2021年河南省中考数学总复习：类比、拓展探究题.pptx

1、2021年河南省中考数学总复习：类比、拓展探究题例例 1(2019河南河南22题题10分分)在在ABC中，中，CACB，ACB.点点P是平面是平面内不与点内不与点A，C重合的任意一点，连接重合的任意一点，连接AP，将线段，将线段AP绕点绕点P逆时针旋转逆时针旋转得到线段得到线段DP，连接，连接AD，BD，CP.(1)观察猜想观察猜想如图如图，当，当60时，时，的值是的值是，直线直线BD与直线与直线CP相交所成的较小角的度数是相交所成的较小角的度数是.类型一图形旋转、平移和折叠引起的探究类型一图形旋转、平移和折叠引起的探究(2013、20152019.22)典例精讲典例精讲BDCP(1)【思维教

2、练】要求【思维教练】要求 的值，可将转化为求的值，可将转化为求BD和和CP所在的所在的CAP和和BAD的相似比，由的相似比，由60，结合，结合CACB，得到，得到ABC为等边三角形，由旋转性质为等边三角形，由旋转性质可得，可得，PAPD，APD60，得到，得到APD为等边三角形，结合为等边三角形，结合PAB为公共为公共角，继而证明角，继而证明CAP BAD，最后利用全等三角形的性质可得，最后利用全等三角形的性质可得BDCP，ACPABD，继而求得，继而求得 的值，最后作直线的值，最后作直线BD与直线与直线CP的夹角，利用三的夹角，利用三角形内角和为角形内角和为180，求得这两条直线的夹角大小，

3、求得这两条直线的夹角大小.BDCPBDCP【自主作答】【自主作答】解：解：(1)1，60；【解法提示】【解法提示】ACB60，APD60，ACBC，APPD，ACB与与APD都是等边三角形，都是等边三角形，ACAB，APAD，而，而CAPCABPABPADPABBAD，APCADB(SAS)BDCP，1；APCADB，ACPABD，如解图，如解图，设设CP与与BD的延长线交于点的延长线交于点I，CIB180PCBCBD180(60ACP)(60ABD)60ACPABD60，直线直线BD与直线与直线CP所在直线所在直线的夹角等于的夹角等于60.(2)类比探究类比探究如图，当如图，当90时，请写出

4、时，请写出 的值及直线的值及直线BD与直线与直线CP相交所成的较小角的相交所成的较小角的度数，并就图的情形说明理由度数，并就图的情形说明理由.BDCP(2)【思维教练】要求线段【思维教练】要求线段BD与与CP的比值，可以转化为求的比值，可以转化为求BD和和CP所在的所在的CAP和和BAD的相似比，根据题意可知的相似比，根据题意可知ACB90，CACB，ABC为为等腰直角三角形，可得等腰直角三角形，可得 的值，同理，由旋转可知的值，同理，由旋转可知APD90，APPD，可得可得 的值的值.已知两条对应边的比值相等，可以推出已知两条对应边的比值相等，可以推出PAD和和CAB相等，相等，继而推出继而

5、推出PAC和和DAB相等，从而证明相等，从而证明DABPAC，即可解决问题，即可解决问题.ABACADAP【自主作答】【自主作答】(2)，直线，直线BD与直线与直线CP相交所成的较小角的度数为相交所成的较小角的度数为45.2CABDACPADDAC.即即DABPAC.DABPAC.，DBAPCA.设设BD交交CP于点于点G，BD交交CA于点于点H.如解图，如解图，BHACHG，CGHBAH45；BDCPABAC2ACB90，CACB，CAB45，.同理可得：同理可得：PAD45，CABPAD.ABAC2ADAP2ABACADAP理由如下：理由如下：备用图备用图(3)解决问题解决问题当当90时，

6、若点时，若点E，F分别是分别是CA，CB的中点，点的中点，点P在直线在直线EF上，请直接写出上，请直接写出点点C，P，D在同一直线上时在同一直线上时 的值的值.ADCP(3)【思维教练】要求当点【思维教练】要求当点C，P，D在同一直线上时在同一直线上时 的值，需分两种情况进行的值，需分两种情况进行讨论：第一种当点讨论：第一种当点P在线段在线段EF上时，结合第上时，结合第(2)问的结论，和中位线的性质得到问的结论，和中位线的性质得到CP与与AD的数量关系；第二种当点的数量关系；第二种当点D在线段在线段PC上时，利用第上时，利用第(2)问的结论和中位线的性问的结论和中位线的性质，得到质，得到CP和

7、和AD的数量关系，即可求解的数量关系，即可求解.ADCP【自主作答】【自主作答】(3)2 或或2 .22【解法提示】分两种情况：如解图【解法提示】分两种情况：如解图，由，由EFAB得，得，CEPCAB45，由，由题可知，题可知，CPADPA90，在，在RtAPC中，点中，点E为为AC中点中点PE ACAECE.ECPEPC67.5，EAPEPA22.5.DAC67.5ECP.DADC，设，设DAa，则，则DCDAa，PD a.PCa a.2 ；例例1题解图题解图如解图如解图，可设，可设APDPb，则，则AD b，由，由EFAB，PEACAB45，在在RtCPA中，中，E为为AC的中点，的中点，

8、PE ACAEEC，可证，可证ECDEAD22.5，易得，易得CDAD b，CP bb，2 .例例1题解图题解图类型二图形形状变化引起的探究类型二图形形状变化引起的探究(2014、2012.22)典例精讲典例精讲例例 2(2014河南河南22题题10分分)(1)问题发现问题发现如图如图，ACB和和DCE均为等边三角形，点均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接在同一直线上，连接BE.填空：填空：AEB的度数为的度数为；线段线段AD、BE之间的数量关系为之间的数量关系为；(1)【思维教练】由【思维教练】由ACB和和DCE均为等边三角形可证均为等边三角形可证ACD BCE，即可知，即可知AD

9、与与BE之间的数量关系，再由等边三角形和全等三角形的性质可求得之间的数量关系，再由等边三角形和全等三角形的性质可求得AEB；【自主作答】【自主作答】(1)60；ADBE；【解法提示】【解法提示】如解图如解图，ABC和和DCE均为等边三角形，均为等边三角形，ACBC，CDCE，ACBECD60，ACDDCBDCBBCE60，ACDBCE，ACDBCE(SAS)，ADCBEC，ADBE，CDECED60，ADCBEC120，AEBBECCED60.ACDBCE，ADBE.例例2题解图题解图(2)拓展探究拓展探究如图如图，ACB和和DCE均为等腰直角三角形，均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点，

10、点A、D、E在同一直线上在同一直线上，CM为为DCE中中DE边上的高，连接边上的高，连接BE.请判断请判断AEB的度数及线的度数及线段段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；之间的数量关系，并说明理由；(2)【思维教练】由【思维教练】由ACB和和DCE均为等腰直角三角形可证均为等腰直角三角形可证ACD BCE，即可知即可知ADBE，ADCBEC，再由，再由DCE是等腰直角三角形，可知是等腰直角三角形，可知DMCM，CDECED45，从而证明结论；，从而证明结论；【自主作答】【自主作答】(2)AEB90，AEBE2CM；理由：理由：ACB和和DCE均为等腰直角三角形，均为等腰直角三角形，A

11、CBDCE90，ACBC，CDCE，ACBDCBDCEDCB，即，即ACDBCE，ACDBCE(SAS)，ADBE，BECADC18045135，AEBBECCED1354590.在等腰直角三角形在等腰直角三角形DCE中，中，CM为斜边为斜边DE上的高，上的高，CMDMME，DE2CM，AEADDEBE2CM；(3)解决问题解决问题如图如图，在正方形，在正方形ABCD中，中，CD ，若点，若点P满足满足PD1，且，且BPD90，请直接写出点请直接写出点A到到BP的距离的距离.2(3)【思维教练】根据题意可作以点【思维教练】根据题意可作以点D为圆心，为圆心，PD长为半径的圆，再由过点长为半径的圆

12、，再由过点B作圆作圆的切线可知分两种情况：第一种情况如解图的切线可知分两种情况：第一种情况如解图，过点，过点A作作AMBP于点于点M，过点，过点A作作AP的垂线，交的垂线，交BP于点于点P，易证，易证APD APB，即可得，即可得PBPD，由勾股定，由勾股定理可求理可求PB的长，从而求得的长，从而求得PP的长，再由的长，再由APP是等腰直角三角形可得是等腰直角三角形可得AM PP即可求解；第二种情况如解图即可求解；第二种情况如解图，与第一种情况同理可得，与第一种情况同理可得AM PP，运用，运用勾股定理和全等三角形求出勾股定理和全等三角形求出PB与与PB的长即可求解的长即可求解.【自主作答】【

13、自主作答】3131(3).22或或【解法提示】【解法提示】PD1，BPD90，BP是以点是以点D为圆心，以为圆心，以1为半径的为半径的D的切线，点的切线，点P为切点第一种情况：如解图为切点第一种情况：如解图，过点，过点A作作AMBP于点于点M，过，过点点A作作AP的垂线，交的垂线，交BP于点于点P，可证得，可证得APDAPB，PDPB1，APAP，CD ，BD2，PD1，PB ，AM PP (PBPB)；第二种情况：如解图；第二种情况：如解图，同理可得，同理可得AM PP (PBBP).综上所述，点综上所述，点A到到BP的距离为的距离为 例例2题解图题解图例例2题解图题解图类型三动点引起的探究

14、类型三动点引起的探究典例精讲典例精讲 例例 3在在ABC中，中，BAC90，ABAC，点，点D为直线为直线BC上一动点上一动点(点点D不不与点与点B，C重合重合)，以，以AD为腰作等腰直角为腰作等腰直角DAF，使，使DAF90，连接，连接CF.(1)观察猜想观察猜想如图如图，当点，当点D在线段在线段BC上时，上时，BC与与CF的位置关系为的位置关系为；CF，DC，BC之间的数量关系为之间的数量关系为；(1)【思维教练】【思维教练】要求要求BC与与CF的位置关系，可转化为求的位置关系，可转化为求BCF的度数，根据题的度数，根据题意可知意可知ABC和和ADF是等腰直角三角形，从而推出是等腰直角三角

15、形，从而推出DAB FAC，继而得，继而得到到ACFABD，最后根据余角的定义即可求解；，最后根据余角的定义即可求解；根据根据DAB FAC，可得到可得到CFBD，即可求解；，即可求解；【自主作答】【自主作答】(1)BCCF；BCCFDC；【解法提示】【解法提示】ABC和和ADF都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，ABAC，ADAF，BACDAF90，BADCAF，在在DAB与与FAC中，中，DABFAC(SAS)，ABDACF，又又ABCACB90，ACBACF90，即，即BCCF；由由知知DABFAC，CFBD，BCBDCD，BCCFDC.(2)数学思考数学思考如图如图，当点，当点D在

16、线段在线段CB的延长线上时，的延长线上时，(1)中的中的、结论是否仍然成立？若结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；(2)【思维教练】【思维教练】要求要求BC与与CF的位置关系，可转化为求的位置关系，可转化为求BCF的度数，根据题的度数，根据题意可知意可知ABC和和ADF是等腰直角三角形，从而推出是等腰直角三角形，从而推出DAB FAC，继而得，继而得到到ACFABD，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解；，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解；根据根据DABFAC，可得到，可得到CFBD，即可求解；

17、，即可求解；【自主作答】【自主作答】(2)BCCF成立；成立；BCCFDC不成立，结论：不成立，结论：DCCFBC.证明：证明：ABC和和ADF都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，ABAC，ADAF，BACDAF90，BADCAF，在在DAB与与FAC中，中，DABFAC(SAS)，ABDACF，BAC90，ABAC，ACBABC45，ABD18045135，BCFACFACB1354590，CFBC.CDDBBC，DBCF，DCCFBC；(3)拓展延伸拓展延伸如图如图，当点，当点D在线段在线段BC的延长线上时，将的延长线上时，将DAF沿线段沿线段DF翻折，使点翻折，使点A与点与点E重合，

18、连接重合，连接CE，CF，若，若4CDBC，AC2 ，请直接写出线段，请直接写出线段CE的长的长.2(3)【思维教练】过点【思维教练】过点A作作AHBC于点于点H，过点，过点E作作EMBD于点于点M，由等腰三，由等腰三角形的性质求出角形的性质求出BC的长，即可求出的长，即可求出CD的长，则的长，则AH，HD的长即可求出，通过的长即可求出，通过证明证明ADHDEM，求出，求出EM，CM的长，最后利用勾股定理求出的长，最后利用勾股定理求出CE的长的长.(3)线段线段CE的长为的长为3 .2【自主作答】【自主作答】【解法提示】如解图，过点【解法提示】如解图，过点A作作AHBC于点于点H，过点，过点E作作EMBD交交BD的延的延长线于点长线于点M，BAC90，ABAC2 ，4CDBC，BC AB4，AHBHCH BC2，CD BC1，DHCHCD3，由，由折叠及等腰直角三角形的性质易得四边形折叠及等腰直角三角形的性质易得四边形ADEF是正方形，是正方形，ADDE，ADE90，AHDADEEMD90，ADHEDMEDMDEM90，ADHDEM，在在ADH与与DEM中，中，ADHDEM(AAS)，EMDH3，DMAH2，CMCDDM3，CE