2020届高考数学(理)一轮复习讲义2.4 幂函数与二次函数.docx
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1、 2.4 幂函数与二次函数幂函数与二次函数 最新考纲 考情考向分析 1.了解幂函数的概念 2.结合函数 yx,yx2,yx3,y1 x,y 1 2 x 的图象,了解它们的变化情况 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质 4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解 决简单问题. 以幂函数的图象与性质的应用为主,常与 指数函数、对数函数交汇命题;以二次函 数的图象与性质的应用为主,常与方程、 不等式等知识交汇命题,着重考查函数与 方程、转化与化归及数形结合思想,题型 一般为选择、填空题,中档难度. 1幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,形如 yx(R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, 是常
2、数 (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 yx yx2 yx3 y 1 2 x yx 1 图象 性 质 定义域 R R R x|x0 x|x0 值域 R y|y0 R y|y0 y|y0 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在 R 上单 调递增 在(, 0上单调 递减; 在(0, ) 上单调递增 在 R 上单 调递增 在0,)上 单调递增 在(,0) 和(0,) 上单调递减 公共点 (1,1) 2二次函数的图象和性质 解析式 f(x)ax2bxc(a0) f(x)ax2bxc(a0 且 0. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)
3、(1)二次函数 yax2bxc(a0),xa,b的最值一定是4acb 2 4a .( ) (2)在 yax2bxc(a0)中,a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大 小( ) (3)函数 y2 1 2 x是幂函数( ) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点( ) (5)当 n0), 若 f(m)”“ 解析 f(x)x2xa 图象的对称轴为直线 x1 2,且 f(1)0,f(0)0,而 f(m)cba Babcd Cdcab Dabdc 答案 B 解析 由幂函数的图象可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近 x 轴,由题图知 abcd,故选 B. 3已知
4、幂函数 f(x) 2 23 (22) nn nnx (nZ)的图象关于 y 轴对称,且在(0,)上是减函 数,则 n 的值为( ) A3 B1 C2 D1 或 2 答案 B 解析 由于 f(x)为幂函数,所以 n22n21,解得 n1 或 n3,经检验只有 n1 符合 题意,故选 B. 4(2018 阜新模拟)若 1 3 (1)a 1 3 (32 )a ,则实数 a 的取值范围是_ 答案 (,1) 2 3, 3 2 解析 不等式 1 3 (1)a 32a0或32a0,从而 b 2a1 2, 22a,a1 2. 命题点 4 二次函数中的恒成立问题 例 5 (1)已知二次函数 f(x)满足 f(x
5、1)f(x)2x,且 f(0)1,若不等式 f(x)2xm 在区间 1,1上恒成立,则实数 m 的取值范围为_ 答案 (,1) 解析 设 f(x)ax2bxc(a0),由 f(0)1,得 c1,又 f(x1)f(x)2x,得 2axab 2x,所以 a1,b1,所以 f(x)x2x1.f(x)2xm 在区间1,1上恒成立,即 x2 3x1m0 在1,1上恒成立,令 g(x)x23x1m x3 2 25 4m,x1,1,g(x) 在1,1上单调递减,所以 g(x)ming(1)131m0,所以 m1), 若在区间1,1上 f(x)8 恒成立, 则 a 的最大值为_ 答案 2 解析 令 axt,
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