二次曲面及复习(课后较大修改版)-课件.ppt

1、 写给今天写给今天(1月月7日日)上午在教八上午在教八102听课的同学听课的同学：1.有一个例题有一个例题(写了两次写了两次)是错误的是错误的.原原题如下题如下:例题例题.设设B为一个为一个 n 阶对称阵，左乘或右阶对称阵，左乘或右乘一个正定矩阵乘一个正定矩阵 A 不会改变不会改变 B 的正负的正负惯性指数。惯性指数。应修正为：应修正为：例题例题.设设B为一个为一个 n 阶方阵，左乘或右乘阶方阵，左乘或右乘一个正定矩阵一个正定矩阵 A 不会变不会变 B 的正负惯性的正负惯性指数指数.例题例题.设设B为一个为一个 n 阶对称阵，阶对称阵，A是是n 阶阶正定矩阵，则正定矩阵，则AB或或BA的正负特

2、征值的的正负特征值的个数分别等于个数分别等于B 的正负惯性指数的正负惯性指数.写给今天写给今天(1月月7日日)上午在教八上午在教八102听课的同学听课的同学：2.除了已经通知你们的集体答疑，我还安排除了已经通知你们的集体答疑，我还安排3.了本班答疑，如下：了本班答疑，如下：本班答疑本班答疑 本周五上午本周五上午1-4节课，在教八节课，在教八400；下周三下午下周三下午2:00-4:30,晚上晚上6:30-9:00,在图在图书馆北楼五楼数学系书馆北楼五楼数学系525室室写给今天写给今天(1月月7日日)上午在教八上午在教八102听课的同学听课的同学：3.本本ppt还增加了几个结论和例题：还增加了几

3、个结论和例题：注注：一个实矩阵：一个实矩阵A与对角阵与对角阵合同，则合同，则A 一定是对称阵一定是对称阵.120,201ab ,a b例例.若矩阵若矩阵 合同，则参数合同，则参数满足条件满足条件 。例例.对于非零对于非零n(n1)维列向量维列向量,计算计算A=T 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.集体答疑通知集体答疑通知时间：时间：1月月14号号9:00-16:30地点：教八地点：教八400(西侧楼梯口附件西侧楼梯口附件)本班答疑本班答疑 本周五上午本周五上午1-4节课，在教八节课，在教八400；下周三下午下周三下午2:00-4:30,晚上晚上6:30-9:00,在图在图书馆北楼五楼数学系

4、书馆北楼五楼数学系525室室教教 材材 改改 错错P221最后一行最后一行:根号里的根号里的y2 应替换为应替换为z2.P222第第6行行:“球球”应为应为“球面球面”.该变换是对该变换是对坐标轴作了坐标轴作了一个旋转一个旋转.注注1：在例：在例16中将两个一次项之和化为一中将两个一次项之和化为一个一次项时，用了一个正交变换，如何个一次项时，用了一个正交变换，如何看出它是一个旋转变换呢？看出它是一个旋转变换呢？事实上，对于一个正交变换事实上，对于一个正交变换x=Qy,如果如果|Q|=1，则称该变换是，则称该变换是第一类第一类正交变换，正交变换，其对应的是其对应的是将坐标轴作了一个旋转将坐标轴作

5、了一个旋转。如如果果|Q|=-1，称该变换是，称该变换是第二类第二类正交变换，正交变换，其对应的是将坐标轴作了一个其对应的是将坐标轴作了一个“镜像变镜像变换换”(可以先做一个旋转可以先做一个旋转)。(了解即可了解即可)：如果一个方程的形式为：如果一个方程的形式为(联系：联系：P239 填空第填空第10题题)如果一个方程的形式为如果一个方程的形式为特别地，假设二次曲面方程为如下形式，特别地，假设二次曲面方程为如下形式，记记，方程即为方程即为不难求出实对称阵不难求出实对称阵A的特征值的特征值(从而从而知道知道A的正负惯性指数的正负惯性指数),然后对曲面分类然后对曲面分类.1.当当2.当当3.当有当

6、有4.当有当有5.当有当有6.当有当有7.当有当有8.当有当有7.当有当有第六章第六章 习题解析习题解析P239第第3题题：即使实矩阵：即使实矩阵A不是对称矩阵不是对称矩阵,xTAx 也是一个二次型，其对应的二次型也是一个二次型，其对应的二次型矩阵为矩阵为 (A+AT).21：设：设A=，若，若 xTAx=0对任意对任意的的n维列向量维列向量x成立成立,则参数则参数 a,b,c,d 需要需要满足什么条件？满足什么条件？a bc dxTAx=xT x=0a (b+c)/2(b+c)/2 d：假设：假设A是是n阶实对称阵，则阶实对称阵，则 xTAx=0对任意的对任意的n维列向量维列向量x成立成立

7、A=0 ：假设：假设A,B是是n阶实对称阵，则阶实对称阵，则 xTAx=xTBx对任意的对任意的n维列向量维列向量x成立成立 A=B P239第第4题：题：要说明反之结论不成立，只要说明反之结论不成立，只需举例说明，也只有举例才能说清楚。需举例说明，也只有举例才能说清楚。1 1 -1 -11 -1 1 -1合同合同不合同不合同P240第第7题题:设二次型设二次型f=xTAx，A是是3阶实阶实对称阵。如果求得一正交矩阵对称阵。如果求得一正交矩阵Q 使得使得 QTAQ=,其中其中 =,那么在变换那么在变换 x=Qy的作用下，二次型变为的作用下，二次型变为 f=y22+4y32.0 1 4注意对应注

8、意对应P240第第8题题(2)：最后要写出可逆线性变最后要写出可逆线性变换换.切记切记 写在写在.建议建议：正交矩阵的记号用：正交矩阵的记号用Q,Q1,Q2,P240第第10题题(3):QTAQ=A=Q QT =A=Q1/2 1/2 QT =A=Q1/2 1/2QT =可取可取P240第第12题题:方法方法1:aii=ei AeiT 0,ei=0,.,0,1,0,0第第i个分量个分量方法方法2:A=PTP.记记 P=(pij)nn.则则 aii =p1i p1i +p2i p2i+pni pni A=PTP 的另一个应用：的另一个应用：例题例题.设设B为一个为一个 n 阶对称阵，阶对称阵，A是

9、是n 阶阶正定矩阵，则正定矩阵，则AB或或BA的正负特征值的的正负特征值的个数分别等于个数分别等于B 的正负惯性指数的正负惯性指数.AB=PTPB (PT)-1 ABPT=PBPT AB与与PBPT 相似，所以它们具有相同的相似，所以它们具有相同的特征值。特征值。PBPT与与B合同，因此它们的正负惯性指合同，因此它们的正负惯性指数相同。从而结论得证。数相同。从而结论得证。AB、ABAB、11BA例题例题(06-07(06-07试题试题).若若都是可逆的都是可逆的都是正定都是正定也是正定矩阵也是正定矩阵实对称矩阵，且实对称矩阵，且矩阵，证明：矩阵，证明：分析分析：此题可用上述例题的结论解决：此题

10、可用上述例题的结论解决(利利用用 B(B-1 A-1)A=A B).也可以利用也可以利用“化成对角阵化成对角阵”的方法，在的方法，在后面的后面的“化归思想化归思想”中有介绍中有介绍.P240第第14题题:注意矩阵注意矩阵ATA不是不是正定阵：正定阵：xT AT Ax=|Ax|2 0设设mn矩阵矩阵A的秩为的秩为r,则由一已知结论则由一已知结论可得可得 r(ATA)=r(A)=r.则则 ATA 一定有一定有r 个正的特征值个正的特征值,剩余剩余 n-r 个特征值均为个特征值均为0.1 1 0 0 r个个1另外，另外，ATA 与下列矩阵合同与下列矩阵合同1 1 0 0 r个个1事实上，设实对称矩阵

11、事实上，设实对称矩阵B的秩为的秩为r.若若 xTBx 0,n维列向量维列向量x，则则 B 一定有一定有r 个正的特征值个正的特征值,剩余剩余 n-r 个特个特征值均为征值均为0.另外，另外，B与下列矩阵合同与下列矩阵合同P240第第14题题:请注意在用请注意在用说明一个说明一个矩阵是正定时，需要强调矩阵是正定时，需要强调 是是的向量的向量.因为因为时，时，!P240第第15题题:可先从特征值的角度说明可先从特征值的角度说明A*和和 A-1 是正定的，然后利用下面例题的是正定的，然后利用下面例题的证明思路，或利用证明思路，或利用P239习六习六(B)第第4题的结题的结论论.P240 第第20题题

12、：注意不必求出正交变换：注意不必求出正交变换矩阵矩阵Q.设实对称阵设实对称阵A 的特征值为的特征值为,事实上，一定存在正交矩阵事实上，一定存在正交矩阵Q使得使得在可逆线性变换在可逆线性变换x=Qy下，二次型化为下，二次型化为我们可以总结：我们可以总结：y12 +y22+yn2且条件且条件在正交变换下在正交变换下不变，即仍然成立不变，即仍然成立 从而有，从而有，f,=,以及，以及，f ,=,且容易验证上述最大最小值可以取到且容易验证上述最大最小值可以取到.（注意条件：（注意条件：）联想联想例题例题.设设n阶实对称阵阶实对称阵A 的特征值为的特征值为,证明：证明：min =,max=,n维列向量维

13、列向量.注注：1.存在既不正定，也不负定的矩阵；存在既不正定，也不负定的矩阵；2.行列式大于零并不能得到矩阵正定行列式大于零并不能得到矩阵正定.注注：一个实矩阵：一个实矩阵A与对角阵与对角阵合同，则合同，则A 一定是对称阵一定是对称阵.120,201ab ,a b例例.若矩阵若矩阵 合同，则参数合同，则参数满足条件满足条件 。总总 复复 习习A 与与B合同，并不要求它们是实对称阵合同，并不要求它们是实对称阵.但是，当它们都是实对称阵并且合同时，但是，当它们都是实对称阵并且合同时，就有一些共性就有一些共性,比如：比如：1.它们具有相同的秩和正负惯性指数它们具有相同的秩和正负惯性指数 (充要条件充

14、要条件)；2.它们可合同于同一个对角矩阵它们可合同于同一个对角矩阵(充要充要条件条件).进一步，如果进一步，如果n阶阶A和和B都是正定矩阵都是正定矩阵并且合同，则有明确的共性：并且合同，则有明确的共性：秩秩=正惯正惯性指数性指数=矩阵的阶数矩阵的阶数n；都合同于；都合同于E.A 与与B相似，自然不要求它们是实对称阵相似，自然不要求它们是实对称阵.它们有哪些共性呢？它们有哪些共性呢？1.它们具有相同的秩；它们具有相同的秩；(反之不成立反之不成立)2.它们有相同的特征多项式它们有相同的特征多项式(从而有相从而有相同的特征值，相同的迹，相同的行同的特征值，相同的迹，相同的行列式列式)(反之不成立反之

15、不成立)进一步，如果进一步，如果A和和B都是实对称矩阵并都是实对称矩阵并且相似，则有更多的的共性：相似于且相似，则有更多的的共性：相似于同一个对角阵，同一个对角阵，A和和B合同合同.(反之，已知两实对称阵合同于同一个反之，已知两实对称阵合同于同一个对角阵，它们不一定相似对角阵，它们不一定相似).一个区别之处：一个区别之处：A相似于一个对角阵，则对角元一定是相似于一个对角阵，则对角元一定是它的特征值；它的特征值；实对称阵实对称阵A合同于一个对角阵，则对角合同于一个对角阵，则对角元未必是它的特征值元未必是它的特征值.A 与与B等价，它们有何共性呢？等价，它们有何共性呢？-秩相等秩相等(充要条件充要

16、条件)A与与 E等价等价 =A与与 E相似相似 =A与与 E合同合同 =(A:实对称阵实对称阵)A可逆可逆A=E A 正定正定A与与 kE等价等价 =A与与 kE相似相似 =A与与 kE合同合同 =(A:实对称阵实对称阵)A可逆可逆A=kE A 正定或负定正定或负定 k 0 时时A与与 O等价等价 =A与与 O相似相似 =A与与 O合同合同 =A=OA=OA=O注：注：A的所有特征值为零，不能得到的所有特征值为零，不能得到 A=O!“T”类型问题类型问题 (,为为n维列向量维列向量)1.A=T =A2010=(T)2009 T 插曲：计算插曲：计算An 还可用：相似对角化；还可用：相似对角化；

17、另外，有时候另外，有时候A2 或或A3 具有一具有一 些迭代性质也利于简化计算些迭代性质也利于简化计算.2.r(T)r(),r(T)1.特别的，特别的，对于非零对于非零，r(T)=1.所以，当所以，当 n1时，时，det(T)=0.例例.对于非零对于非零n维列向量维列向量,计算计算A=T 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.例例.对于非零对于非零n(n1)维列向量维列向量,计算计算A=T 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.分析：分析：法一法一.A =T =(T)=(T),所以所以 是一个对应于特征值是一个对应于特征值=T 的特征向的特征向量，注意量，注意 T 不等于零不等于零.另外另外,

18、Ax=0的基础解系中共有的基础解系中共有 n-r(A)=n-1 个线性无关的解向量个线性无关的解向量1,2,n-1(也可选择该向量组为与也可选择该向量组为与 一起一起构成构成 Rn的一的一组标准正交基的向量组标准正交基的向量).它们是对应特征值它们是对应特征值0 的特征向量的特征向量.那么如何严格说明那么如何严格说明 事实上，若令事实上，若令P=(,1,2,n-1),则由定理则由定理5.3的证明思路可知的证明思路可知 P-1AP=diag,从而知道从而知道A与与diag相似相似,因因此此法二：法二：可算得可算得A2=T A，从而知道，从而知道A的特征值只能为的特征值只能为 T 或者或者0.再利

19、用再利用tr(A)=T ,可知可知 T 和和0都为都为A的特的特征值征值.然后再寻找它们的特征向量然后再寻找它们的特征向量.3.p206-207:22题，题，32题，题，33题题化归的思想化归的思想把一般的矩阵把一般的矩阵 对角阵对角阵(相似，合同相似，合同)把一般的矩阵把一般的矩阵 等价标准型等价标准型AB、ABAB、11BA例题例题(06-07(06-07试题试题).若若都是可逆的都是可逆的都是正定都是正定也是正定矩阵也是正定矩阵实对称矩阵，且实对称矩阵，且矩阵，证明：矩阵，证明：给定两个同阶的正定矩阵给定两个同阶的正定矩阵A和和B,则一定则一定存在一个可逆阵存在一个可逆阵M使得使得 MT

20、 AM=E，MT BM=，是对角阵是对角阵.A正定正定=存在可逆存在可逆P使使PT AP=E 对于对于PT BP,其是对称的其是对称的,所以存在正交所以存在正交阵阵Q使得使得 QT(PT BP)Q=，是对角阵是对角阵而而QT(PT AP)Q=QTEQ=E=可取可取M=PQ例题例题.证明：给定一个证明：给定一个n n矩阵矩阵A,一定存一定存在一个可逆阵在一个可逆阵P和一个矩阵和一个矩阵C，使得使得 A=PC,且且 C2=C.提示：可联系习题二提示：可联系习题二(B)29，28分析分析：设：设 M,N 为可逆阵使得为可逆阵使得 A=MBN,其中其中 B为为A的等价标准形的等价标准形.不难验证不难验

21、证 B2 =B.令令 C=N-1BN,P=MN,命题得证命题得证.提提 醒醒1.会求逆矩阵会求逆矩阵注：您是如何算函数注：您是如何算函数 (1-x)-1-1 的倒数？的倒数？方法很多！方法很多！熟悉矩阵运算：熟悉矩阵运算：如矩阵如矩阵A的各行元素之和等于零，能得的各行元素之和等于零，能得到什么？到什么？如矩阵如矩阵A的各列元素之和等于零，能得的各列元素之和等于零，能得到什么？到什么？2.会算矩阵方程会算矩阵方程 AX=B,XA=B (不管不管A可逆与否，可逆与否，A是方阵与否是方阵与否)AX=B有解有解 r(A,B)=r(A)XA=B有解有解 ATXT=BT有解有解 r(AT,BT)=r(AT

22、)3.此类题一定要掌握此类题一定要掌握 当参数当参数k取什么值时，取什么值时，直线直线L1:=y-1-3x-1 2z-4-4L2:=(k 0)y+1-1x-1 2z-1k相交？相交？讨论下列三个平面的相对位置讨论下列三个平面的相对位置.1:x+y+6z=3;2:2x+(a+1)y+(b+1)z=7;3:(1-a)x+(2b-1)z=0.其中，其中，a,b 是参数是参数.课后注释：课后注释：一般来说，第一步假定只有一一般来说，第一步假定只有一个交点，此时可以得到个交点，此时可以得到a,b的一个范围；在的一个范围；在剩下的范围内，剩下的范围内，a,b 是一些具体的取值，我是一些具体的取值，我们就可以通过求解对应的具体方程组，来判们就可以通过求解对应的具体方程组，来判断解的情况，从而判断平面的位置关系断解的情况，从而判断平面的位置关系.4.Ax=和和 Ax=b解之间的联系及线性解之间的联系及线性 相关性也是常考的点相关性也是常考的点.熟练掌握熟练掌握P170-171:32,35,36,40