抛物线复习和练习精选教学课件.ppt

1、第六节 抛 物 线1.1.抛物线的定义抛物线的定义满足以下三个条件的点的集合是抛物线：满足以下三个条件的点的集合是抛物线：(1)(1)在平面内在平面内.(2)(2)动点到定点动点到定点F F的距离与到定直线的距离与到定直线l的距离的距离_._.(3)(3)定点定点_定直线定直线.相等相等不过不过2.2.抛物线的标准方程与简单性质抛物线的标准方程与简单性质标准标准方程方程_(p0)(p0)_(p0)(p0)_(p0)(p0)_(p0)(p0)P P的几何意义：焦点的几何意义：焦点F F到准线到准线l的距离的距离图形图形 y y2 2=2px=2pxy y2 2=-2px=-2pxx x2 2=2

2、py=2pyx x2 2=-2py=-2py顶点顶点_对称轴对称轴 _(x_(x轴轴)_(y_(y轴轴)焦点坐标焦点坐标F_F_F_F_F_F_F_F_离心率离心率 e=_ e=_O(0,0)O(0,0)y=0y=0 x=0 x=0p(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)21 1准线准线方程方程_范围范围_焦半焦半径径(其其中中P(xP(x0 0,y y0 0)|PF|=|PF|=_|PF|=|PF|=_|PF|=|PF|=_|PF|=|PF|=_ _px2 px2py2 py2x0,yRx0,yRx0,yRx0,yRy0,xRy0,xRy0,xRy0,xR 0px20px20py20p

3、y2判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”或或“”).”).(1)(1)平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l的距离相等的点的轨迹的距离相等的点的轨迹一定是抛物线一定是抛物线.().()(2)(2)方程方程y=axy=ax2 2(a0)(a0)表示的曲线是焦点在表示的曲线是焦点在x x轴上的抛物线，且轴上的抛物线，且其焦点坐标是其焦点坐标是(,0)(,0)，准线方程是，准线方程是x=.()x=.()a4a4(3)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.().()(4)AB(4)AB为抛物线为抛

4、物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的过焦点的过焦点F(,0)F(,0)的弦，若的弦，若A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)，则，则x x1 1x x2 2=,y=,y1 1y y2 2=-p=-p2 2，弦长，弦长|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+p.+p.()()p22p41a14a14a【解析【解析】(1)(1)错误错误.当定点在定直线上时，轨迹为过定点当定点在定直线上时，轨迹为过定点F F与定与定直线直线l垂直的一条直线，而非抛物线垂直的一条直线，而非抛物线.(2)(2)错误错误.方方程程y=axy=ax2 2(a0)(a0

5、)可化为可化为x x2 2=y=y，是焦点在，是焦点在y y轴上的抛轴上的抛物线，且其物线，且其焦焦点坐标是点坐标是(0,)(0,)，准线方程是，准线方程是y=-.y=-.(3)(3)错误错误.抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形,不是中心对称不是中心对称图形图形.(4)(4)正正确确.当当ABAB斜斜率不存在时，率不存在时，ABAB方程为方程为x=x=，结论显然成，结论显然成立；当立；当ABAB斜斜率率存存在在时，设时，设ABAB的方程为的方程为y=k(xy=k(x-),-),与与y y2 2=2px(p0)=2px(p0)联立消去联立消去y y得：得：k k

6、2 2x x2 2-p(2+k-p(2+k2 2)x+=0,x+=0,又又y y1 1=k(x=k(x1 1-),y-),y2 2=k k(x(x2 2-),-),22k p42212122p 2kpxx,x x,k4p2p2p2p2yy1 1y y2 2=k=k2 2xx1 1x x2 2-(x-(x1 1+x+x2 2)+)+由抛物线定义得：由抛物线定义得：|AF|=x|AF|=x1 1+,|BF|=x+,|BF|=x2 2+,+,|AB|=|AF|+|BF|=x|AB|=|AF|+|BF|=x1 1+x+x2 2+p.+p.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)p2

7、2p4p2p2222222p 2kppp42kkp.4 1.1.坐标平面内到定点坐标平面内到定点F(-1F(-1，0)0)的距离和到定直线的距离和到定直线l:x:x=1=1的距离的距离相等的点的轨迹方程是相等的点的轨迹方程是()()(A)y(A)y2 2=2x (B)y=2x (B)y2 2=-2x=-2x(C)y(C)y2 2=4x (D)y=4x (D)y2 2=-4x=-4x【解析解析】选选D.D.由抛由抛物物线的定义知点的轨迹是以线的定义知点的轨迹是以F(-1,0)F(-1,0)为焦点为焦点的抛物线，且的抛物线，且 =1,p=2=1,p=2，故方程为，故方程为y y2 2=-4x.=-

8、4x.p22.2.若抛物线若抛物线y y2 2=2px=2px的焦点与椭圆的焦点与椭圆 的右焦点重合，则的右焦点重合，则p p的值为的值为()()(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4【解析【解析】选选D.D.椭圆椭圆 的右焦点为（的右焦点为（2 2，0 0），），所以所以22xy16222xy162p2,p4.2即3.3.抛物线抛物线x x2 2=4y=4y上一点上一点A A的纵坐标为的纵坐标为4 4，则点，则点A A到抛物线焦点的距到抛物线焦点的距离为离为()()(A)2 (B)3 (C)4 (D)5(A)2 (B)3 (C)4 (D)5【解析

9、【解析】选选D.D.由抛物由抛物线线定义得定义得|AF|=4|AF|=4+=4+4+=5.=5.p2224.4.抛物线抛物线y=8xy=8x2 2的准线方程为的准线方程为()()(A)x(A)x=-2 (B)=-2 (B)(C)(D)(C)(D)【解析【解析】选选D.D.抛物线抛物线y=8xy=8x2 2的标准方程为的标准方程为x x2 2=y=y，焦点在焦点在y y轴上，且轴上，且2p=,p=,2p=,p=,准线方程为准线方程为y=-y=-.18181161321x2 1y8 1y32 5.5.线段线段ABAB是抛物是抛物线线y y2 2=x=x的的一一条焦条焦点弦点弦，若若|AB|AB|4

10、 4，则弦，则弦ABAB的的中点到直线中点到直线x+=0 x+=0的距离等的距离等于于_.【解析【解析】设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)则则|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+=4=4,xx1 1+x+x2 2=,弦弦A AB B的的中中点点的横坐标的横坐标为为中点到直线中点到直线x x+=0=0的距离为的距离为：答案答案：7212xx7.2412941212719().424 考向考向 1 1 抛物线的定义及其应用抛物线的定义及其应用 【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013九江模拟九江模拟)已知动圆过定点已知动圆过定点F(

11、,0)F(,0)，且与直线且与直线x=-x=-相切，其中相切，其中p0,p0,则动圆圆心的轨迹则动圆圆心的轨迹E E的方程为的方程为_._.(2)(2012(2)(2012安徽高考安徽高考)过抛物线过抛物线y y2 2=4x=4x的焦点的焦点F F的直线交该抛物的直线交该抛物线于线于A A，B B两点，若两点，若|AF|AF|3 3，则，则|BF|BF|_._.p2p2(3)(3)已知点已知点P P是抛物线是抛物线y y2 2=2x=2x上的一个动点，则点上的一个动点，则点P P到点到点(0(0，2)2)的距离与点的距离与点P P到该抛物线准线的距离之和的最小值为到该抛物线准线的距离之和的最小

12、值为_._.【思路点拨【思路点拨】（1 1）根据已知条件得到动点满足的等量关系，）根据已知条件得到动点满足的等量关系，再结合抛物线定义，先定形状，再求方程再结合抛物线定义，先定形状，再求方程.（2 2）利用抛物线的定义求出）利用抛物线的定义求出A A点坐标，将直线点坐标，将直线AFAF的方程与的方程与y y2 2=4x=4x联立，求出联立，求出B B点坐标，再利用抛物线定义求出点坐标，再利用抛物线定义求出|BF|.|BF|.（3 3）利用抛物线的定义，将点）利用抛物线的定义，将点P P到准线的距离转化为点到准线的距离转化为点P P到焦到焦点的距离，数形结合求解点的距离，数形结合求解.【规范解答

13、【规范解答】(1)(1)设设M M为动圆圆心，过点为动圆圆心，过点M M作直线作直线x=-x=-的垂的垂线，垂足为线，垂足为N N，由题意知，由题意知|MF|=|MN|MF|=|MN|，即动点，即动点M M到定点到定点F(,0)F(,0)与定直线与定直线x=-x=-的距离相等，由抛物线定义知，点的距离相等，由抛物线定义知，点M M的轨迹为的轨迹为抛物线，其中抛物线，其中F(,0)F(,0)为焦点，为焦点，x=-x=-为准线，为准线，所以轨迹方程为所以轨迹方程为y y2 2=2px(p0).=2px(p0).答案：答案：y y2 2=2px(p0)=2px(p0)p2p2p2p2p2（2 2）由

14、题意知，抛物线的焦点）由题意知，抛物线的焦点F F的坐标为的坐标为(1,0)(1,0)，又，又|AF|=3|AF|=3，由抛物线定义知，点由抛物线定义知，点A A到准线到准线x=-1x=-1的距离为的距离为3 3，点点A A的横坐标为的横坐标为2 2，将，将x=2x=2代代入入y y2 2=4x=4x，得，得y y2 2=8,=8,不妨设不妨设A A在在第一象限，所以第一象限，所以y=y=2 2,A(2,),A(2,),直线直线AFAF的方程为的方程为y=(x-1).y=(x-1).又又 解得解得由图知，点由图知，点B B的坐标为的坐标为(),(),|BF|=.A|BF|=.A在第四象限时，同

15、理在第四象限时，同理|BF|=|BF|=答案：答案：2 22 22y2 2 x1,y4x,1x2,x,2y2 2.y2 或1,2213122 323.2(3)(3)如图，由抛物线的定义知，点如图，由抛物线的定义知，点P P到该抛物线的准线的距离等到该抛物线的准线的距离等于点于点P P到其焦点的距离，因此点到其焦点的距离，因此点P P到点到点(0(0，2)2)的距离与点的距离与点P P到该到该抛物线准线的距离之和即为点抛物线准线的距离之和即为点P P到点到点(0(0，2)2)的距离与点的距离与点P P到焦点到焦点的距离之和，显然当的距离之和，显然当P P0 0，F F，(0(0，2)2)三点共线

16、时，距离之和取三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于得最小值，最小值等于22117(0)20.22答案：答案：172【互动探究【互动探究】在本例题在本例题(2)(2)的条件下，如何求的条件下，如何求AOBAOB的面积？的面积？【解析【解析】由题由题(2)(2)的解析知的解析知A(2,),B(,-),A(2,),B(,-),SSAOB AOB =|OF|=|OF|y|yA A-y-yB B|=|=2 2122121312 222.22【拓展提升【拓展提升】利用抛物线的定义可解决的两类问题利用抛物线的定义可解决的两类问题(1)(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线轨迹问题：用

17、抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线距离有关的轨迹是否为抛物线.(2)(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意两者之间的转化在解题中的应用离问题时，注意两者之间的转化在解题中的应用.【变式备选【变式备选】直线直线l经过抛物线经过抛物线y y2 2=2px=2px（p p0 0）的焦点）的焦点F F，且与，且与抛物线交于抛物线交于P P，Q Q两点，由两点，由P P，Q Q分别向准线引垂线分别向准线引垂线PRPR，QSQS，垂足，垂足分别为分别为R R，S S，如果，如果|PF|=a|PF

18、|=a，|QF|=b|QF|=b，M M为为RSRS的中点，则的中点，则|MF|MF|为为 ()()(A)a+b(A)a+b (B)(B)（a+ba+b）(C)ab(C)ab (D)(D)12ab【解析【解析】选选D.D.如图所示，由抛物线定如图所示，由抛物线定义知义知 ，连结连结RFRF，SFSF，则，则RFS=90RFS=90.又又M M是中是中点，点，22RSabab2 ab（）（）1MFRSab.2考向考向 2 2 抛物线的标准方程与简单性质抛物线的标准方程与简单性质【典例【典例2 2】(1)(2012(1)(2012山东高考山东高考)已知双曲线已知双曲线C C1 1：的离心率为的离心

19、率为2.2.若抛物线若抛物线C C2 2:x:x2 2=2py(p0)=2py(p0)的焦点到双曲线的焦点到双曲线C C1 1的渐近线的距离为的渐近线的距离为2 2，则抛物线，则抛物线C C2 2的方程为的方程为()()(A)x(A)x2 2=y (B)x=y (B)x2 2=y=y(C)x(C)x2 2=8y (D)x=8y (D)x2 2=16y=16y2222xy1(a0,b0)ab8 3316 33（2 2）（）（20132013宝鸡模拟）以原点为顶点，坐标轴为对称轴，宝鸡模拟）以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过并且经过P P（-2-2，-4-4）的抛物线方程为）的抛物线方程为_.

20、_.【思路点拨【思路点拨】(1)(1)先利用离心率为先利用离心率为2 2，求出渐近线方程，再利用，求出渐近线方程，再利用焦点到渐近线的距离为焦点到渐近线的距离为2 2构建方程求构建方程求p p，从而求解，从而求解.(2)(2)利用待定系数法求解，根据题设条件，按焦点所在位置的利用待定系数法求解，根据题设条件，按焦点所在位置的可能情况，分类讨论可能情况，分类讨论.【规范解答【规范解答】(1)(1)选选D.D.因为双曲线因为双曲线C C1 1：的离的离心率为心率为2 2，,b=a,b=a,双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为 x xy y=0,=0,抛物线抛物线C C2 2:x:x2 2=2p

21、y(p0)=2py(p0)的焦点的焦点F(0,)F(0,)到双曲线到双曲线C C1 1的渐近线的渐近线的距离为的距离为 ,p=8.,p=8.所求的抛物线方程为所求的抛物线方程为x x2 2=16y.=16y.2222xy1(a0,b0)ab22cab2aa33p2p|30|222(2)(2)由于点由于点P P在第三象限在第三象限.当焦点在当焦点在x x轴负半轴上时，设方程为轴负半轴上时，设方程为y y2 2=-2px=-2px（p p0 0），把点），把点P P（-2-2，-4-4）代入得：）代入得：(-4)(-4)2 2=-2p=-2p(-2)(-2)，解得，解得p=4p=4，抛物线抛物线方

22、程为方程为y y2 2=-8x.=-8x.当焦点在当焦点在y y轴负半轴上时，设方程为轴负半轴上时，设方程为x x2 2=-2py=-2py（p p0 0），），把点把点P P（-2-2，-4-4）代入得：）代入得：(-2)(-2)2 2=-2p=-2p（-4-4）.解得解得抛物线方程为抛物线方程为x x2 2=-y,=-y,综上可知抛物线方程为综上可知抛物线方程为y y2 2=-8x=-8x或或x x2 2=-y.=-y.答案：答案：y y2 2=-8x=-8x或或x x2 2=-y=-y1p2，【拓展提升【拓展提升】1.1.求抛物线的标准方程的方法及流程求抛物线的标准方程的方法及流程(1)

23、(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有只有p p，所以只需一个条件确定，所以只需一个条件确定p p值即可值即可.(2)(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量程时，需先定位，再定量.2.2.确定及应用抛物线性质的关键与技巧确定及应用抛物线性质的关键与技巧(1)(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程关键是将抛物线方程化成标准方程.(2)(

24、2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解解.【变式训练【变式训练】(1)(2013(1)(2013蚌埠模拟蚌埠模拟)已知抛物线已知抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的的准线与圆准线与圆x x2 2+y+y2 2-6x-7=0-6x-7=0 相切，则相切，则p p的值为的值为()()(A)(B)1 (C)2 (D)4(A)(B)1 (C)2 (D)4【解析【解析】选选C.C.由由y y2 2=2px=2px，得抛物线准线方程为，得抛物线准线方程为x=-x=-，圆，圆x x2 2+y+y2 2-6x-7=0-6x-7

25、=0可化为可化为(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=16=16，由圆心到准线的距离等于，由圆心到准线的距离等于半径得：半径得：3+=43+=4，所以，所以p=2.p=2.p2p212(2)(2)焦点在直线焦点在直线x-2y-4=0 x-2y-4=0上的抛物线的标准方程是上的抛物线的标准方程是_._.【解析【解析】令令x=0 x=0得得y=-2y=-2；令；令y=0,y=0,得得x=4.x=4.抛物线的焦点为抛物线的焦点为(4(4，0)0)或或(0(0，-2).-2).当焦点为当焦点为(4(4，0)0)时，时，=4,p=8,=4,p=8,此时抛物线方程为此时抛物线方程为y y2 2=16x

26、=16x；p2当焦点为当焦点为(0(0，-2)-2)时，时，=2=2，p=4,p=4,此时抛物线方程为此时抛物线方程为x x2 2=-8y.=-8y.所求抛物线方程为所求抛物线方程为y y2 2=16x=16x或或x x2 2=-8y.=-8y.答案：答案：y y2 2=16x=16x或或x x2 2=-8y=-8yp2考向考向 3 3 直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的综合问题【典例【典例3 3】(2013(2013南昌模拟南昌模拟)如图所示，如图所示，F F是抛物线是抛物线x x2 2=2py(p0)=2py(p0)的焦点，点的焦点，点R(1R(1，4)4)为抛物线内一定点，点为抛物线内

27、一定点，点Q Q为为抛物线上一动点，抛物线上一动点，|QR|+|QF|QR|+|QF|的最小值为的最小值为5.5.(1)(1)求抛物线的方程求抛物线的方程.(2)(2)已知过点已知过点P(0P(0，-1)-1)的直线的直线l与抛物线与抛物线x x2 2=2py(p0)=2py(p0)相交于相交于A(xA(x1 1,y,y1 1)，B(xB(x2 2,y,y2 2)两点，两点，l1 1，l2 2分别是该抛物线在分别是该抛物线在A A，B B两点处两点处的切线，的切线，M M，N N分别是分别是l1 1，l2 2与直线与直线y=-1y=-1的交点的交点.求直线求直线l的斜率的的斜率的取值范围，并证

28、明取值范围，并证明|PM|=|PN|.|PM|=|PN|.【思路点拨【思路点拨】(1)(1)利用抛物线定义，并数形结合寻找到利用抛物线定义，并数形结合寻找到|QR|+|QF|QR|+|QF|取最小值为取最小值为5 5的条件，构建的条件，构建p p的方程求解的方程求解.(2)(2)建立建立l的方程并与的方程并与x x2 2=2py(p0)=2py(p0)联立消去联立消去y y得一元二次方程，得一元二次方程，使判别式使判别式00求斜率的取值范围，再建立求斜率的取值范围，再建立l1 1，l2 2的方程，只需的方程，只需证明证明x xM M+x+xN N=0=0即即x xN N=-x=-xM M即可即

29、可.【规范解答【规范解答】(1)(1)设抛物线的准线为设抛物线的准线为l,过过Q Q作作QQQQl于于QQ，过过R R作作RRRRl于于RR，由抛物线定义知，由抛物线定义知|QF|=|QQ|QF|=|QQ|，|QR|+|QF|=|QR|+|QQ|RR|(|QR|+|QF|=|QR|+|QQ|RR|(折线段大于垂线段折线段大于垂线段)，当且仅当当且仅当R R，Q Q，RR三点共线时取等号三点共线时取等号.由题意知由题意知|RR|RR|5 5，即，即4+=54+=5p=2p=2，故抛物线的方程为故抛物线的方程为x x2 2=4y.=4y.p2（2 2）由已知条件可知直线）由已知条件可知直线l的斜率

30、存在且不为的斜率存在且不为0 0，设直线设直线l:y:y=kx-1,=kx-1,则则 x x2 2-4kx+4=0 -4kx+4=0 依题意，有依题意，有=16k=16k2 2-160-160k-1k1.k1.由由x x2 2=4y=4yy=xy=x2 2y=x,y=x,所以抛物线在所以抛物线在A A处的切线处的切线l1 1的方程为的方程为2ykx1,x4y,141222111111111yxxxx,yx xx.4224即令令y=-1,y=-1,得得注意到注意到x x1 1,x,x2 2是方程是方程的两个实根，故的两个实根，故x x1 1x x2 2=4,=4,即即x x2 2=,=,从而有从

31、而有 因此，因此，|PM|=|PN|.|PM|=|PN|.21M1x4x.2x14x222211NM2114()4x4x4xxx82x2xx，22N2x4x.2x同理，得【拓展提升【拓展提升】1.1.直线与抛物线的位置关系问题直线与抛物线的位置关系问题设直线方程设直线方程Ax+By+CAx+By+C=0=0与抛物线方程与抛物线方程y y2 2=2px(p0)=2px(p0)联立，消去联立，消去x x得到关于得到关于y y的方程的方程mymy2 2+ny+ny+l=0.=0.(1)(1)位置关系与其判别式位置关系与其判别式的关系的关系(2)(2)相交问题的求解通法相交问题的求解通法涉及抛物线的弦

32、长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用系数的关系，采用“设而不求设而不求”“”“整体代入整体代入”等解法等解法.【提醒【提醒】涉及弦的中点、斜率时一般用涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法点差法”求解求解.2.2.与焦点弦有关的常用结论与焦点弦有关的常用结论(如图所示如图所示)(1)(1)(2)|AB|=x(2)|AB|=x1 1+x+x2 2+p=(+p=(为为ABAB的倾斜角的倾斜角).).(3)S(3)SAOBAOB=(=(为为ABAB倾斜角倾斜角).).(4)(4)(5)(5)以以ABAB为直径的圆与准线相切为直径的

33、圆与准线相切.(6)(6)以以AFAF或或BFBF为直径的圆与为直径的圆与y y轴相切轴相切.(7)CFD=90(7)CFD=90.221212py yp,x x.4 22psin 2p2sin112.AFBFp为定值【变式训练【变式训练】(2013(2013宁德模拟宁德模拟)已知抛物线已知抛物线C:yC:y=mx=mx2 2(m0)(m0)，焦，焦点为点为F F，直线，直线2x-y+2=02x-y+2=0交抛物线交抛物线C C于于A A，B B两点，两点，P P是线段是线段ABAB的中的中点，过点，过P P作作x x轴的垂线交抛物线轴的垂线交抛物线C C于点于点Q.Q.(1)(1)求抛物线求

34、抛物线C C的焦点坐标的焦点坐标.(2)(2)若抛物线若抛物线C C上有一点上有一点R(xR(xR R,2),2)到焦点到焦点F F的距离为的距离为3 3，求此时，求此时m m的的值值.(3)(3)是否存在实数是否存在实数m,m,使使ABQABQ是以是以Q Q为直角顶点的直角三角形？为直角顶点的直角三角形？若存在，求出若存在，求出m m的值；若不存在，说明理由的值；若不存在，说明理由.【解析【解析】(1)(1)抛物线抛物线C C：x x2 2=y,=y,它的焦点它的焦点F(0,).F(0,).(2)|RF|=y(2)|RF|=yR R+,2+=3,+,2+=3,得得m=.m=.(3)(3)存在

35、存在.联立方程联立方程消去消去y y得得mxmx2 2-2x-2=0,-2x-2=0,依题意，有依题意，有=(-2)=(-2)2 2-4-4m m(-2)0(-2)0m-.m-.1m14m14m14m142ymx,2xy20,12设设A(xA(x1 1,),B(x,),B(x2 2,),),则则PP是线段是线段ABAB的中点，的中点，P(),P(),即即P(,yP(,yP P),Q),Q(，).).得得 =(x=(x1 1-,-),-,-),21mx22mx12122xx,m(*)2x x,m 221212xxmxmx,221m1m1mQA1m1m21mx若存在实数若存在实数m m，使，使AB

36、QABQ是以是以Q Q为直角顶点的直角三角形，为直角顶点的直角三角形，则则 =0,=0,即即(x(x1 1-)-)(x(x2 2-)+(-)(-)=0,-)+(-)(-)=0,结合结合(*)化简得化简得即即2m2m2 2-3m-2=0-3m-2=0，m=2m=2或或m=-,m=-,而而2(-,+),-2(-,+),-(-,+).(-,+).存在实数存在实数m=2m=2，使，使ABQABQ是以是以Q Q为直角顶点的直角三角形为直角顶点的直角三角形.QB QA1m1m21mx1m22mx1m24640,mm121212122221(x,1QBmxm),m【满分指导【满分指导】解答直线与抛物线的综合

37、题解答直线与抛物线的综合题【典例【典例】(12(12分分)(2012)(2012新课标全国卷新课标全国卷)设抛物线设抛物线C:xC:x2 2=2py(p0)=2py(p0)的焦点为的焦点为F F，准线为，准线为l,A,A为为C C上一点，已知以上一点，已知以F F为圆心，为圆心，FAFA为半径为半径的圆的圆F F交交l于于B B，D D两点两点.(1)(1)若若BFD=90BFD=90,ABDABD的面积为的面积为4 4 ，求，求p p的值及圆的值及圆F F的方程的方程.(2)(2)若若A,B,FA,B,F三点在同一直线三点在同一直线m m上，直线上，直线n n与与m m平行，且平行，且n n

38、与与C C只有只有一个公共点，求坐标原点到一个公共点，求坐标原点到m m，n n距离的比值距离的比值.2【思路点拨【思路点拨】【规范解答【规范解答】(1)(1)由抛物线的对称性可得由抛物线的对称性可得BFDBFD为等腰直角三角形为等腰直角三角形，BD|=2p,BD|=2p,圆圆F F的半径的半径|FA|FA|p.p.由抛线线定义可知由抛线线定义可知A A到到l的距离的距离d=|FA|=p.d=|FA|=p.因为因为ABDABD的面积为的面积为4 ,4 ,所以所以|BD|BD|d d=4 =4 ，即，即 ，解得，解得p=-2(p=-2(舍去舍去)或或p=2.p=2.3 3分分所以所以F(0F(0

39、，1)1)，圆，圆F F的方程为的方程为x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=8.=8.5 5分分22212212p2p4 22(2)(2)因为因为A A，B B，F F三点在同一直线三点在同一直线m m上，所以上，所以ABAB为圆为圆F F的直径，的直径，ADB=90ADB=90.由抛物线定义知由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,|AD|=|FA|=|AB|,所以所以ABD=30ABD=30,m m的斜率为的斜率为 或或 .7 7分分当当m m的斜率为的斜率为 时时，由已知可设，由已知可设n:y=x+bn:y=x+b，代入，代入x x2 2=2py=2py得得x x2 2-px

40、-2pb=0.-px-2pb=0.12333333332 33由于由于n n与与C C只有一个公共点，故只有一个公共点，故=p=p2 2+8pb=0+8pb=0，解得，解得b=-b=-因为因为m m的纵截距的纵截距b b1 1=，,所以坐标原点到所以坐标原点到m,nm,n距离的距离的比值为比值为3.3.当当m m的斜率为的斜率为-时时，由图形对称性可知，坐标原点到，由图形对称性可知，坐标原点到m,nm,n距离的比值为距离的比值为3.3.1212分分43p.6p21b3b33【失分警示【失分警示】(下文下文见规范解答过程见规范解答过程)1.(20131.(2013合肥模拟合肥模拟)已知抛物线已知

41、抛物线C:yC:y=4x=4x2 2，若存在定点，若存在定点A A与定直与定直线线l,使得抛物线使得抛物线C C上任一点上任一点P P，都有点，都有点P P到点到点A A的距离与点的距离与点P P到到l的的距离相等，则定点距离相等，则定点A A到定直线到定直线l的距离为的距离为()()(A)(B)(C)2 (D)4 (A)(B)(C)2 (D)4 【解析【解析】选选A.A.由题意知定点由题意知定点A A即为焦点即为焦点(0(0，)，定直线，定直线l即为即为准线准线y=-y=-，于是定点，于是定点A A到定直线到定直线l的距离为的距离为 .1812116116182.(20122.(2012陕西

42、高考陕西高考)如图是抛物线形拱桥，当水面在如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱时，拱顶离水面顶离水面2 2米，水面宽米，水面宽4 4米，水位下降米，水位下降1 1米后，水面宽米后，水面宽_ _米米.【解析【解析】建立适当的坐标系，建立适当的坐标系，如图所示，设抛物线方程为如图所示，设抛物线方程为x x2 2=-2py(p0)=-2py(p0)，则点，则点(2(2，-2)-2)在此抛物线上，在此抛物线上，代入可求出抛物线的方程是代入可求出抛物线的方程是x x2 2=-2y,=-2y,当当y=-3y=-3时时x x2 2=-2=-2(-3)=6(-3)=6，所以所以x=x=,水面宽是水面宽是2 2

43、 米米.答案：答案：2 26663.(20123.(2012北京高考北京高考)在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，直线中，直线l过抛物线过抛物线y y2 2=4x=4x的焦点的焦点F,F,且与该抛物线相交于且与该抛物线相交于A A，B B两点，其中点两点，其中点A A在在x x轴上方轴上方.若直线若直线l的倾斜角为的倾斜角为6060，则，则OAFOAF的面积为的面积为_ _.【解析【解析】抛物线抛物线y y2 2=4x=4x的焦点的焦点F(1,0),F(1,0),直线直线l:由由 解得解得A(3,2 ),B(,-),A(3,2 ),B(,-),所以所以S SOAFOAF=1 12 =.2

44、=.答案：答案：2y3 x1,y4x,31323312333y3 x1.4.(20124.(2012浙江高考浙江高考)如图，在直如图，在直角坐标系角坐标系xOyxOy中，点中，点P(1,)P(1,)到抛到抛物线物线C C：y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的准线的距的准线的距离为离为 ，点，点M(t,1)M(t,1)是是C C上的定点，上的定点，A A，B B是是C C上的两动点，且线段上的两动点，且线段ABAB被被直线直线OMOM平分平分.(1)(1)求求p,tp,t的值的值.(2)(2)求求ABPABP面积的最大值面积的最大值.1254【解析【解析】(1)(1)点点P(1,)P(

45、1,)到抛物线到抛物线C:yC:y2 2=2px(p0)=2px(p0)的准线的距离的准线的距离为为 ，可得准线方程为，可得准线方程为x=-,x=-,所以抛物线所以抛物线C:yC:y2 2=x,p=x,p=.=.点点M(t,1)M(t,1)是是C C上的点，所以上的点，所以t=1.t=1.(2)(2)设动点设动点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),直线直线ABAB的斜率为的斜率为k,k,线段线段ABAB的中点的中点为为Q(m,mQ(m,m),),由由 得得(y(y1 1-y-y2 2)(y)(y1 1+y+y2 2)=x)=x1 1-x-x2 2,所

46、以所以2km=1.2km=1.12541412211222yx,yx,直线直线ABAB的方程为的方程为y-my-m=(x-m),=(x-m),即即x-2my+2mx-2my+2m2 2-m=0,-m=0,由由消去消去x x，整理得，整理得y y2 2-2my+2m-2my+2m2 2-m=0.-m=0.所以所以=4m-4m=4m-4m2 20,y0,y1 1+y+y2 2=2m,y=2m,y1 1y y2 2=2m=2m2 2-m,-m,从而从而|AB|=|AB|=12m22x2my2mm0,yx,2212211|yy|14m4m4m,k设点设点P P到直线到直线ABAB的距离为的距离为d,d

47、,则则d d设设ABPABP的面积为的面积为S S，则，则S=|AB|S=|AB|d=|1-2m+2md=|1-2m+2m2 2|,|,由由=4m-4m=4m-4m2 200可得可得0m1.0m1.令令u=,0u ,u=,0u ,则则S=u(1-2uS=u(1-2u2 2),),设设S(uS(u)=u(1-2u)=u(1-2u2 2),0u ,),000，得，得m m2 2+n0,y+n0,y1 1+y+y2 2=4m,y=4m,y1 1y y2 2=-4n.=-4n.APAQ,APAQ,(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)+(y-1)+(y1 1-2)(y-2)(y2 2-2)=0

48、.-2)=0.2xmyn,y4x,AP AQ0,221212yyx,x,44(y(y1 1-2)(y-2)(y2 2-2)(y-2)(y1 1+2)(y+2)(y2 2+2)+16=0,+2)+16=0,(y(y1 1-2)(y-2)(y2 2-2)=0-2)=0或或(y(y1 1+2)(y+2)(y2 2+2)+16=0.+2)+16=0.n=1-2mn=1-2m或或n=2m+5,n=2m+5,00恒成立，恒成立，n=2m+5.n=2m+5.直线直线PQPQ的方程为的方程为x-5=m(y+2),x-5=m(y+2),直线直线PQPQ过定点过定点(5,-2).(5,-2).(2)(2)存在存在

49、.假设存在以假设存在以PQPQ为底边的等腰三角形为底边的等腰三角形APQAPQ，由第，由第(1)(1)问可知，问可知，将将n n用用2m+52m+5代换得代换得直线直线PQPQ的方程为的方程为x=my+2m+5.x=my+2m+5.又点又点P,QP,Q的坐标分别为的坐标分别为P(xP(x1 1,y,y1 1),Q(x),Q(x2 2,y,y2 2)，由由 消消x,x,得得y y2 2-4my-8m-20=0.-4my-8m-20=0.yy1 1+y+y2 2=4m,y=4m,y1 1y y2 2=-8m-20.=-8m-20.线段线段PQPQ的中点坐标为的中点坐标为2xmy2m5,y4x,12

50、12xxyy(,)22，PQPQ的中点坐标为的中点坐标为(2m(2m2 2+2m+5,2m).+2m+5,2m).由已知得由已知得即即m m3 3+m+m2 2+3m-1=0,+3m-1=0,设设g(mg(m)=m)=m3 3+m+m2 2+3m-1+3m-1，则则g(mg(m)=3m)=3m2 2+2m+30,+2m+30,221212212122yyyy(,),82yy2y y2m2m5,8即22m2m,2m2m5 1 g(mg(m)在在R R上是增函数上是增函数.又又g(0)=-10,g(0)=-10,g(mg(m)在在(0,1)(0,1)内有一个零点内有一个零点.函数函数g(mg(m)