高等数学(专升本)习题答案.docx

1、高等数学（专升本）-学习指南一、选择题1函数的定义域为【 D 】A B C D 解：z的定义域为：，故而选D。2设在处间断，则有【 D 】A在处一定没有意义；B; (即)；C不存在，或；D若在处有定义，则时，不是无穷小3极限【 B 】A B C1 D 0解：有题意，设通项为：原极限等价于：4设，则【 A 】A BC D解：对原式关于x求导，并用导数乘以dx项即可，注意三角函数求导规则。所以，即5函数在区间上极小值是【 D 】A-1 B1 C2 D0解：对y关于x求一阶导，并令其为0，得到；解得x有驻点：x=2，代入原方程验证0为其极小值点。6对于函数的每一个驻点，令，若，则函数【C】A有极大值

2、 B有极小值 C没有极值 D不定7多元函数在点处关于的偏导数【C】A BC D8向量与向量平行，则条件：其向量积是【B】A充分非必要条件 B充分且必要条件C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件9向量、垂直，则条件：向量、的数量积是【B】A充分非必要条件 B充分且必要条件C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件10已知向量、两两相互垂直，且，求【C】A1 B2 C4 D8解：因为向量与垂直，所以，故而有：11下列函数中，不是基本初等函数的是【B】A BC D解：因为是由，复合组成的，所以它不是基本初等函数。12二重极限【D】A等于0 B等于1 C等于 D不存在解：与k相关，因此该极限不存在。1

3、3无穷大量减去无穷小量是【D】A无穷小量 B零 C常量 D未定式解：所谓的无穷大量，或者无穷小量只是指的是相对而言，变量的一种变化趋势，而非具体的值。所以，相对的无穷大量减去相对的无穷小量没有实际意义，是个未定式。14【C】A1 B CD解：根据原式有：15设，则【D】ABCD解：对原式直接求导，注意乘积项的求导即可。16直线上的一个方向向量，直线上的一个方向向量，若与平行，则【B】A BC D17平面上的一个方向向量，平面上的一个方向向量，若与垂直，则【C】A BC D18若无穷级数收敛，而发散，则称称无穷级数【C】A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛19下面哪个是二次曲面中抛物柱面的表达

4、式【A】A BC D20设是矩形：，则【 A 】A. B. C. D. 解：关于单位1对于一个矩形区域进行二重积分就是计算矩形区域的面积。由题意知：，则：21设，则【 D 】A B C D解：由于，得 将代入，得=22利用变量替换，一定可以把方程化为新的方程【 A 】A B C D解：z是x，y的函数，从，可得，故z是u，v的函数，又因为，。所以z是x,y的复合函数，故，从而左边=因此方程变为： 23曲线在点处的切线斜率是【A】A B C2 D解：。所以，在点(0,1)处，切线的斜率是：24【 A 】A0 B C D解：因为，所以25【 C 】A B C0 D1解：因为 有界，所以 26已知向

5、量，求向量在轴上的投影及在轴上的分量【A】A27，51 B25，27 C25，51 D27，25解：A因此 ，27向量与轴与轴构成等角，与轴夹角是前者的2倍，下面哪一个代表的是的方向【C】A， B，C， D，解：C设的方向角为、，按题意有=，=2由于 即 化简得到解得 或因为、都在0到的范围里，因此可以通过解反三角函数得到：，或者，28已知向量垂直于向量和，且满足于，求【B】A BC D解：B因为垂直于向量和，故而必定与平行，因此又因为即：解得 ，所以 29若无穷级数收敛，且收敛，则称称无穷级数【D】A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛 30设D是方形域：，【 D 】A. 1 B. C. D

6、. 解：D31若，为无穷间断点，为可去间断点，则【 C 】A B C D解：由于为无穷间断点，所以，故。若，则也是无穷间断点。由为可去间断点得，故选C。32设函数是大于零的可导函数，且，则当时，有【 A 】A BC D解：考虑辅助函数33函数函数可能存在极值的点是【 B 】A B C D不存在解：由作图知道，函数在第二象限是减函数，在第一象限是增函数。当x=0时，函数取得最小值y=5。34，则【 D 】A BC D解：35设，则【 C 】A BC D解：对y关于x求一阶导有：所以，36设直线与平面平行，则等于【 A 】A. 2 B. 6 C. 8 D. 10解：直线的方向向量为，平面的法向量为

7、。因为直线和平面平行，所以两个向量的内积为0。即：得到：37若，则【 A 】A. 4 B. 0 C. 2 D. 解：因为所以38和在点连续是在点可微分的【A 】A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件解：由定理直接得到：如果函数的偏导数在点连续，则函数在该点的全微分存在。39在面上求一个垂直于向量，且与等长的向量【D】A BC D解：由题意设向量，因为垂直于且，所以有：，即：由以上方程解得，同号故而所求向量或者40微分方程的通解是【 B 】A. B. C. D. 解：令，由一阶线性非齐次微分方程的公式有：二、判断题1是齐次线性方程的解，则也是。（ ）2（不显含有），令，则。（ ）

8、解：根据微分方程解的性质得到。3对于无穷积分，有。（ ）4在的邻域内可导，且，若：当时，；当时，。则为极小值点。（ ）解：根据极值判定定理第一充分条件，为极大值点。5在上连续，在上有一阶导数、二阶导数，若对于,则在上的图形是凸的。（ ）6二元函数的极大值点是。（ ）解：原式中，当且仅当x=0时，取到极小值0 ；同样，当且仅当y=0时，取到极小值0 。所以，函数的极小值点位于（0，0）7设，其中，则1。（ ）解：直接求微计算：8设由，所确定，则1。（ ）解：由题意得到积分区域为各向尺度为1的立方体，其体积即为1。9函数的定义域是。（ ）解：由对数定义得到。10设，则。（ ）11是齐次线性方程的线

9、性无关的特解，则是方程的通解。()12齐次型微分方程，设，则。()13对于瑕积分，有，其中为瑕点。()14在的邻域内可导，且，若：当时，当时，。则为极大值点。()解：根据极值判定定理第一充分条件，为极小值点。15设在区间上连续，是的内点，如果曲线经过点时，曲线的凹凸性改变了，则称点为曲线的拐点。()16设是矩形区域，则1 （ ）解：显然该积分表示长为3，宽为1的矩形面积，值应为3。17若积分区域是，则。（ ）解：是一个外环半径为2，内环半径为1的圆环，积分式是在圆环上单位1的二重积分，所以求的是圆环的面积。原式=18设是由，所确定，函数在上连续，那么。（ ）解：。19设不全为0的实数，使，则三

10、个向量共面。（ ）20二元函数的极大值点是极大值。（ ）21若为非齐次方程的通解，其中为对应齐次方程的解，为非齐次方程的特解。()解：根据齐次线性方程解的性质，与必须是线性无关的解，是其特解。22若函数在区间上连续，则，使得。()23函数在点可导。()24在处二阶可导，且，。若，则为极大值点。()25若，则为一条水平渐近线。()解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到，为一条铅直渐近线。26设表示域：，则1。（ ）解：由定义得知表示以原点为中心，半径为1的正球体，故而z轴方向关于球体的积分值为0。27微分方程的通解为。（ ）解：对应的线性一阶齐次方程是：结合原方程，等式右边项含x，所以通项公式为

11、：将通项公式带入原式，得到：代入，得到：最后得到：28设，且满足，则6。（ ）解：经计算向量积得到模值为36。29,则。（ ）30设为，与为顶点三角形区域，。（ ）31若为非齐次方程的通解，其中为对应齐次方程的解，为非齐次方程的解。（ ）解：根据齐次线性方程解的性质，与必须是线性无关的解，是其特解。32若为的一个原函数，则。（ ）33函数可微可导，且。（ ）34在处二阶可导，且，。若，则为极小值点。（ ）解：根据极值判定定理第二充分条件可以直接得到。35若，则为一条铅直渐近线。（ ）解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到，为一条水平渐近线。36二元函数的最小值点是。（ ）解：因为原式中，当且仅

12、当x=0时，取到极小值0 ；同样，当且仅当y=0时，取到极小值0 。所以，函数的极小值点位于（0，0）37微分方程的一个特解应具有的形式是。（ ）解：原微分方程的特征函数是：，。得到两个无理根：。即是特征根。因此，特解的形式为：38设，则（ ）解：经计算得到微分表达式。39微分方程的通解为。（ ）解：由微分方程通解求解准则直接得到。40设由，所确定，且，则。（ ）解：变换积分方程即可求得。三、填空题1若，则。解：，因此。2求的导数。解：此函数的反函数为，故则：3设，则。解：所以，4设求。解：由5将函数展开成的幂级数是。解：因为：而且：所以，6极限。解：07求。解：8。解：原式：原式分子有界，分

13、母有界，其余项均随着趋于无穷而趋于无穷。这样，原式的极限取决于分子、分母高阶项的同阶系数之比。9设的顶点为,，求三角形的面积是。解：由向量的模的几何意义知的面积.因为得，所以。于是10无穷级数的和是。解：先将级数分解：第二个级数是几何级数，它的和已知求第一个级数的和转化为幂级数求和，考察因此原级数的和 11已知，则_，_。解：，由所给极限存在知, , 得, 又由, 知。12已知，求。解：先两边取对数再两边求导因为所以13。解：直接积分就可以得到：14求平行于轴，且过点和的平面方程是。解：由于平面平行于轴，因此可设这平面的方程为：因为平面过、两点，所以有解得，以此代入所设方程并约去，便得到所求的

14、平面方程：15无穷级数的收敛发散性是。解：收敛因为：所以：无穷级数收敛16。解：17计算广义积分。解：18设，则。解：19幂级数的收敛区间是。 解：此级数是缺项的幂级数令因为当，即时，级数绝对收敛；当，即时，级数发散。所以幂级数的收敛区间为20幂级数的收敛域是。解：由于该幂级数缺项幂级数，则直接用比值判别法求之。设当，即时，原级数绝对收敛；当即时，原级数发散。所以原级数的收敛半径为1，收敛区间是四、解答题1 圆柱形罐头，高度与半径应怎样配，使同样容积下材料最省？ 解：由题意可知：为一常数，面积故在V不变的条件下，改变R使S取最小值。故：时，用料最省。 2求，其中是由平面，及所围成的区域。 解：

15、把化为先对z积分，再对y和x积分的累次积分，那末应把投影到平面上，求出投影域.它就是平面与平面的交线和x轴、y轴所围成的三角区域。 我们为了确定出对z积分限，在固定点，通过此点作一条平行于z的直线，它与上下边界的交 点的竖坐标：与，这就是对z积分的下限与上限，于是由积分公式得： 其中为平面区域：，如下图红色阴影部分所示： 再把域上的二重积分化成先对y后对x的累次积分，得： 3求，其中是圆环。 解：由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，显然，这个二重积分化为极坐标计算比较方便。 把，代入，即可转化为极坐标系的积分形式。如下： 在对其进行累次积分计算： 4求二重积分，其中是由所围成的区域。解：

16、因为是正规区域，所以我们可先对y后对x积分，也可先对x后对y积分。这里我们采用前者 先对y后对x积分： 5求的极值。 解：设，则，。解：方程组，得驻点(1，1)，(0，0)。对于驻点(1，1)有，故，因此，在点(1，1)取得极小值f(1，1)=-1。对于驻点(0，0)有，故因此，在点(0，0)不取得极值。 五、证明题1 求证：当1时，级数为一绝对收敛级数。证明：因为而当1时收敛，故级数收敛，从而级数绝对收敛。2 求证级数：的和是1。证明：当n时，Sn1。所以级数的和是1。3 求证：级数发散。 证明：因为，趋于一个常数，所以级数发散。4 求证：不存在。 证明：令随不同直线趋于。则它随k变化，故不存在极限。5 求证方程在0与1之间至少有一个实根。 证明：不难发现方程左端是函数的导数：。函数在0，1上连续，在(0，1)内可导，且。由罗尔定理可知，在0与1之间至少有一点c，使，即。也就是：方程在0与1之间至少有一个实根。