二项分布及其应用复习-通用课件.ppt

1、第4课时 二项分布及其应用基础知识梳理基础知识梳理P(A)0事件事件A发生发生事件事件B发生发生A发生的条件下发生的条件下B发生的概率发生的概率(2)性质：性质：条件概率具有概率的条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在性质，任何事件的条件概率都在0和和1之间，即之间，即 .如果如果B和和C是两个互斥事件，则是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)基础知识梳理基础知识梳理0P(B|A)1 2事件的相互独立性事件的相互独立性 设设A，B为两个事件，如果为两个事件，如果 ，则称事件，则称事件A与事件与事件B相互相互独立独立 如果事件如果事件A与与B ，那么，那么A与，与与，与

2、B，与也都，与也都 基础知识梳理基础知识梳理P(AB)P(A)P(B)相互独立相互独立相互独立相互独立基础知识梳理基础知识梳理“相互独立相互独立”与与“事件互斥事件互斥”有何有何不同？不同？【思考思考提示提示】两事件互斥两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影否对另一事件发生的概率没有影响两事件相互独立不一定互斥响两事件相互独立不一定互斥3独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验独立重复试验在相同条件下重复做的在相同条件下重复做的n次试验称为次试验称为n次

3、独立重复试验，即若用次独立重复试验，即若用Ai(i1,2，n)表示第表示第i次试验结果，则次试验结果，则P(A1A2A3An)基础知识梳理基础知识梳理P(A1)P(A2)P(An)(2)二项分布二项分布在在n次独立重复试验中，设事件次独立重复试验中，设事件A发生的次数为发生的次数为X，在每次试验中事件，在每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p，那么在，那么在n次独立重复次独立重复试验中，事件试验中，事件A恰好发生恰好发生k次的概率为次的概率为P(Xk)(k0,1,2，n)，此时称随机变量，此时称随机变量X服服从二项分布，记作从二项分布，记作XB(n，p)，并称，并称p为成功概率为成功概率基

4、础知识梳理基础知识梳理Cnkpk(1p)nk1一批种子的发芽率为一批种子的发芽率为0.9，如，如果播种时每穴播种两粒种子，则每穴果播种时每穴播种两粒种子，则每穴有苗的概率是有苗的概率是()A1B0.99C0.9 D0.98答案答案：B三基能力强化三基能力强化答案答案：B三基能力强化三基能力强化答案答案：B三基能力强化三基能力强化三基能力强化三基能力强化5已知已知P(A)0.3，P(B)0.5，当事件当事件A，B相互独立时，相互独立时，P(AB)_，P(A|B)_.答案答案：0.650.3三基能力强化三基能力强化课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一条件概率条件概率课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动

5、讲练课堂互动讲练1号箱中有号箱中有2个白球和个白球和4个红个红球，球，2号箱中有号箱中有5个白球和个白球和3个红个红球，现随机地从球，现随机地从1号箱中取出一号箱中取出一球放入球放入2号箱，然后从号箱，然后从2号箱随机号箱随机取出一球，问从取出一球，问从2号箱取出红球号箱取出红球的概率是多少？的概率是多少？课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】本题可分为两种本题可分为两种互斥的情况：一是从互斥的情况：一是从1号箱取出红号箱取出红球；二是从球；二是从1号箱取出白球然后利号箱取出白球然后利用条件概率知识来解决用条件概率知识来解决【解解】记事件记事件A：最后从：最后从2号箱中号箱中取出的是红球

6、；取出的是红球；事件事件B：从：从1号箱中取出的是红球号箱中取出的是红球课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】区分条件概率区分条件概率P(B|A)与概率与概率P(B)它们都以样本空间它们都以样本空间为总样本，为总样本，但它们取概率的前提是不相同的概但它们取概率的前提是不相同的概率率P(B)是指在整个样本空间是指在整个样本空间的条件的条件下事件下事件B发生的可能性大小，而条件发生的可能性大小，而条件概率概率P(B|A)是在事件是在事件A发生的条件发生的条件下，事件下，事件B发生的可能性大小发生的可能性大小课堂互动讲练课堂互动讲练1求相互独立事件同时发生的概求相互独立事件同时发生的概率的方法

7、主要有：率的方法主要有：(1)利用相互独立事利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；件的概率乘法公式直接求解；(2)正面正面计算较繁或难于入手时，可以从其对计算较繁或难于入手时，可以从其对立事件入手进行计算立事件入手进行计算课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二相互独立事件相互独立事件2在应用相互独立事件的概率在应用相互独立事件的概率乘法公式时，一定要认真审题，找准乘法公式时，一定要认真审题，找准关键字句，如关键字句，如“至少有一个发生至少有一个发生”、“至多有一个发生至多有一个发生”、“恰有一个发生恰有一个发生”等等，同时结合独立事件的概率求法等等，同时结合独立事件的概率求法进行求解进行求解课

8、堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练要制造一种机器零件，甲机床的要制造一种机器零件，甲机床的废品率为废品率为0.04，乙机床的废品率是，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各任意，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求：抽取一件，求：(1)其中至少有一件废品的概率；其中至少有一件废品的概率；(2)其中恰有一件废品的概率其中恰有一件废品的概率课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】这两个机床的生这两个机床的生产是相互独立的产是相互独立的【解解】设事件设事件A为为“从甲机床抽从甲机床抽得的一件是废品得的一件是废品”，事件，事件B为为“从乙机从乙机床抽得的一件是废品床抽得的一

9、件是废品”，课堂互动讲练课堂互动讲练【思维总结思维总结】在解题过程中，在解题过程中，要明确事件中的要明确事件中的“至少有一个发至少有一个发生生”“至多有一个发生至多有一个发生”“恰有一个发恰有一个发生生”“都发生都发生”“都不发生都不发生”“不都发生不都发生”等词语的意义已知两个事件等词语的意义已知两个事件A、B，它们的概率分别为它们的概率分别为P(A)、P(B)，则，则A、B中至少有一个发生的事件为中至少有一个发生的事件为AB；A、B都发生的事件为都发生的事件为AB；课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练题目条件不变，试求题目条件不变，试求(1)其中至多有一件废品的概率；其中至多有

10、一件废品的概率；(2)其中没有废品的概率；其中没有废品的概率；(3)其中都是废品的概率其中都是废品的概率课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练法二法二：“至多有一件废品至多有一件废品”的对立的对立事件为事件为“两件都是废品两件都是废品”，即事件，即事件AB.课堂互动讲练课堂互动讲练(3)“其中全是废品其中全是废品”为事件为事件AB.P(AB)P(A)P(B)0.040.050.002.课堂互动讲练课堂互动讲练1独立重复试验，是在同样的条独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验在这种试验中，每一行的一种试验在这种试验中，每一

11、次试验只有两种结果，即某事件要么次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的验中发生的概率都是一样的课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布2在在n次独立重复试验中，事次独立重复试验中，事件件A恰好发生恰好发生k次的概率为次的概率为P(Xk)Cnkpk(1p)nk，k0,1,2，n.在在利用该公式时一定要审清公式中的利用该公式时一定要审清公式中的n，k各是多少各是多少课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练某地区为下岗人员免费提供财会和某地区为下岗人员免费提供财会和计算机

12、培训，以提高下岗人员的再就业计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有知参加过财会培训的有60%，参加过计，参加过计算机培训的有算机培训的有75%，假设每个人对培训，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响择相互之间没有影响课堂互动讲练课堂互动讲练(1)任选任选1名下岗人员，求该人名下岗人员，求该人参加过培训的概率；参加过培训的概率；(2)任选任选3名下岗人员，记名下岗人员，记为为3人中

13、参加过培训的人数，求人中参加过培训的人数，求的分的分布列布列课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】(1)任选任选1名下岗人员，名下岗人员，记记“该人参加过财会培训该人参加过财会培训”为事件为事件A，“该人参加过计算机培训该人参加过计算机培训”为事件为事件B，由题设知，事件由题设知，事件A与与B相互独立，且相互独立，且P(A)0.6，P(B)0.75.所以，该下岗所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是人员没有参加过培训的概率是该人参加过培训的概率为该人参加过培训的概率为10.10.9.课堂互动讲练课堂互动讲练(2)因为每个人的选择是相互独立因为每个人的选择是相互独立的，所以的，所以3人中参加过培训的人

14、数人中参加过培训的人数服服从二项分布从二项分布B(3,0.9)，P(k)C3k0.9k0.13k，k0,1,2,3，的分布列是的分布列是课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】二项分布满足的条件：二项分布满足的条件：(1)每次试验中，事件发生的概率是相每次试验中，事件发生的概率是相同的；同的；(2)各次试验中的事件是相互独立的；各次试验中的事件是相互独立的；(3)每次试验只有两种结果：事件要么每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；发生，要么不发生；(4)随机变量是这随机变量是这n次独立重复试验中事次独立重复试验中事件发生的次数件发生的次数课堂互动讲练课堂互动讲练概率反映了某事件发

15、生的可能概率反映了某事件发生的可能性的大小，因此，在某次比赛中，性的大小，因此，在某次比赛中，可用概率预测某一事件是否发生，可用概率预测某一事件是否发生，但实际结果与计算出的结果并不一但实际结果与计算出的结果并不一定相同定相同课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四概率的实际应用概率的实际应用课堂互动讲练课堂互动讲练(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)如果甲、乙两个乒乓球选手进行如果甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，而且他们的水平相当，规定比赛，而且他们的水平相当，规定“七局四胜七局四胜”，即先赢四局者胜，若已，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：知甲先赢了前两局，求：(1)乙取胜的

16、概率；乙取胜的概率；(2)比赛打满七局的概率比赛打满七局的概率课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】(1)乙取胜的比为乙取胜的比为4 2,4 3.(2)打满七局，甲、乙都有可能取打满七局，甲、乙都有可能取胜胜【解解】(1)当甲先赢了前两局当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：第一种是时，乙取胜的情况有两种：第一种是乙连胜四局；第二种是在第三局到第乙连胜四局；第二种是在第三局到第六局，乙赢了三局，第七局乙赢六局，乙赢了三局，第七局乙赢课堂互动讲练课堂互动讲练(2)比赛打满七局有两种结果：甲比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，记胜或乙胜，记“比赛打满七局甲胜比赛打满七局甲胜”为为事件事件A

17、；记记“比赛打满七局乙胜比赛打满七局乙胜”为事件为事件B.课堂互动讲练课堂互动讲练【误区警示误区警示】打满七局只打满七局只认为甲胜或乙胜，只计算一种情认为甲胜或乙胜，只计算一种情况导致错误况导致错误课堂互动讲练课堂互动讲练(1)求求S82时的概率；时的概率；(2)求求S20且且S82时的概率时的概率课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练规律方法总结规律方法总结规律方法总结规律方法总结规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎 长大后，才发现生活不像我们想象的那样的简单，我们时刻面

18、临着不同的选择，学习、工作、家庭我们总是小心翼翼，在每一条路上，我们总是想追求最好的，努力付出过后，结局如何，只有我们自己慢慢去体会。当我们渐渐步入社会，为了生活，我们不得不努力工作，严格遵守公司的规章制度，不敢有一丝懈怠，甚至为了一份微薄的薪水，我们几乎耗尽了所有的时间和精力去做好，不是在上班，就是在去上班的路上，几乎没有自己所谓的自由时间，我想在当今社会，应该有很大一部分人是这样，没有时间交际，也没有时间旅游，更没有时间去陪伴家人或许这就是所谓的生活的选择，到最后只能自己在心里安慰自己：有失有得，只是这个得真是我们自己所想要的吗？人，活着其实很累，在公司，上有可能需要讨好领导，下还需要和同

19、事打好关系，回家需要处理好家庭的关系，交际需要维护好朋友自己的友谊，一不小心就有可能会各种质疑的话语，让我们心里、身体上背负着更重的压力。也许经常有这样的场景，喧嚣的闹市，聚会上，热闹非凡，尽情的喝着酒，各种嘈杂，殊不知在心里巴不得这聚会早点结束就好，想着明天还要早起上班，想着家里的妻儿还在幽幽的盼着，而你自己也根本就不喜欢这样的场合，偶尔还可以，时间长了，你已经不知该怎样去选择。年纪越大，时间越来越少，身体越来越没以前那么能抗，而自己明白的事情却越来越迷茫，入夜时分，站在这个城市的中央，越来越觉得生活的选择已经不由的我们自己来做主，只剩下了莫名的伤感。时光在飞逝，父母容颜渐渐沧桑，望着父母佝

20、偻的背影，心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏，老了就自己受苦，这是现在年轻人经常激励自己的话，为了所谓的以后，我们牺牲了自己最美好的年华，却没有谁知道以后的样子又会是如何，也许这就是所谓的选择。我们每个人都有很多在选择，学业、事业、爱情我们都有各种各样的选择，可以说生活中我们时刻面临着选择，选择不一样，结局也会不一样，只是你的选择是否真正发自内心还是出自于生活的无奈，已经无人理会。人生路需要走很久，我们总会遇到各种各样的人，各种各样的事，正如我们工作平台选择不一样，起点也会不一样，领导选择不一样，或许你的结局也会不一样，我们不能选择自己的出生，所以不要怨天尤人，更不要去指责，生活对谁都一样

21、，选择永远在你手中，跟着心走，或许你就能找到一个真正的自己。大自然给予了我们很多美好的东西，只是我们自己却不知道去好好珍惜，只有当我们在失去后或者犯错了，我们才会去说后悔没有珍惜，希望能给一次机会重新来过，只是这样的重来真的还能重来吗？我们谁都不能去肯定，路，自己选择，自己走下去，也许有人给你使绊，也许有人会拉你一把，但终归还是需要自己去选择，自己亲自去走。人生经历太多，失败了、跌倒了，可以站起来继续走，如果走错了，可以选择正确的路，但我们如果放弃了，就有可能一直停留在那，多年以后，或许你已经被遗忘。风景在路上，我们需要去寻找，才能找到真正的自己，谁都有无奈，谁都有生活的压力，只是你们的选择不

22、一样，当你走上自己的路，或许你会觉得轻松，或许你会觉得很难，但那终归是属于自己的路，因为生活，始终在你手中。是在医院渡过，然而和母亲在一起的毎一刻都是温暖美好的。四年前，母亲还是离开了这个世界，离开了我。生命就是如此脆弱，逝去和別离，陈旧的情绪某年某月的那一刻如水泻闸。水在流，云在走，聚散终有时，不贪恋一生，有你的这一程就是幸运。那是地久天长的在我的血液中渗透，永远在我的心中，在我的生命里。时光就是这么不经用，很快自己做了母亲，我才深深的知道，这样的爱，不带任何附加条件，不因万物毁灭而更改。只想守护血浓于水的旧时光，即便峥嵘岁月将容颜划伤，相信一切都是最好的安排。那时的时光无限温柔，当清水载着

23、陈旧的往事，站在时光这头，看时光那头，一切变得分明。执笔书写，旧时光的春去秋来，欢喜也好，忧伤也好，时间窖藏，流光曼卷里所有的宠爱，疼惜，活色生香的脑海存在。回忆的老墙，偶尔依靠，黄花总开不败，所有囤积下来的风声雨声，天晴天阴，都是慈悲。时光不管走多远，不管有多老旧，含着眼泪，伴着迷茫，读了一页又一页，一直都在，轻轻一碰，就让内心温软。旧的时光被揉进了岁月的折皱里，藏在心灵的沟壑，直至韶华已远，才知道走过的路不能回头，错过的已不可挽留，与岁月反复交手，沧桑中变得更加坚强。是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总

24、会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。唯用一枝瘦笔，剪一段旧时光，剪掉喧嚣尘世的纷纷扰扰，剪掉终日的忙忙碌碌。情也好，事也罢，细品红尘，文字相随，把寻常的日子，过得

25、如春光般明媚。光阴珍贵，指尖徘徊的时光唯有珍惜，朝圣的路上做一个谦卑的信徒，听雨落，嗅花香，心上植花田，蝴蝶自会来，心深处自有广阔的天地。旧时光难忘，好的坏的一一纳藏，不辜负每一寸光阴，自会花香满径，盈暗香满袖。每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。老李一般在家休息，负伤的

26、地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是给食堂买粮食和各种蔬菜。老吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。物质缺乏的年代，大家过得都是差不多的日子，这四家就属老干部老李条件最好，一般买东西都是要用粮票、布票、肉票。要是没有这些票证的话，就算你有钱出去也会饿死的。老干部的待遇好一点，经常用不了那些票证，于是老李就常常把用不完的票证分给了这些邻居。那个年代的钱

27、特别的顶用，一斤大米一毛三分八；一斤鱼两角钱；一斤牛肉熟的才五角钱；一个大肉包子五分钱；一只烧鸡两元钱；小米一斤一角钱；一个卤猪蹄子两毛钱一个；一盒火柴两分钱；一斤面粉两毛五。全国啥地方都是统一的价格，住的房子都是单位给分的，房子也都不交水电费的。一点也不像现在一会一个价钱。那个时候老干部一般一个月一百多元钱，一般的干部工人多数就是一个月五六十元到七八十元不等。这几家人特别的和睦，就像一家人一样，谁家有事大家都会过去帮忙。一九七六年唐山大地震的时候，老吴在唐山的老家也遭受了灾害，屋子倒了，人也砸伤了，老吴赶紧请假和他爱人一起回去处理老家的事情去了。老李对老吴说，“你放心的回老家吧！你的孩子我帮

28、你看。”当时老吴的老大才十四岁，还有一个刚刚才上学的七岁的小女儿。老吴走后每一天孩子起床都是老李叫他们起床，洗脸，吃饭上学，都是老李管的。孩子们放学就在老李家里学习，写作业，吃饭。每到星期天老石钓来鱼做熟以后，就端到老李家让老吴的孩子打牙祭。老赵的孩子学习好，只要有时间就去老吴家帮助他的孩子辅导功课。就这样两个多月很快过去了，老吴两口子回来了，他们看到家里面收拾的整整齐齐的。孩子们也长胖了，也爱学习了。他当面给老李鞠了一躬表示十分的感激，还给老石的孩子带了一些当地的土特产，给老赵的孩子买了几件衣服。老干部老李当时家里有一部电话机，这个电话机就成了几家人共同使用的了。那个时候打个电话一般不太容易

29、，当时电话机是个除了单位有一部以外，根本很少有个人电话的。老石在休息的时候喜欢出去钓鱼，他这个人喜欢钓鱼，就是不太喜欢吃鱼。钓的鱼一部分留下给自家孩子吃一些，大部分的鱼都分给邻居吃了。老李特别喜欢吃鱼，老石就经常把钓的鱼给他吃。老赵是个食堂的采购员，经常可以买到别人还没有吃到的反季节蔬菜，大家经常让他给代买一点便宜的蔬菜，或者便宜的鸡蛋，或者便宜的肉和其他调味品。当时一般的人家里都没有电视机，最多有个半导体收音机就是很好的了。大多数人下班吃完饭没有事就是喜欢串串门，一起都聊的是过去的事情，以及现在的工作和家常事。串门是特别普遍的现象。现在这个年代在一起住了好久也不知道邻居是干啥的，或者姓啥叫啥

30、，哪里的人都不知道。就是住在隔壁的也就是看见了打个招呼点个头，各自开门关门就走开了，与那个时候的邻里关系没法相比。老吴是个老师，也是一个戏迷，爱听京剧，也是一个爱下象棋的。老吴一有空就和老李下棋玩，于是他们有了深厚的情谊。他们几家人的孩子相处得也是特别的好，一般放了学就在一起学习玩耍。在那个时候，人们心里都是充满着英雄主义和共产主义的理想，就是跟着毛主席共产党好好的为人民服务。小孩玩的游戏，多是是刀枪、打仗的游戏，还有电影里看见的剧情。他们拿着玩具枪，还有木头做的宝剑，或者花五角钱可以买一根长杆木头大刀。他们拿着这些玩具就分出两个队伍。你这个队伍藏起来，他们埋伏起来之前还要伪装好，他们一般都是

31、藏在山坡底下或者是草多的地方。有的头上还要带上细树枝编的帽子或者是柳树条编的头箍，他们就趴在草丛里一般很难被另外一群小伙伴发现的。那个队伍就到处找他们，这个游戏叫做抓特务，或者叫做打伏击抓俘虏。他们一有时间，或者一放寒暑假，一群孩子就喜欢玩这个游戏，特别好玩。那一两个月就是孩子们的天下了，非常热闹。除此之外就是滚铁环、碰膝盖游戏。女孩子喜欢跳皮筋、跳格子、跳绳、打沙包、唱歌，也喜欢玩抓特务游戏。到了七十年代初，老李家里就买了国产第一批黑白电视机，一到晚上，他们那个院子里几乎所有的人下了班，吃完饭，就到老李家里看电视去了。当时只可以收看两个频道，一个是陕西电视台，一个是中央电视台。一般演的除了新

32、闻就是纪录片，再就是运动会的直播，或者是实况录像。当时一般人根本没有见过电视剧，就是那一台十六英寸的电视机，一直见证了整个的七十年代。老吴也有的时候去老李家里看京戏，他一边看着京戏一边嘴里还不停地哼哼着京戏。一天嘴里哼着京戏特别愉悦和快乐，就是这样又过了几年。他们的孩子都出去有的工作了，有的到了外地上学去了。一年就是过年放假回来一个月，或者暑假才能回来看看。有的时候家里有了什么急事，他们才会请假来几天看看。到了改革开放的八十年代，老李的儿子在外地混得很好，有了一定的实力，就把一家人都接走了，到了廊坊买了大房子。刚开始老李住在大房子里还可以，可是过了没有多久就不喜欢说话了，一天也没有精神一样，总

33、感觉生活没有一点意思。老石呢，也是退了休一天没有人说话了，就整天出去钓鱼，钓鱼自己又很少吃。但是新搬来的年轻人他就是看不惯，基本很少和这些年轻人来往。那些年轻人一点不安静，休息时不是喝酒划拳，就是唱卡拉OK，一折腾就是半夜。老石也不好说他们什么。有一年他的孩子也把老石接到了外地，呆了半年多，老石实在难受就回来了。老赵的两个孩子都在上海打工也不回来了，他就在上海给他的孩子带孩子了。二零零五年，他们因为特别想当年的老邻居，他们的孩子就帮他们联系这些当年的老邻居，没有几个月他们联系好了，在当年的国庆节，他们终于在故地汉中见面了。一见面感觉彼此还是和当年一样的亲切，他们这几家人好好在西安玩了一周，然后就各自回家了，临走的时候他们还照了一张大合影，当做彼此的留念。又过了一年，老李去世了；老吴突然得了心脏病；老赵得了糖尿病。这两位老邻居知道他们自己的情况后，就在西安的郊区买了一块地，要求孩子们在他们死后就都埋在这里。二零一零年，老吴也走了，儿子小吴就把老吴的骨灰埋在了那里。现在老石、老赵还健在，他们常说，“我们以后也要团聚在那里，永远不会再分离！”这句话深深震撼着我，也许这就是我们现在这个时代所缺失的宝贵财富吧！