(新课标)2020版高考数学总复习第九章第五节椭圆课件文新人教A版.pptx

1、(新课标)2020版高考数学总复习第九章第五节椭圆课件文新人教A版1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程和几何性质3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系教教材材研研读读考点一 椭圆定义的应用考点二 椭圆的标准方程考点三 椭圆的几何性质考考点点突突破破考点四 直线与椭圆的位置关系教材研读1.椭圆的定义椭圆的定义平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数.(1)若ac,则集合P表示椭圆;(2)若a=c,则集合P表示线段

2、;(3)若ac,则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质椭圆的标准方程和几何性质3.点点P(x0,y0)和椭圆的位置关系和椭圆的位置关系(1)P(x0,y0)在椭圆内+1.202xa202yb202xa202yb202xa202yb知识拓展知识拓展与椭圆的焦点三角形相关的结论(含焦半径公式)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.以椭圆+=1(ab0)上一点P(x0,y0)(y00)和焦点F1(-c,0),F2(c,0)为顶点的PF1F2中,若F1PF2=,则(1)|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0(焦半径公式,

3、e为椭圆的离心率),|PF1|+|PF2|=2a;22xa22yb(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos;(3)=|PF1|PF2|sin=c|y0|=b2tan,当|y0|=b,即P为短轴端点时,取最大值,最大值为bc;(4)焦点三角形的周长为2(a+c).1 2PF FS1221.判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成的PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).()(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()(4)方程m

4、x2+ny2=1(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆.()(5)+=1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆.()(6)+=1(ab0)与+=1(ab0)的焦距相等.()22xa22yb22ya22xb22ya22xb答案答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.(教材习题改编)若F1(-3,0),F2(3,0),点P到F1,F2距离之和为10,则P点的轨迹方程是()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1或+=1225x216y2100 x29y225y216x225x216y225y216x答案答案A设点P的坐标为(x,y),因为|PF1|+|PF2|=10|F1F2|=6,所以点P的轨迹是以F

5、1,F2为焦点的椭圆,其中a=5,c=3,b=4,故点P的轨迹方程为+=1.故选A.22ac225x216yA3.(2015广东,8,5分)已知椭圆+=1(m0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2B.3C.4D.9225x22ym答案答案B依题意有25-m2=16,m0,m=3.故选B.B4.(教材习题改编)一个焦点为F1(0,1),并且经过点P的椭圆C的标准方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=13,1224x23y23y22x23x22y24y23xD答案答案D由题意可设椭圆C的标准方程为+=1(ab0),且另一个焦点为F2(0,-1),所以2a=|PF1|+|PF2|

6、=+=4.所以a=2,又c=1,所以b2=a2-c2=3.故所求的椭圆C的标准方程为+=1.故选D.22ya22xb223(1 1)2223(1 1)224y23x5.(教材习题改编)椭圆C的长轴长是短轴长的3倍,则C的离心率为()A.B.C.D.6323332 23答案答案D不妨设椭圆C的方程为+=1(ab0),则2a=2b3,即a=3b.a2=9b2=9(a2-c2).即=,e=.故选D.22xa22yb22ca89ca2 236.若方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是.25xk23yk 答案答案(3,4)(4,5)解析解析由已知得解得3k5且k4.50,30,53,kkkk椭圆定义的应用

7、椭圆定义的应用命题方向一利用定义求轨迹方程命题方向一利用定义求轨迹方程考点突破典例典例1(1)如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆A(2)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1264x248y264y248x248x264y264x248y答案答案(1)A(2)DD解析解析(1)连接QA.由已知得|QA|

8、=|QP|.所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.又因为点A在圆内,所以|OA|8=|C1C2|,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为+=1.264x248y命题方向二利用定义解决命题方向二利用定义解决“焦点三角形焦点三角形”问题问题典例典例2已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且.若PF1F2的面积为9,则b=.22xa22yb1PF2PF答案答案3解析解析设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则2r1r2=(r1+r2)2-(+)12222122,4,rrarrc21r22r=4a2-4c

9、2=4b2,=r1r2=b2=9,b=3.1 2PF FS12探究探究在本例中增加条件“PF1F2的周长为18”,其他条件不变,求该椭圆的方程.解析解析由原题得b2=a2-c2=9,由PF1F2的周长为18得2a+2c=18,由,解得a=5,c=4,故椭圆方程为+=1.225x29y命题方向三利用定义求最值命题方向三利用定义求最值典例典例3设P是椭圆+=1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为()A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12225x29y答案答案C解析解析如图所示,因为两个圆心恰好是椭圆的

10、焦点,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10,易知|PM|+|PN|=(|PM|+|MF1|)+(|PN|+|NF2|)-2,则其最小值为|PF1|+|PF2|-2=8,最大值为|PF1|+|PF2|+2=12.规律总结规律总结椭圆定义的应用椭圆定义的应用主要有两个方面:一是利用定义求椭圆的标准方程;二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和椭圆的离心率等.1-1已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案答案B点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN

11、|,又AM是圆的半径,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6|MN|,由椭圆的定义知,P的轨迹是椭圆.B1-2已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为.22xa22yb3答案答案+=123x22y解析解析由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又=,c=1,b2=2,C的方程为+=1.33ca3c3323x22y1-3已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为,最小值为.答案答案6+;6-22解析解析椭圆方程化为+=1

12、,设F1是椭圆的右焦点,则F1(2,0),|AF1|=,|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6,又-|AF1|PA|-|PF1|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立),|PA|+|PF|6+,|PA|+|PF|6-.29x25y222椭圆的标准方程椭圆的标准方程典例典例4(2019湖北黄冈模拟)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为()A.+=1B.+=1236x216y240 x215yC.+=1D.+=1249x224y245x220y答案答案C解析解析由题意可得半焦距c=5,设右焦点为F,由

13、|OP|=|OF|=|OF|知,PFF=FPO,OFP=OPF,PFF+OFP=FPO+OPF,FPO+OPF=90,即PFPF,在RtPFF中,由勾股定理,得|PF|=8,由椭圆的定义,得|PF|+|PF|=2a=6+8=14,从而a=7,a2=49,于是b2=a2-c2=49-52=24,椭圆C的方程为+=1,故选C.22|FFPF22106249x224y2-1已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(-,-),则该椭圆的方程为.32答案答案+=129x23y解析解析设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0且mn).椭圆经过点P1、P2,点P1、P2的坐标

14、符合椭圆方程,则解得所求椭圆的方程为+=1.61,321,mnmn1,91.3mn29x23y椭圆的几何性质椭圆的几何性质命题方向一求椭圆的长轴长、短轴长和焦距命题方向一求椭圆的长轴长、短轴长和焦距典例典例5已知椭圆+=1的长轴在x轴上,焦距为4,则m=.22xm210ym答案答案8解析解析因为椭圆+=1的长轴在x轴上,所以解得6mb0)的右焦点作x轴的垂线,交C于A,B两点,直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点,则C的离心率的取值范围是()323312322xa22ybAA.B.C.D.50,55,1520,22,12答案答案(1)D(2)A解析解析(1)不妨设椭圆方

15、程为+=1(ab0).在RtF1PF2中,因为PF2F1=60,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|=c.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即c+c=2a,所以椭圆的离心率e=-1.故选D.22xa22yb33ca2313(2)由题设知,直线l:+=1,即bx-cy+bc=0,以AB为直径的圆的圆心为(c,0),根据题意,将x=c代入椭圆C的方程,得y=,即圆的半径r=.又圆与直线l有公共点,所以,化简得2cb,平方整理得a25c2,所以xcyb2ba222bcbc2bae=.又0e1,所以0e.故选A.ca5555命题方向三椭圆中的范围问题命题方向三椭圆中的范围问题典

16、例典例7(1)(2017课标全国,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取值范围是()A.(0,19,+)B.(0,9,+)C.(0,14,+)D.(0,4,+)(2)如图,焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则的最大值为.23x2ym3324x22yb12PFPA答案答案(1)A(2)4解析解析(1)当0m3时,椭圆C的长轴在x轴上,如图(1),A(-,0),B(,0),M(0,).图(1)当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,若AMB120,则|MO|1,即03时,椭圆C的长轴

17、在y轴上,如图(2),A(0,),B(0,-),M(,0).图(2)当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,若AMB120,则|OA|mm3,即3,即m9.综上,m(0,19,+),故选A.(2)设P点坐标为(x0,y0),由题意知a=2,因为e=,所以c=1,b2=a2-c2=3.故该椭圆的方程为+=1,mca1224x23y所以-2x02,-y0.因为F(-1,0),A(2,0),=(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0),所以=-x0-2+=-x0+1=(x0-2)2.所以当x0=-2时,取得最大值4.33PFPAPFPA20 x20y1420 x14PFPA方法技巧方法技巧1.

18、求椭圆离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等式或不等式,利用a2=b2+c2消去b,即可求得离心率或离心率的范围.2.注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值时,经常用到椭圆标准方程中x,y的范围,离心率的范围等不等关系.3.利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.3-1(2018课标全国,4,5分)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.B.C.D.22xa24y1312222 2

19、3答案答案C由题意可知c=2,b2=4,a2=b2+c2=4+22=8,则a=2,e=,故选C.2ca22 222C3-2(一题多解)(2016课标全国,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.B.C.D.22xa22yb13122334A答案答案A解法一:设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k=,从而直线AM的方程为y=(x+a),令x=0,得点E的纵坐标yE=.同理,OE的中点N的纵坐标yN=.

20、因为2yN=yE,所以=,即2a-2c=a+c,0yac0ayac0ayac2ac1ac所以e=.故选A.解法二:如图,设OE的中点为N,由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a,PFy轴,=,=,又=,ca13|MFOE|AFAOaca|MFON|BFOBaca|MFOE|2|MFON即=,a=3c,故e=.aca2acaca133-3若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为.24x23yOPFP答案答案6解析解析由椭圆+=1,可得F(-1,0),点O(0,0),设P(x,y)(-2x2),则=x2+x+y2=x

21、2+x+3=x2+x+3=(x+2)2+2,-2x2,当且仅当x=2时,取得最大值6.24x23yOPFP214x14OPFP直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系典例典例8(2018湖南长沙质检)已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不重合的公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点.24x方程中,=(8m)2-49(2m2-4)=-8m2+144.(1)当0,即-3m3时,方程有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数根.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.22解析解析将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将代入,整

22、理得9x2+8mx+2m2-4=0.222,1,42yxmxy(2)当=0,即m=3时,方程有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)当0,即m3时,方程没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.222规律总结规律总结1.直线与椭圆的位置关系的判断步骤(1)联立直线方程与椭圆方程;(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程;(3)当0时,直线与椭圆相交;当=0时,直线与椭圆相切;当b0)的离心率为,右焦点为F(1,0).(1)求椭圆E的标准方程;(2)设点O为坐标原点,过点F作

23、直线l与椭圆E交于M,N两点,若OMON,求直线l的方程.22xa22yb22解析解析(1)依题意可得解得a=,b=1,所以椭圆E的标准方程为+y2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),当MN垂直于x轴时,直线l的方程为x=1,不符合题意;当MN不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=k(x-1).2212,21,aab222x联立得方程组221,2(1),xyyk x消去y整理得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,所以x1+x2=,x1x2=.所以y1y2=k2x1x2-(x1+x2)+1=.因为OMON,所以=0,所以x1x2+y1y2=0,所以k=,即直线l的方程为y=(x-1).22412kk222(1)12kk2212kkOMON22212kk22