2021新高考数学二轮总复习课件：第二部分-第3讲-分类讨论思想、转化与化归思想-.ppt

1、2021新高考数学二轮总复习课件：第二部分-第3讲-分类讨论思想、转化与化归思想-内容索引一、分类讨论思想一、分类讨论思想二、转化化归思想二、转化化归思想一、分类讨论思想一、分类讨论思想思想方法诠释思想方法诠释1.分类讨论的思想含义分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略.2.分类讨论的原则(1)不重不漏;(2)标准要统一,层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论.3.分类讨论的常见类型(1)由数学概念

2、而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论;(5)由参数的变化而引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的讨论.思想分类应用思想分类应用应用一应用一由数学的概念、定理、公式引起的分类讨论由数学的概念、定理、公式引起的分类讨论答案 A(2)设等比数列an的公比为q,前n项和Sn0(n=1,2,3,),则q的取值范围是.答案 (-1,0)(0,+)解析 由an是等比数列,Sn0,可得a1=S10,q0,当q=1时,Sn=na10,符合题意;由得-1q0,或0q1.综上,可得q的取值范围是(-1,0)(0

3、,+).思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除以一个数时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数,这个数是零、是正数还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.【对点训练1】(1)“a0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+)上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件

4、C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C 解析 (1)当a=0时,f(x)=|x|在区间(0,+)上单调递增;当a0时,函数f(x)=|(ax-1)x|的大致图象如图.函数f(x)在区间(0,+)上有增有减,所以a0是函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+)上单调递增的充要条件,故选C.(2)(2020广东茂名一模,理12)已知函数f(x)=(aR),若函数f(x)有四个零点,则a的取值范围是()A.(-,0)B.(e,+)C.(4,+)D.(4,e2)答案 C 故函数f(x)在(1,+)上单调递增,则f(x)f(1)=1,即x1时,函数f(x)与x轴无交点;则当a0时,函数f(

5、x)有一个零点.与题意不符,舍去.令f(x)=0,得x=a,当00,在(1,+)内单调递增,与已知矛盾,不符合题意,舍去;当a1时,x(a,+)时,f(x)单调递增,x(1,a)时,f(x)单调递减,f(a)=a-aln a,函数f(x)在(1,+)最多有两个零点.应用二应用二由参数引起的分类讨论由参数引起的分类讨论【例2】设函数f(x)=ln(x+a)+x2.若f(x)存在极值,求a的取值范围,并证明所有极值之和大于思维升华含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定

6、等.【对点训练2】(2020山东潍坊临朐模拟一,22)已知函数f(x)=mln x-x+(mR).(1)讨论f(x)的单调性;(2)略应用三应用三由图形位置或形状引起的分类讨论由图形位置或形状引起的分类讨论若F1PF2=90,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20,所以|PF1|=4,|PF2|=2,思维升华圆锥曲线形状不确定时,常按椭圆、双曲线来分类讨论,求圆锥曲线的方程时,常按焦点的位置不同来分类讨论.【对点训练3】设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|=432,则曲线C的离心率等于.解

7、析 不妨设|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t,其中t0.若该曲线为椭圆,则有|PF1|+|PF2|=6t=2a,应用方法归纳应用方法归纳1.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩小范围等.2.分类讨论遵循的原则:不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.二、转化化归思想二、转化化归思想转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将

8、未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.思想方法诠释思想方法诠释1.转化与化归思想的含义转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种思想方法.2.转化与化归的原则(1)熟悉化原则;(2)简单化原则;(3)直观化原则;(4)正难则反原则;(5)等价性原则.3.常见的转化与化归的方法(1)直接转化法;(2)换元法;(3)数形结合法;(4)构造法;(5)坐标法;(6)类比法;(7)特殊化方法;(8)等价问题法;(9)补集法;(10)参数法.思想分类应用思想分类应用应用一应用一特殊与一般化特殊与一般化答案 A 解析 因为实数a,b,c,d

9、满足 =1,所以b=a-2ea,d=3-c,所以点(a,b)在曲线y=x-2ex上,点(c,d)在曲线y=3-x上,(a-c)2+(b-d)2的几何意义就是曲线y=x-2ex上的点到曲线y=3-x上的点的距离的平方,最小值即为曲线y=x-2ex上与直线y=3-x平行的切线,因为y=1-2ex,求曲线y=x-2ex上与直线y=3-x平行的切线,即y=1-2ex=-1,解得x=0,所以切点为(0,-2),思维升华1.当问题难以入手时,应先对特殊情形进行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系,再推广到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略.2.数学题目有的具有

10、一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题,有时需要把特殊问题化归为一般问题.答案 B 则f(x)在(-,0)内单调递增,在(0,+)上单调递减,若0 x1,则0 x2x1f(x)f(ln 3),应用二应用二命题等价转化命题等价转化【例2】(2020上海考前压轴卷,11)已知a,b,2c是平面内三个单位向量,若ab,则|a+4c|+2|3a+2b-c|的最小值是.解析 由题意,令2c=e,设a=(1,0),b=(0,1),e对应的点C(x,y)在单位圆上,所以问题转化为求|a+2e|+|6a+4b-e|的最小值.因为|a+2e|=|2a+e|,思维升华本例题充分体现了命题

11、等价转化的重要性,首先将条件“三个向量都是单位向量及ab”,等价转化为“2c=e及a=(1,0),b=(0,1)”,这样就达到了变陌生为熟悉的目的;其次将“|a+2e|”等价转化为“|2a+e|”,为求最值创造了有利条件同时也简化了运算;然后将“两向量模的和的最值”等价转化为“两根式和的最值”,最后根据两根式和的几何意义,将问题等价转化为两点的距离.【对点训练2】(1)已知在(-,1上单调递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x20,t+1,总有|f(x1)-f(x2)|2,则实数t的取值范围为()答案 B解析 函数f(x)=x2-2tx+1在区间(-,1上单调递减,所以其图象

12、的对称轴x=t1.则在区间0,t+1上,0距对称轴x=t最远,故要使得对任意的x1,x20,t+1,都有|f(x1)-f(x2)|2,答案 C应用三应用三常量与变量的转化常量与变量的转化【例3】已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,其中f(x)是f(x)的导函数.对满足-1a1的一切a的值,都有g(x)bcC.bcaD.bac答案 D 解析 令f(x)=x2-2xlg b+lg blg c,则lg a为f(x)的零点,且该函数图象的对称轴为x=lg b,故=4lg2b-4lg blg c0.因为b1,c1,故lg b0,lg c0,所以lg blg c,即bc.又f

13、(lg b)=lg blg c-lg2b=lg b(lg c-lg b),f(lg c)=lg2c-lg blg c=lgc(lg c-lg b),若b=c,则f(lg b)=f(lg c)=0,故lg a=lg b=lg c,即a=b=c.若bc,则f(lg b)0,f(lg c)0,利用二次函数图象,可得lg alg clg b或lg clg blg a,即acb或cb1,都有f(x+t)3ex,求m的最大值.解 因为当t-1,+),且x1,m时,x+t0,所以f(x+t)3ex等价于ex+tex,则t1+ln x-x.所以原命题等价转化为:存在实数t-1,+),使得不等式t1+ln x-

14、x对任意x1,m恒成立.令h(x)=1+ln x-x(1xm).因为h(x)=-10,所以函数h(x)在1,+)内为减函数.又x1,m,所以h(x)min=h(m)=1+ln m-m.所以要使得对任意x1,m,t值恒存在,只需1+ln m-m-1.应用五应用五正难则反的转化正难则反的转化解析 g(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数,则有两种情况:g(x)0在(t,3)上恒成立;g(x)0在(t,3)上恒成立.思维升华否定性命题,常要利用正反的相互转化,先从正面求解,再取正面答案的补集即可.一般地,题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从反面考虑

15、较简单.因此,间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.【对点训练5】安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目,每人只参加一个项目,每个项目都有人参加.若甲、乙2人不能参加同一个项目,则不同的安排方案的种数为.(用数字作答)答案 30解析 根据题意,用间接法分析:先将甲、乙、丙、丁4人分成3组,再将分成的三组分别参加3个项目,有 =66=36种不同的安排方案,其中甲、乙参加同一个项目,则丙、丁参加另外的2个项目,有 =6种情况,则甲、乙2人不能参加同一个项目的安排方案有36-6=30种.应用方法归纳应用方法归纳1.在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换.2.转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用),角度的转化,函数的转化,通过正弦、余弦定理实现边角关系的相互转化.(2)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.(3)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.(4)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题,转化为由其导函数f(x)构成的方程、不等式问题求解.本本 课课 结结 束束