式的静定梁）。（如前述三种基本形式的静定梁）。超静定梁超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。不能求出全部支反力。均匀分布荷载线性(非均匀)分布荷载分布荷载分布荷载Me集中力偶ABPYAXA

30、RBmmxxYMMlalPYFYACA ,0)(,0sAYAFsMRBPMFs所以，所以，弯曲构件内力：弯曲构件内力：剪力剪力弯矩弯矩弯矩：弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。CC剪力剪力：Fs 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。内力的正负规定内力的正负规定 平行于横截面的内力，符号：平行于横截面的内力，符号：Fs，正负号规定：使梁有，正负号规定：使梁有左上右下错动趋势的剪力为正（顺时针方向），反之为负左上右下错动趋势的剪力为正（顺时针方向），反之为负(左截面上的左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正剪力

31、向上为正，右截面上的剪力向下为正)。FSFSFSFS剪力为正剪力为正剪力为负剪力为负 绕截面转动的内力，符号：绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使梁变形呈，正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩为正梁上压下拉的弯矩为正)。MMMM弯矩为正弯矩为正弯矩为负弯矩为负剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。剪力图和弯矩图)()(SSxMMxFF弯矩方程：剪力方程：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。注意：弯矩图画在梁的受拉侧。由剪力、弯

32、矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向。剪力、弯矩与荷载集度之间的微分关系剪力、弯矩与荷载集度之间的微分关系qdxMdFdxdMqdxdFSs220dxdFsSFC剪力图是水平直线.dMCdx弯矩图是斜直线.0dxdMMC弯矩图是水平直线.qdxdFs剪力图是斜直线.微分关系的几何意义微分关系的几何意义 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的切线斜率等于

33、该点剪力的大小。各种荷载下剪力图与弯矩图的形态各种荷载下剪力图与弯矩图的形态外力情况外力情况q0(向下向下)无荷载段无荷载段集中力集中力F作用处：作用处：集中力偶集中力偶M作用作用处：处：剪力图上的特征剪力图上的特征(向下斜直向下斜直线线)水平线水平线突变突变，突变突变值为值为F不变不变弯矩图上的特征弯矩图上的特征(下凸抛物线下凸抛物线)斜直线斜直线有有尖点尖点有有突变突变，突变值突变值为为M最大弯矩可最大弯矩可 能的能的截面位置截面位置剪力为零剪力为零的截面的截面剪力突变的剪力突变的截面截面弯矩突变的某一弯矩突变的某一侧侧 设简支梁同时承受跨间荷设简支梁同时承受跨间荷载载q与端部力矩与端部力

34、矩MA、MB的作的作用。其弯矩图可由简支梁受用。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：支梁弯矩图叠加得到。即：+MAMBM0+MAMBM0BMAAqMBlB xMxMxM0结构对称，结构对称，载荷反对称，载荷反对称，则则，ABaqq2qa2qaa2qa2qa2qa2a2a82qa82qa结构对称，载荷对称，则结构对称，载荷对称，则，2F2F2F2F2Fa2FaABFaaaa2F2FFF平面刚架平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。：刚架各杆的内力有：Fs、M、

35、N。在平面载荷作用下，组成刚架的杆件横截面上一般存在轴力、剪力和弯矩三个内力分量。内力图规定：内力图规定：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。试作图示刚架的内力图。试作图示刚架的内力图。P1P2alABCP2+P1+P1P1aP1aP1a+P2 l 梁的弯曲正应力公式及强度条件梁的弯曲正应力公式及强度条件 梁的弯曲切应力及强度条件梁的弯曲切应力及强度条件 梁的合理设计梁的合理设计 梁横截面一般有弯矩和剪力两种内力。相应地，在梁横截面上一般有正应力和切应力。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别称为梁弯曲时横截面上的正应力与切

36、应力，分别称为与与。sMSFMFSFSMs s 根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称为。中性层与横截面的交线就是。中性层中性层中性轴中性轴Me Me 中性层中性轴m1onn2omsyEEzEIM1zIMyszOyzdA s dAyx zIMymaxmaxs称为maxyIMzzWMyzzybh 矩形截面矩形截面123bhIz62/2bhhIWzz123hbIy62/2hbbIWyy 圆形截面圆形截面644dIIyz322/2/3ddIdIWWyzyzzybhyzd 空心圆截面空心圆截面444416464DdDI

37、IyzDd/yzzWDDIW431322/(4)(4)型钢截面：参见型钢表型钢截面：参见型钢表式中式中DOdyz 由于smax处=0或极小，并且不计由横向力引起的挤压应力，因此梁的正应力强度条件可按单向应力状态来建立：材料的许用弯曲正应力材料的许用弯曲正应力 ssmax szWMmax中性轴为横截面对称轴的等直梁其中：其中：FS 横截面上的剪力；横截面上的剪力；Iz 整个横截面对于中性轴的惯性矩；整个横截面对于中性轴的惯性矩；b 与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；bISFzz*Szyyy1Ad*zS 横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对横截面上

38、求切应力的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩中性轴的静矩22SSSSmax338322812zF hF hFFIbhAbh22S*S42yhIFbISFzzz(1)沿截面高度按二次抛物沿截面高度按二次抛物线规律变化；线规律变化；(2)同一横截面上的最大切应同一横截面上的最大切应力力 max在中性轴处在中性轴处(y=0)；(3)上下边缘处（上下边缘处（y=h/2)，切切应力为零。应力为零。maxzyOmax 一般一般 max发生在发生在FS,max所在截面的中性轴处，该所在截面的中性轴处，该位置位置s s=0。不计挤压，则。不计挤压，则 max所在点处于所在点处于状态状态。梁的切应力强度条件为梁

39、的切应力强度条件为 max bISFzz*max,max,S材料在横力弯曲时的许用切应力材料在横力弯曲时的许用切应力对等直梁，有对等直梁，有EmaxFmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2 max ssmax强度足够强度足够 max ssmax确定截面尺寸设计截面时Emml/2qGHCDFlql2/8ql/2单轴单轴应力状态应力状态 最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处的正应力为零，即切应力危险点处于处，该处的正应力为零，即切应力危险点处于；梁变形的基本方程梁变形的基本方程 积分法求梁的变形积分法求梁的变形 计算梁位移的叠

40、加法计算梁位移的叠加法 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计 用变形比较法求解简单超静定梁用变形比较法求解简单超静定梁梁的 梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。2.2.梁位移的度量：梁位移的度量：挠度挠度：梁横截面形心的竖向位移，向下的挠度为正。转角转角：梁横截面绕中性轴转动的角度，顺时针转动为正。挠曲轴方程挠曲轴方程：挠度作为轴线坐标的函数转角方程转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系dwtgdx3.计算位移的目的计算位移的目的：PxwcC cC1wx1()()M xxEI223221()1()ddxxddx 22322()1()dMxdxEIddx 22()dMxdxEI

41、用中心层曲率表示的弯曲变形公式：1MEI扰曲轴 w=w(x)上任一点的曲率为：1()dM x dxCdxEI 1()Mx dxdxCxDEI 22()dMxdxEI CCABBxw 在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线在该截面处的切线斜率。tanddx1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似 微分方程应分段列出，并相应地分段积分。3、积分常数由和确定。积分常数积分常数C C、D D由边界条件确定由边界条件确定0 xLx 0 x0Xw0Xw00单位长度重量为q，弯曲刚度为EI的均匀钢条放置在刚性平面上，钢条的

42、一端伸出水平面一小段CD，若伸出段的长度为a，试求使得B点转角为零的BC段的长度b。叠加法计算位移的条件：叠加法计算位移的条件：1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的；2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线 性关系；3、梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影 响。几个荷载共同作用下梁任意横截面上的位移，等于每个荷载单独作用时该截面的位移的叠加。梁的刚度校核梁的刚度校核 除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正常工作。在土建工程中，通常对梁的加以控制，例如：800200wlll梁的为：maxmaxwwl下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。当位移限制很严，或按强度条件所选截面

43、过于单薄时，刚度条件也起控制作用。表示许用扰度 提高梁的刚度措施提高梁的刚度措施：缩短跨长：如将简支梁改为外伸梁；或增加支座等。：主要增大 I 值，在截面面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱形等。nlwEIqlABqlABqAB第六章 简单超静定 拉压超静定 扭转超静定 弯曲超静定Page91*超静定问题：超静定问题：根据静力平衡方根据静力平衡方程不能确定全部未知力的问题。程不能确定全部未知力的问题。*静定问题静定问题 ：由静力平衡方程由静力平衡方程可确定全部未知力可确定全部未知力(包括支反包括支反力与内力力与内力)的问题。的问题。*超静定度：超

44、静定度：未知力数与有效未知力数与有效平衡方程数之差。平衡方程数之差。一度超静定一度超静定AF 123静定问题静定问题1452AFBCPage92平衡方程平衡方程超静定问题求解思路超静定问题求解思路协调方程协调方程 赘余反力数赘余反力数=协调条件数协调条件数求解求解物理方程物理方程 ：F 123AAF AN1FN3FN2F AA2l1l3l N1N2,0ifFF 12,0igll N1N2,0igFF kNklF Page93AB静定基静定基:一个超静定系统解除多余一个超静定系统解除多余约束后所得的静定系统约束后所得的静定系统(左下左下)相当系统：相当系统：作用有原超静定梁载荷作用有原超静定梁载

45、荷与多余约束反力的基本系统与多余约束反力的基本系统(右下右下)AB静定基与相当系统静定基与相当系统qABABRBqABqPage94小结：分析方法与分析步骤小结：分析方法与分析步骤 步骤步骤：1 1、判断超静定度（确定多余约束数）；判断超静定度（确定多余约束数）；2 2、选取与解除多余约束，建立相当系统；、选取与解除多余约束，建立相当系统；3 3、列出多余约束处的变形协调条件；、列出多余约束处的变形协调条件；4 4、结合平衡方程，求多余支反力。、结合平衡方程，求多余支反力。方法：方法：选取与解除多余约束，代之以支反力；选取与解除多余约束，代之以支反力；分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界或

46、连续条件分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界或连续条件F 相当系统选取不唯一，一般选择求解最简单的一种相当系统选取不唯一，一般选择求解最简单的一种Page95例：例：求支反力求支反力1.1.超静定度：超静定度：6-3=32.2.选取相当系统：右中、选取相当系统：右中、下图都合适。选右中图。下图都合适。选右中图。小变形，轴向变形可忽略小变形，轴向变形可忽略 HA=HB=0。两多余未知力两多余未知力qABHAHBRBRAMBMAABMAMBqABRBMB3.3.建立变形协调条件建立变形协调条件00BBw Page964.4.联立求解联立求解0,0BBw 3240(1)328RMqBBBBBBR

47、 lM lqlwwwwEIEIEI 230(2)26RMqBBBBBBR lM lqlEIEIEI qABRBMB2224BBqlRqlM 对称性的应用对称性的应用利用对称性直接求出利用对称性直接求出RA=RB=ql/2，它可取代方程它可取代方程（1）、（）、（2）之一。）之一。图示超静定梁在跨中收到力矩Me作用，试求支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。点的应力状态点的应力状态 平面应力状态分析平面应力状态分析 空间应力状态分析空间应力状态分析 应力和应变之间的关系应力和应变之间的关系 空间应力状态下的应变能空间应力状态下的应变能*应力状态分类应力状态分类(按主应力按主应力)：单元体上切应力为

48、零的面；：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对主平面；：主平面上的正应力，用s s1、s s2、s s3表示，有s s1s s2s s3。旋转旋转yxzs s2s s3s s1xyzs sxs sz xy xz zx zy yz yxs sy 只有一个主应力不为零称只有一个主应力不为零称单向应力状态单向应力状态；只有一个主应力为零称只有一个主应力为零称两向应力状态两向应力状态(平面应力状态平面应力状态)；三个主应力均不为零称三个主应力均不为零称三向应力状态三向应力状态(空间应力状态空间应力状态)；单向应力状态又称单向应力状态又称简单应力状态简单应力状态，平面和空间应力状态又，平面和空间应力状

49、态又称称复杂应力状态复杂应力状态。平面应力分析的解析法平面应力分析的解析法 平面应力状态图示：平面应力状态图示：s sy yx xys sxs sxs sx xys sys sys sx yxaxs s ys scx b ays s c s sn xs syyx 0 F 0 nFdAsscoscosdAxsincosdAxcossindAyssinsindAy0dAssincosdAxcoscosdAxsinsindAyscossindAy022cos1cos222cos1sin2yx ss ss sxy 2ss2cos2yx2sinx ss2sin2yx2cosx 由由x正向逆时针转到正向逆

50、时针转到n正正向者为正；反之为负。向者为正；反之为负。nx正正 应应 力力yssxsx切切 应应 力力 yx 使单元体或其局部使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反顺时针方向转动为正；反之为负。之为负。平面应力分析的图解法平面应力分析的图解法应力圆应力圆 222)(Ryax ss ss sxy 2ss2cos2yx2sinx ss2sin2yx2cosx222222xyxyxsssss 在坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上应力对应的点a和d。连ad交 轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。a(s sx,x)d(s sy,y)cs ss sxy 2s syyxxs so点面对应点面对应应力圆