高考文科数学一轮复习：导数与函数的极值、最值课件.pptx

1、导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值高考文科数学一轮复习高考文科数学一轮复习1.函数的极值与导数2.函数的最值与导数教教材材研研读读考点一 利用导数研究函数的极值考点二 利用导数求函数的最值考点三 利用导数求解函数的极值和最值的综合问题考考点点突突破破教材研读1.函数的极值与导数函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f(x)0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它

2、在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值,极大值和极小值统称为极值.提醒提醒f(x0)=0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件.例如,f(x)=x3,f(0)=0,但x=0不是极值点.2.函数的最值与导数函数的最值与导数(1)函数f(x)在a,b上有最值的条件:一般地,如果在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤:(i)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值

3、;(ii)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数的极大值不一定比极小值大.()(2)对可导函数f(x),f(x0)=0是x0点为极值点的充要条件.()(3)函数的极大值一定是函数的最大值.()(4)开区间上的单调连续函数无最值.()答案答案(1)(2)(3)(4)2.函数f(x)的定义域为R,导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)()A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点C答案答案

4、C设f(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1、x2、x3、x4.当x0,f(x)为增函数,当x1xx2时,f(x)-1时,y0;当x-1时,y0,所以f(x)在(0,1上是增函数,所以f(x)max=f(1)=e.1x利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值命题方向一根据函数的图象判断极值命题方向一根据函数的图象判断极值考点突破典例典例1设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()DA.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大

5、值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)解析解析由题图可知,当x3,此时f(x)0;当-2x1时,01-x3,此时f(x)0;当1x2时,-11-x0,此时f(x)2时,1-x0,函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.答案答案D命题方向二求函数的极值命题方向二求函数的极值典例典例2已知函数f(x)=x-1+(aR,e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴,求a的值;(2)求函数f(x)的极值.exa解析解析(1)由f(x)=x-1+,得f(x)=1-.又曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线

6、平行于x轴,所以f(1)=0,即1-=0,解得a=e.(2)f(x)=1-,当a0时,f(x)0,f(x)为(-,+)上的增函数,所以函数f(x)无极值.当a0时,令f(x)=0,得ex=a,即x=lna,当x(-,lna)时,f(x)0,所以f(x)在(-,lna)上单调递减,在(lna,+)上单调递增,故f(x)在x=lna处取得极小值且极小值为f(lna)=lna,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,f(x)在lna处得极小值lna,无极大值.命题方向三已知函数的极值求参数命题方向三已知函数的极值求参数典例典例3(1)已知函数g(x)=lnx-mx+有两个极值点,则m

7、的取值范围为.(2)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,aR.(i)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间;(ii)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.mx答案答案(1)10,2解析解析(1)g(x)=-m-=-,令h(x)=mx2-x+m,要使g(x)存在两个极值点x1,x2,则方程mx2-x+m=0有两个不相等的正数根x1,x2.故只需满足解得0m0,函数g(x)单调递增;当a0时,若x,则g(x)0,函数g(x)单调递增,若x,则g(x)0时,g(x)的单调增区间为,单调减区间为.(ii)由(i)知,当a0时,f(x)单调递增,所以当x(0,1)时,f(x

8、)0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当0a1,由(i)知f(x)在内单调递增,可得当x(0,1)时,f(x)0.10,2a1,2a1212a10,2a11,2a所以f(x)在(0,1)内单调递减,在内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当a=时,=1,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减,所以当x(0,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,不合题意.当a时,00,f(x)单调递增,11,2a1212a1212a1,12a当x(1,+)时,f(x).12规律总结规律总结函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤

9、:确定函数的定义域;求导数f(x);解方程f(x)=0,求出函数定义域内的所有根;列表检验f(x)在f(x)=0的根x0左右两侧值的符号.(2)根据函数极值情况求参数的两个要领:列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.验证:求解后验证根的合理性.1-1若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1答案答案A由题意可得f(x)=ex-1x2+(a+2)x+a-1.x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,f(-2)=0,a=-1,f(x)=(x2-x-1)ex-1,f

10、(x)=ex-1(x2+x-2)=ex-1(x-1)(x+2),x(-,-2),(1,+)时,f(x)0,f(x)单调递增;x(-2,1)时,f(x)0,即a2-3a-180,a6或a-3.B 利用导数求函数的最值利用导数求函数的最值典例典例4已知函数f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.x(-,k-1)k-1(k-1,+)f(x)-0+f(x)-ek-1解析解析(1)f(x)=(x-k+1)ex.令f(x)=0,得x=k-1.f(x)与f(x)随x的变化而变化的情况如下表:所以,f(x)的单调递减区间是(-,k-1);单调递增区间是(k

11、-1,+).(2)当k-10,即k1时,函数f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0),f(0)=-k;当0k-11,即1k2时,由(1)知f(x)在0,k-1)上单调递减,在(k-1,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k-1)=-ek-1;当k-11,即k2时,函数f(x)在0,1上单调递减,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)=(1-k)e.规律总结规律总结求函数f(x)在闭区间a,b内的最大值和最小值的思路(1)若所给的闭区间a,b不含有参数,则只需对函数f(x)求导,并求f(x)=0在区间a,b内的根,再计算使导数等于零的根的函

12、数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(2)若所给的闭区间a,b含有参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.2-1设nN*,a,bR,函数f(x)=+b,已知曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.(1)求a,b;(2)求f(x)的最大值.lnnaxx解析解析(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=.所以f(1)=a,又切线斜率为1,故a=1.由曲线y=f(x)过点(1,0),有f(1)=b=0.故a=1,b=0.(2)由(1)知f(x)=,则f(x)=.令f(x)=0

13、,即1-nlnx=0,解得x=.当0 x0,则f(x)在(0,)上是增函数;当x时,有f(x)0时,由f(x)0得0 x0得x,f(x)在上递减,在上递增,即f(x)在x=处有极小值.当a0时,f(x)在(0,+)上没有极值点,1x1axx1a1a10,a1,a1a当a0时,f(x)在(0,+)上有一个极值点.(2)函数f(x)在x=1处取得极值,a=1,f(x)bx-21+-b,令g(x)=1+-,则g(x)=,令g(x)=0,得x=e2,则g(x)在(0,e2)上递减,在(e2,+)上递增,g(x)min=g(e2)=1-,即b1-,即实数b的取值范围是.1xlnxx1xlnxx2ln2x

14、x21e21e21,1e易错警示易错警示(1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小.(2)求函数最值时,不可想当然地认为极值就是最值,要通过比较才能下结论.(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.3-1已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.(1)求a,b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在-3,3上的最小值.解析解析(1)f(x)=ax3+bx+c,故f(x)=3ax2+b,由于f(x)在点x=2处取得极值c-16,故

15、有即化简得解得(2)0,(2)16,ffc120,8216,ababcc120,48,abab 1,12.ab(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,f(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).令f(x)=0,得x1=-2,x2=2.当x(-,-2)时,f(x)0,故f(x)在(-,-2)上为增函数;当x(-2,2)时,f(x)0,故f(x)在(2,+)上为增函数.由此可知,f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x=2处取得极小值f(2)=c-16.由题设条件知16+c=28,得c=12.此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4,因此f(x)在-3,3上的最小值为f(2)=-4.