数值计算方法总复习--课件.ppt
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- 数值 计算方法 复习 课件
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1、计算方法 总复习第1章 绪论 误差及有效数字 误差的传递、函数误差3误差和有效数字称为近似数为准确数,设定义,2.2.1*xxxxxex*)(绝对误差:的)(近似数)0()()(*xxxexexr相对误差:的)(近似数4误差估计差界。的绝对误差界和相对误为近似数和则称满足和若有正数为近似数为精确数,设定义*r*r*|)(|)(|:,2.2.1xxxxxexxxexxrr56有效数字 在工程上,误差的概念就转化为有效数字有效数字。似数。具有五位有效数字的近称则的近似数例如:3.14161021.00000734.0.14159265.31416.3)(1416.3.14159265.3*4*e7
2、位有效数的近似数。的具有为则称的绝对误差满足。如果是整数且和其中有规格化形式设近似数定义nxxxxxexaaniamaaaaxxnmiinm*1321*1021|)(|90,0,.),.,2,1(.0103.2.18,则:的近似数设*2*121,xxxx)()()()(.1*2*1*2*1*2*1*2*1xexedxdxxxdxxe)()(lnln)ln(ln)ln()(.2*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1xexexdxdxxdxxdxxerrr9)()()()()()(.3*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1xexxexxexexxxxexxxxerrrrr)()
3、()(.4*2*1*2*1xexexxerrr2*2*2*1*1*2*2*1)()()()(.5xxexxexxxe101.2.3 函数值的误差估计)()()()()()()()()()()()(),(*xexfxfxfexexfxxxfxdfxfxffexfxxxfyrr或时,则误差为计算函数值则代替用近似数当设函数第二章 非线性方程的数值解法 二分法 一般迭代法 Steffensen加速收敛法 Newton法 弦截法12二分法 用二分法(将区间对平分)求解求解。令 若 ,则 为有根区间,否则 为有根区间 记新的有根区间为 ,则 且)(,1121111bacbbaa0)()(11cfaf,1
4、1ca,11bc,22ba,2211baba)(112122abab13二分法 对 重复上述做法得 且 ,22ba.,.,2211nnbababa)(211ababnnn14 由二分法误差估算式次。至少要二分即误差小于9103966.812lg312lg3)lg(abn2,110)(21|31*baabxxnn,其中152.2一般迭代法2.2.1 迭代法及收敛性 对于对于 有时可以写成有时可以写成 形式形式 如如:0)(xf)(xx33101xxxxxxxxcos0cos31xx或16迭代法及收敛性考察方程 。这种方程是隐式方程,因而不能直接求出它的根。但如果给出根的某个猜测值 ,代入 中的右
5、端得到 ,再以 为一个猜测值,代入 的右端得 反复迭代得)(xx0 x)(xx)(01xx1x)(xx)(12xx,.1,0)(k1kkxx17Steffensen加速收敛法 概述 由上式产生的序列称为Steffensen迭代序列。)2()(2)()()(2xxxxxxx而迭代函数。称为Steffensen18Newton迭代法,.1,0)()(1nxfxfxxnnnn 以此产生的序列以此产生的序列 X Xn n 得到得到f f(x x)=0)=0的近似解,的近似解,称为称为NewtonNewton法法,又叫,又叫切线法切线法。192.4弦截法 Newton迭代法有一个较强的要求是 且存在。因
6、此,用弦的斜率近似的替代 。得弦的方程及则过)(,(P)(,(P111000 xfxxfx0)(xf)(xf,)(10*bxaxxbaxf取,上有唯一零点在设)()()()(101011xxxxxfxfxfy20弦截法 令y=0,解得弦与x轴的交点是坐标x2)()()(1010112xfxfxfxxxx解得0)()()()(1201011xxxxxfxfxf.,320 xxx计算再由,.)2,1()()()(001nxfxfxfxxxxnnnnn.称之为定端点弦截法21弦截法,.)2,1()()()(111nxfxfxfxxxxnnnnnnn以此类推计算若由,321xxx.,又称快速弦截法称之
7、为变端点弦截法第三章 线性方程组的数值解法 消元法求解线性方程组:Gauss消元法 分解法求解线性方程组:LU分解法、Cholesky分解法、追赶法23高斯顺序消去法高斯顺序消去法 设 Ax=b.记A(1)=A b(1)=b。设1、第一次消元。0iiaTnnnnnniiibbbbbaaaaaaaniaalnaa.AA,.,3,2,.,32ii)()2()2(2)1(1)2()1()2()2(2)2(2)2(22)1(1)1(11)1(11)2(1)1(11)1(11)1(11)1(1)(令),行(第第一行24高斯顺序消去法),.,2;,.,2()1(11)1(1)1(1)1()1(11)1()
8、2(njniaaaaalaajiijjiijij),.,2(.)1(1)1(11)1(1)1(1)1(1)1()2(nibaablbbbiiiii25高斯顺序消去法 设第k-1次消元得A(k)x=b(k)其中)()()2(2)1(1)()()()()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11)()(.|knkkknnknkkknkkknnkkbbbbaaaaaaaaabA26高斯顺序消去法 则第k次消元:nkjnkialaakkjikkijkij,.,1;,.,1)()()1(,则有,令1,.,2,1,.,1)()(nknkiaalkkkikiknkiblbbkkikkiki,.,1)()(
9、)1(,27高斯顺序消去法 最后)()()2(2)1(1)()()()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11)()(.nnkknnnkknkkknnnnbbbbaaaaaaaabA28高斯顺序消去法 也就是对于方程组AX=b系数矩阵做:)1,.,2,1(,.,1,.,1/)()()1()()()1()()(nknkjnkilbbbalaaaalikkkkikikkjikkijkijkkkkikik29高斯顺序消去法)()()2(2)1(1)()()()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11)()()n(.)(|AnnkknnnkknkkknnnnbbbbaaaaaaaanAbbx其
10、中得到30高斯顺序消去法)1,.,1(/).(/A)(1)()()()()()(niaxabxabxiiinijjiijiiinnnnnnnbx回代法再解313.1.2 高斯主元素消去法 Gauss列主元消元法 从第一列中选出绝对值最大的元素1111maxiniaannnnniiniinbaaabaaabaaabaaa.21212112221111211交换32高斯列主元消去法顺序消元计算机中实现)3;:;1)2;|;|maxmax|2 1;i ;|max 1)11111TaaaaTdontojforkiathenaifdontokforaijijjjkki33高斯列主元消去法 第 k 步 从
11、 的第 k 列 ,中选取绝对值最大项,记录所在行,即 若 交换第k行与l行的所有对应元素,再进行顺序消元。(k)kka1)(Ak(k)nk.a.(k)kkakkikkkiilaak记|max|)(nik)(kl 34Doolittle分解各元素方法逐行逐列求解用比较等式两边元素的令ULuuuuuulllaaaaaaaaannnnnnnnn,.1.11.222112112121n2n1n222211211135Doolittle分解。得再由;得由时:。得再由;得由时),.,4,3(),.,3,2(12),.,3,2(),.2,1(1:1221212222212121222212121111111
12、1 i1111niuulalululanjulauuulakniualluanjauuakiiiiiijijjjjjiiijjjj36Doolittle分解1111211211,.1,000.10.,.,kttjktkjkjktkjtjktjjjjkkkkkjknkkkknkkjulauuuluuulllakjuuuk)(有步时:计算第37Doolittle分解11111111,.1/)(000.0,1,.,.,ktkktkitikikktkkiktkitkkkikiiknkkknkiuulalululuullakill)(得,于是由由于计算38Doolittle分解nnnnnnkkkttki
13、tikikkttjktkjkjulluuluuunkuulalnkinkjulau.A,.,2,1/)(),.,1;,.,(2122221112111111的各位各元素在计算机内存于即39Doolittle分解。可获解得及再由TniinijjijiiijjijiixxxnniuxuyxniylbyULxyxby),.,(1,.1,/)(,.,2,12111140Cholesky分解的求法332322131211333231222111333231232221131211212221113?.,llllllllllllaaaaaaaaanlllllllLLLAAijnnnnT为例。以如何求令则对
14、称正定设41Cholesky分解的求法。;同理得,得由;,得时:由1131311121211121211111211111lallalllaallak。,得由;,得时:由222131323222322131322212222222221222lllalllllalalllak42Cholesky分解的求法21233333233232231333iilallllak,得时:由njnjilllallalnjjjkjkikijijjkjkjjjj,.,2,1,.,1/)()(,1121112有阶行列式推广到43三对角方程组求解的追赶法yxfyfxfxULA等价于求即则,求,LU,故有其中Tnffff
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