2020版高考数学大一轮复习课件第四章(打包7套)理新人教A版.ppt

1、第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数(全国卷5年1考)【知识梳理知识梳理】1.1.任意角的概念任意角的概念(1)(1)角的概念角的概念:角可以看成平面内一条射线绕着角可以看成平面内一条射线绕着_从从一个位置旋转到另一个位置所成的图形一个位置旋转到另一个位置所成的图形.端点端点(2)(2)角的分类角的分类:按旋转方向分为按旋转方向分为_角、角、_角、角、_角角;按终边位置分为按终边位置分为_角、角、_角角.(3)(3)终边相同的角终边相同的角:与角与角终边相同的角的集合终边相同的角的集合:S=:S=|=_.|=_.正正负负零零象限象限轴线轴线+k360+k360,kZ,

2、kZ2.2.弧度制弧度制(1)(1)弧度角弧度角:长度等于长度等于_的弧所对的圆心角叫做的弧所对的圆心角叫做1 1弧度的角弧度的角;1;1弧度弧度=_.=_.(2)(2)弧长、扇形面积的公式弧长、扇形面积的公式:设扇形的弧长为设扇形的弧长为l,圆心角圆心角大小为大小为(rad),(rad),半径为半径为r,r,则则l=_,=_,扇形的面积为扇形的面积为S=S=_=_._=_.半径长半径长180()rr1r2l21r23.3.任意角的三角函数任意角的三角函数(1)(1)定义定义:设设是一个任意角是一个任意角,它的终边与单位圆交于点它的终边与单位圆交于点P(x,y),P(x,y),那么那么sin=

3、_,cos=_,tan=_.sin=_,cos=_,tan=_.y yx xyx(2)(2)几何表示几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何三角函数线可以看作是三角函数的几何表示表示,正弦线的起点都在正弦线的起点都在x x轴上轴上,余弦线的起点都是原点余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是正切线的起点都是(1,0),(1,0),如图中有向线段如图中有向线段MP,OM,ATMP,OM,AT分分别叫做角别叫做角的的_、_和和_._.正弦线正弦线余弦线余弦线正切线正切线【常用结论常用结论】1.1.明晰角的概念明晰角的概念(1)(1)第一象限角未必是锐角第一象限角未必是锐角,但锐角一定是第一象限角

4、但锐角一定是第一象限角.(2)(2)不相等的角未必终边不相同不相等的角未必终边不相同,终边相同的角也未必终边相同的角也未必相等相等.2.2.角的应用的两个关注点角的应用的两个关注点(1)(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单要注意角的单位必须是弧度位必须是弧度.(2)(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致在同一个问题中采用的度量制度必须一致,不能混不能混用用.3.3.三角函数值的符号口诀三角函数值的符号口诀三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号:一全正、二正弦、三正切、一全正、二正弦、三正切、四余弦四余弦.4.4.三角函数定义的推广三角函

5、数定义的推广设点设点P(x,y)P(x,y)是角是角终边上任意一点且不与原点重合终边上任意一点且不与原点重合,r=|OP|,r=|OP|,则则sin=,cos=,tan=.sin=,cos=,tan=.yrxryx【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)小于小于9090的角是锐角的角是锐角.()(2)(2)锐角是第一象限角锐角是第一象限角,反之亦然反之亦然.()(3)(3)将表的分针拨快将表的分针拨快5 5分钟分钟,则分针转过的角度是则分针转过的角度是3030.()(4)(4)相等的角终边一定相

6、同相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等终边相同的角也一定相等.()提示提示:根据任意角的概念知根据任意角的概念知(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)均是错误的均是错误的.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.2.已知角已知角的终边过点的终边过点P(-1,2),P(-1,2),则则sin=sin=()【解析解析】选选B.B.因为因为|OP|=(O|OP|=(O为坐标原点为坐标原点),),所以所以sin=sin=52 552 5A.B.C.D.555522125（）22 5.553.3.已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为6060,其弧长为其弧长为2,2

7、,则此扇形的则此扇形的面积为面积为_._.【解析解析】设此扇形的半径为设此扇形的半径为r,r,由题意得由题意得 r=2,r=2,所以所以r=6,r=6,所以此扇形的面积为所以此扇形的面积为 226=6.6=6.答案答案:66312题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(必修必修4P5T44P5T4改编改编)下列与下列与 的终边相同的角的表达的终边相同的角的表达式中正确的是式中正确的是()A.2k+45A.2k+45(kZ)(kZ)B.k360B.k360+(kZ)+(kZ)C.k360C.k360-315-315(kZ)(kZ)D.k+(kZ)D.k+(kZ)949454【解析解析】选选C.

8、C.由定义知终边相同的角的表达式中不能由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度同时出现角度和弧度,应为应为 +2k+2k或或k360k360+45+45(kZ).(kZ).42.(2.(必修必修4P20A4P20A组组T2T2改编改编)已知角已知角的终边过点的终边过点P(-8m,-6sin 30P(-8m,-6sin 30)(m0),)(m0),且且cos=-,cos=-,则则m m的值的值为为()A.-A.-B.B.C.-C.-D.D.4512123232【解析解析】选选B.B.由由P(-8m,-3)(m0)P(-8m,-3)(m0)知点知点P P位于第三或第位于第三或第四象限四

9、象限,又因为又因为cos=-0,cos=-0,m0,又因为又因为cos=,cos=,所以所以m=.m=.4528m4564m9 12考点一象限角与终边相同的角考点一象限角与终边相同的角【题组练透题组练透】1.1.设设是第三象限角是第三象限角,且且 则则 是是()A.A.第一象限角第一象限角 B.B.第二象限角第二象限角C.C.第三象限角第三象限角 D.D.第四象限角第四象限角|cos|cos22，2【解析解析】选选B.B.因为因为是第三象限角是第三象限角,所以所以+2k+2k +2k(kZ),+2k(kZ),故故 +k +k(kZ),+k +k(kZ),当当k=k=2n(nZ)2n(nZ)时时

10、,+2n +2n(nZ),+2n +2n(nZ),是第二象是第二象限角限角,当当k=2n+1k=2n+1时时,+2n +2n(nZ),+2n +2n(nZ),是第四象限角是第四象限角,又又 即即cos 0,cos 0,因此因此 是是第二象限角第二象限角.32223422342322742|cos|cos22，222.2.若角若角=45=45+k180+k180,kZ,kZ,则角则角的终边落的终边落在在()A.A.第一或第三象限第一或第三象限B.B.第一或第二象限第一或第二象限C.C.第二或第四象限第二或第四象限D.D.第三或第四象限第三或第四象限【解析解析】选选A.A.当当k k为偶数时为偶数

11、时,令令k=2n,=45k=2n,=45+n360+n360,此时此时为第一象限角为第一象限角,排除排除C,D;C,D;当当k k为奇数时为奇数时,令令k=2n k=2n+1,=225+1,=225+n360+n360,此时此时是第三象限角是第三象限角,排除排除B;B;所以角所以角的终边落在第一或第三象限的终边落在第一或第三象限.3.3.下列各角中下列各角中,与角与角330330的终边相同的是的终边相同的是()A.150A.150B.-390B.-390C.510C.510D.-150D.-150【解析解析】选选B.B.与角与角330330的终边相同的角为的终边相同的角为=k=k360360+

12、330+330(kZ),(kZ),令令k=-2,k=-2,可得可得=-390=-390.4.(20184.(2018福州模拟福州模拟)与与-2 010-2 010终边相同的最小正角终边相同的最小正角是是_._.【解析解析】因为因为-2 010-2 010=(-6)=(-6)360360+150+150,所以所以150150与与-2 010-2 010终边相同终边相同,又终边相同的两个角又终边相同的两个角相差相差360360的整数倍的整数倍,所以在所以在0 0360360中只有中只有150150与与-2 010-2 010终边相同终边相同,故与故与-2 010-2 010终边相同的最小正角终边相

13、同的最小正角是是150150.答案答案:150150【互动探究互动探究】若将题若将题1 1中的条件中的条件“是第三象限角是第三象限角”变变为为“是第一象限角是第一象限角”,其他条件不变其他条件不变,结论又如何呢结论又如何呢?【解析解析】选选C.C.因为因为是第一象限角是第一象限角,所以所以2k 2k +2k(kZ),+2k(kZ),故故k +k(kZ),k +k(kZ),当当k=2n(nZ)k=2n(nZ)时时,2n 2n+(nZ),2n 2n+(nZ),是第是第一象限角一象限角,当当k=2n+1k=2n+1时时,+2n +2n(nZ),+2n +2n(nZ),是第三是第三象限角象限角,224

14、2422542又因为又因为 即即cos 0,cos 0,故故 是第三象限角是第三象限角.|cos|cos22，22【规律方法规律方法】1.1.表示区间角的三个步骤表示区间角的三个步骤(1)(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360-360360360范围内的角范围内的角和和,写出最简区间写出最简区间.(3)(3)起始、终止边界对应角起始、终止边界对应角,再加上再加上360360的整数倍的整数倍,即得区间角集合即得区间角集合.2.2.象限角的两种判断方法象限角

15、的两种判断方法(1)(1)图象法图象法:在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)(2)转化法转化法:先将已知角化为先将已知角化为k360k360+(0+(0 360360,kZ),kZ)的形式的形式,即找出与已知角终边相同的角即找出与已知角终边相同的角,再由角再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角终边所在的象限判断已知角是第几象限角.【拓展拓展】求求 或或n(nNn(nN*)所在象限的方法所在象限的方法(1)(1)将将的范围用不等式的范围用不等式(含有含有k)k)表示表示.(2

16、)(2)两边同除以两边同除以n n或乘以或乘以n.n.(3)(3)对对k k进行讨论进行讨论,得到得到 或或n(nNn(nN*)所在的象限所在的象限.nn提醒提醒:注意注意“顺转减顺转减,逆转加逆转加”的应用的应用,如角如角的终边逆的终边逆时针旋转时针旋转180180可得角可得角+180+180的终边的终边,类推可知类推可知+k180+k180(kZ)(kZ)表示终边落在角表示终边落在角的终边所在直线的终边所在直线上的角上的角.考点二弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用考点二弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用【典例典例】(1)(1)已知扇形的面积为已知扇形的面积为2 ,2 ,扇形的圆心角的扇形的

17、圆心角的弧度数是弧度数是 ,则扇形的周长为则扇形的周长为_._.33(2)(2)已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为,所在圆的半径为所在圆的半径为r.r.若若=120=120,r=6,r=6,求扇形的弧长求扇形的弧长;若扇形的周长为若扇形的周长为24,24,当当为多少弧度时为多少弧度时,该扇形面积该扇形面积S S最大最大;并求出最大面积并求出最大面积.【解析解析】(1)(1)设扇形的弧长为设扇形的弧长为l,半径为半径为R,R,由题意可得由题意可得:解得解得:l=2 ,R=2,=2 ,R=2,则扇形的周长为则扇形的周长为:l+2R=4+2 .+2R=4+2 .答案答案:4+24+2 1R2 3,

18、3,2Rll333(2)(2)因为因为=120=120=120=120 r=6,r=6,所以所以l=r=r=6=4;6=4;设扇形的弧长为设扇形的弧长为l,则则l+2r=24,+2r=24,即即l=24-2r(0r12).=24-2r(0r12).扇形的面积扇形的面积S=S=lr=(24-2r)r=(24-2r)r=-rr=-r2 2+12r+12r2,1803231212=-(r-6)=-(r-6)2 2+36,+36,所以当且仅当所以当且仅当r=6r=6时时,S,S有最大值有最大值36,36,此时此时l=24-2=24-26=12,6=12,所以所以=2rad.=2rad.12r6l【误区

19、警示误区警示】切记在利用公式切记在利用公式S=RS=R2 2求扇形面积时求扇形面积时的单位是弧度而并非度的单位是弧度而并非度,因此本题解答过程中将因此本题解答过程中将120120先化为了弧度先化为了弧度,再代入公式求解再代入公式求解.12【规律方法规律方法】应用弧度制解决问题的方法应用弧度制解决问题的方法(1)(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单要注意角的单位必须是弧度位必须是弧度.(2)(2)求扇形面积最大值的问题时求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的常转化为二次函数的最值问题最值问题,利用配方法使问题得到解决利用配方法使问题得到解决.(3

20、)(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用要合理地利用圆心角所在的三角形圆心角所在的三角形.【对点训练对点训练】1.1.九章算术九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一卷一方田方田三三二三三二:“:“今有宛田今有宛田,下周三十步下周三十步,径十六径十六步步.问为田几何问为田几何?”?”译成现代汉语其意思为译成现代汉语其意思为:有一块扇形有一块扇形的田的田,弧长弧长3030步步,其所在圆的直径是其所在圆的直径是1616步步,问这块田的面问这块田的面积是多少积是多少(平方步平方步)?)?()A.120A.120 B.24

21、0B.240 C.360C.360 D.480D.480【解析解析】选选A.A.由题意可得由题意可得:S=:S=8 830=120(30=120(平方步平方步).).122.2.若圆弧长度等于圆内接正方形的边长若圆弧长度等于圆内接正方形的边长,则该圆弧所对则该圆弧所对圆心角的弧度数为圆心角的弧度数为()2A.B.C.D.2422【解析解析】选选D.D.设圆的直径为设圆的直径为2r,2r,则圆内接正方形的边长则圆内接正方形的边长为为 r,r,因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,所以圆弧的长度为所以圆弧的长度为 r,r,所以圆心角弧度为所以圆心角弧度为

22、 222r2.r考点三任意角三角函数的定义及应用考点三任意角三角函数的定义及应用【明考点明考点知考法知考法】任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义,是三角函数的最基本的概是三角函数的最基本的概念念,很多知识点都是在其基础之上派生出来的很多知识点都是在其基础之上派生出来的.试题常试题常以选择题、填空题形式出现以选择题、填空题形式出现,考查符号的判断、比较大考查符号的判断、比较大小、解不等式及求值等问题小、解不等式及求值等问题.命题角度命题角度1 1三角函数值符号的判断问题三角函数值符号的判断问题【典例典例】sin 2cos 3tan 4sin 2cos 3tan 4的值的值()A.A.小于小于

23、0 0 B.B.大于大于0 0C.C.等于等于0 0 D.D.不存在不存在【解析解析】选选A.A.因为因为 23234 ,40,cos 30.sin 20,cos 30.所以所以sin 2sin 2cos 3cos 3tan 40.tan 40.232【状元笔记状元笔记】三角函数值符号的判断方法三角函数值符号的判断方法(1)(1)先分别判断每个三角函数值的符号先分别判断每个三角函数值的符号.(2)(2)按照题中要求判断所求三角函数值的符号按照题中要求判断所求三角函数值的符号.命题角度命题角度2 2比较大小、解不等式问题比较大小、解不等式问题【典例典例】函数函数y=y=的定义域为的定义域为_._

24、.3sin x2【解析解析】由题意可得由题意可得sin x-0,sin x-0,即即sin x .sin x .作作直线直线y=y=交单位圆于交单位圆于A,BA,B两点两点,连接连接OA,OB,OA,OB,则则OAOA与与OBOB围围成的区域成的区域(图中阴影部分含边界图中阴影部分含边界)即为角即为角x x的终边的范围的终边的范围,故满足条件的角故满足条件的角x x的集合为的集合为3232322x|2kx2k,kZ.33答案答案:22k2kkZ33，【状元笔记状元笔记】利用单位圆解三角不等式利用单位圆解三角不等式(组组)的一般步骤的一般步骤(1)(1)用边界值定出角的终边位置用边界值定出角的终

25、边位置.(2)(2)根据不等式组定出角的范围根据不等式组定出角的范围.(3)(3)求交集求交集,找单位圆中公共的部分找单位圆中公共的部分.(4)(4)写出角所满足的范围写出角所满足的范围.命题角度命题角度3 3利用任意角三角函数定义求值问题利用任意角三角函数定义求值问题【典例典例】已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(-,m)(m0)P(-,m)(m0)且且sin=m,sin=m,试判断角试判断角所在的象限所在的象限,并求并求cos cos 和和tan tan 的值的值.324【解析解析】由题意得由题意得r=,r=,所以所以sin=sin=(m0),(m0),所以所以m=m=,故角故角是第二

26、或第三象限角是第二或第三象限角.当当m=m=时时,r=2 ,r=2 ,点点P P的坐标为的坐标为 所以所以 23m2m3m2m45523,5,x36y515costan.r4x32 23 ，当当m=-m=-时时,r=2 ,r=2 ,点点P P的坐标为的坐标为 所以所以 综上可知综上可知,cos,cos=-,tan=-,tan=-=-或或cos cos=-,=-,tan tan=.=.523,5,（）x36y515costan,r4x32 23 ，6415364153【状元笔记状元笔记】用定义法求三角函数值的两种情况用定义法求三角函数值的两种情况(1)(1)已知角已知角终边上一点终边上一点P P

27、的坐标的坐标,则可先求出点则可先求出点P P到原到原点的距离点的距离r,r,然后用三角函数的定义求解然后用三角函数的定义求解.(2)(2)已知角已知角的终边所在的直线方程的终边所在的直线方程,则可先设出终边则可先设出终边上一点的坐标上一点的坐标,求出此点到原点的距离求出此点到原点的距离,然后用三角函然后用三角函数的定义来求解数的定义来求解.【对点练对点练找规律找规律】1.1.点点A(sin 2 018A(sin 2 018,cos 2 018,cos 2 018)位于位于()A.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限【解析解析】选选C.2

28、018C.2 018=5=5360360+218+218,为第三象限角为第三象限角,所以所以sin 2 018sin 2 018=sin 218=sin 2180,cos 2 0180,cos 2 018=cos 218cos 2180,0,所以点所以点A A在第三象限在第三象限.2.2.若若 从单位圆中的三角函数线观察从单位圆中的三角函数线观察sin,sin,cos,tan cos,tan 的大小是的大小是()A.sin tan cos A.sin tan cos B.cos sin tan B.cos sin tan C.sin cos tan C.sin cos tan D.tan si

29、n cos D.tan sin OMMP,ATOMMP,故有故有sin cos sin cos tan.tan.342，3.(20183.(2018资阳模拟资阳模拟)已知角已知角的顶点与原点的顶点与原点O O重合重合,始始边与边与x x轴的正半轴重合轴的正半轴重合,若它的终边经过点若它的终边经过点P(2,1),P(2,1),则则tan 2=tan 2=()4114A.B.C.D.3223【解析解析】选选A.A.因为角因为角的顶点与原点的顶点与原点O O重合重合,始边与始边与x x轴轴的正半轴重合的正半轴重合,终边经过点终边经过点P(2,1),P(2,1),所以所以tan=,tan=,因此因此t

30、an 2=tan 2=1222tan14.11tan314数学能力系列数学能力系列99现实生活中数学建模的核心素养现实生活中数学建模的核心素养【能力诠释能力诠释】数学建模就是根据实际问题来建立数学数学建模就是根据实际问题来建立数学模型模型,对数学模型来进行求解对数学模型来进行求解,然后根据结果去解决实然后根据结果去解决实际问题际问题.【典例典例】如图如图,某大型水上乐园内有一块矩形场地某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD,AB=120ABCD,AB=120米米,AD=80,AD=80米米,以以AD,BCAD,BC为直径的半圆为直径的半圆O O1 1和半和半圆圆O O2 2(半圆在矩形半圆在矩

31、形ABCDABCD内部内部)为两个半圆形水上主题乐为两个半圆形水上主题乐园园,BC,CD,DA,BC,CD,DA都建有围墙都建有围墙,游客只能从线段游客只能从线段ABAB处进出该处进出该主题乐园主题乐园.为了进一步提高经济效益为了进一步提高经济效益,水上乐园管理部水上乐园管理部门决定沿着门决定沿着 修建不锈钢护栏修建不锈钢护栏,沿着线段沿着线段EFEF修建修建AE FB，该主题乐园大门并设置检票口该主题乐园大门并设置检票口,其中其中E,FE,F分别为分别为 上的动点上的动点,EFAB,EFAB,且线段且线段EFEF与线段与线段ABAB在圆心在圆心O O1 1和和O O2 2连连线的同侧线的同侧

32、.已知弧线部分的修建费用为已知弧线部分的修建费用为200200元元/米米,直线直线部分的平均修建费用为部分的平均修建费用为400400元元/米米.AD BC，(1)(1)若若EF=80EF=80米米,则检票等候区域则检票等候区域(其中阴影部分其中阴影部分)面积为面积为多少平方米多少平方米?(2)(2)试确定点试确定点E E的位置的位置,使得修建费用最低使得修建费用最低.【解析解析】(1)(1)如图如图,设直线设直线EFEF与矩形与矩形ABCDABCD交于交于M,NM,N两点两点,连连O O1 1E,OE,O2 2F,F,则则ME=20ME=20米米,O,O1 1M=20 M=20 米米.3梯形

33、梯形O O1 1O O2 2FEFE的面积为的面积为 (120+80)(120+80)20 =2 000 (20 =2 000 (平方米平方米),),矩形矩形AOAO1 1O O2 2B B的面积为的面积为12012040=4 80040=4 800平方米平方米,由由AOAO1 1E=,E=,得扇形得扇形O O1 1AEAE和扇形和扇形O O2 2FBFB的面积均为的面积均为 1 600=1 600=平方米平方米,故阴影部分面积为故阴影部分面积为 平方米平方米.123361264003(4 8008002 000 3)3(2)(2)设设AOAO1 1E=,E=,则则 =40,=40,所以所以E

34、F=120-2EF=120-240sin=120-80sin,40sin=120-80sin,修建费用修建费用f()=200f()=20080+40080+400(120-80sin)=(120-80sin)=16 000(+3-2sin),16 000(+3-2sin),所以所以f()=16 000(1-2cos),f()=16 000(1-2cos),令令f()=0,f()=0,得得=,=,(0,)2AEBF3当当变化时变化时,f(),f()、f()f()的变化情况如下表的变化情况如下表:f()f()-0 0+f()f()极小值极小值(0,)33(,)3 2 由上表可得当由上表可得当=,=

35、,即即AOAO1 1E=E=时时,f(),f()有极小值有极小值,也为最小值也为最小值.故当故当AOAO1 1E E为为 时时,修建费用最低修建费用最低.333【即时训练即时训练】在一块顶角为在一块顶角为120120、腰长为、腰长为2 2的等腰三角形厚钢板废的等腰三角形厚钢板废料料OABOAB中用电焊切割成扇形中用电焊切割成扇形,现有如图所示两种方案现有如图所示两种方案,既既要充分利用废料要充分利用废料,又要切割时间最短又要切割时间最短,问哪一种方案最问哪一种方案最优优?【解析解析】因为因为AOBAOB是顶角为是顶角为120120、腰长为、腰长为2 2的等腰三的等腰三角形角形,所以所以A=B=

36、30A=B=30=,AM=BN=1,AD=2,=,AM=BN=1,AD=2,所以方案一中扇形的弧长所以方案一中扇形的弧长=2=2 ;方案二中扇形的方案二中扇形的弧长弧长=1=1 6632233；方案一中扇形的面积方案一中扇形的面积=2 22 2 ,方案二中扇形方案二中扇形的面积的面积=由此可见由此可见:两种方案中利用废料面积相等两种方案中利用废料面积相等,方案一中切方案一中切割时间短割时间短.因此方案一最优因此方案一最优.1263121 1.233 第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式(全国卷5年8考)【知识梳理知识梳理】1.1.同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系(1)(1)平方关

37、系平方关系:_.:_.(2)(2)商数关系商数关系:_.:_.sinsin2 2x+cosx+cos2 2x=1x=1sin xtan xxkkZcos x2（其中，）2.2.三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式组数组数一一二二三三四四五五六六角角2k+2k+(kZ)(kZ)+-+正弦正弦sin sin _余弦余弦cos cos _正切正切tan tan _22-sin-sin-sin-sin sin sin cos cos cos cos-cos-cos cos cos-cos-cos sin sin-sin-sin tan tan-tan-tan-tan-tan【常用结论常用结论】1.1.

38、同角三角函数关系式的常用变形同角三角函数关系式的常用变形(sin(sin cos cos)2 2=1=12sin 2sin cos cos;sin;sin=tan tan cos cos.2.2.诱导公式的记忆口诀诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变奇变偶不变,符号看象限符号看象限”,其中的奇、偶是指其中的奇、偶是指 的的奇数倍和偶数倍奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化变与不变指函数名称的变化.3.3.给角求值的基本原则给角求值的基本原则负化正负化正,大化小大化小,化到锐角为终了化到锐角为终了.2【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“

39、”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)若若,为锐角为锐角,则则sin sin 2 2+cos+cos2 2=1.=1.()(2)(2)若若R,R,则则tan=tan=恒成立恒成立.()sincos(3)sin(+)=-sin(3)sin(+)=-sin 成立的条件是成立的条件是为锐角为锐角.(.()(4)(4)若若sin(k-)=(kZ),sin(k-)=(kZ),则则sin=.sin=.()1313【解析解析】(1)(1).根据同角三角函数的基本关系式知当根据同角三角函数的基本关系式知当,为同角时才正确为同角时才正确.(2)(2).当当cos 0cos 0时才成立时才成立.(3)(3).

40、根据诱导公式知根据诱导公式知为任意角为任意角.(4)(4).当当k k为奇数和偶数时为奇数和偶数时,sin,sin 的值不同的值不同.2.2.已知已知sin=,sin=,则则cos =cos =()【解析解析】选选B.cos =-sin=-.B.cos =-sin=-.23()25252A.B.C.D.3333()2233.3.已知已知cos(+)=,cos(+)=,则则tan=tan=()2352 5A.B.2552 5C.D.25【解析解析】选选C.C.因为因为cos(+)=,cos(+)=,所以所以cos=-,cos=-,则则为第二或第三象限角为第二或第三象限角,所以所以sin=sin=

41、所以所以tan=tan=2323251 cos.3 5sin53.2cos23 题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(必修必修4P204P20练习练习T1T1改编改编)已知已知sin=,sin=,则则tan=tan=()A.-2A.-2B.2B.2C.C.D.-D.-5521212【解析解析】选选D.D.因为因为cos=cos=所以所以tan=tan=21 sin252 51()55，sin1.cos22.(2.(必修必修4P20T44P20T4改编改编)化简化简 =_.=_.【解析解析】=sin 2.=sin 2.答案答案:sin 2sin 221cos 2cos 2 tan 2221c

42、os 2sin 2sin 2cos 2 tan 2cos 2cos 23.(3.(必修必修4P234P23推导改编推导改编)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中,角角与角与角均以均以OxOx为始边为始边,它们的终边关于它们的终边关于y y轴对称轴对称.若若sin=,sin=,则则sin=_.sin=_.13【解析解析】因为角因为角与角与角的终边关于的终边关于y y轴对称轴对称,所以所以=2k+-,kZ,=2k+-,kZ,所以所以sin=sin=答案答案:1sin(2k)sin()sin.3 13【误区警示误区警示】在表示角在表示角与角与角的关系时的关系时,易错误地写易错误地写成成=

43、-.=-.考点一同角三角函数基本关系式的应用考点一同角三角函数基本关系式的应用【题组练透题组练透】1.1.已知已知cos=k,kR,cos=k,kR,则则sin=(sin=()(,)22222A.1k B.1kC.1k D.1k【解析解析】选选B.B.由由cos=k,kR,cos=k,kR,可知可知k0,k0),OP=1,P(k,y)(y0),OP=1,所以所以 =1,=1,得得y=,y=,由三角函数定义可知由三角函数定义可知sin=sin=(,)222ky21k21k.【巧思妙解巧思妙解】(排除法排除法)选选B.B.因为因为 ,所以所以sin 0,sin 0,排除排除A,C,A,C,又又-1

44、k0,-1k1,1,故排除故排除D.D.(,)221k【互动探究互动探究】若将题中的若将题中的“cos=k,kR,cos=k,kR,”换为换为“sin=k,kR,”,sin=k,kR,”,如何如何求求cos cos 呢呢?(,)2(,)2【解析解析】因为因为 ,所以所以cos 0,cos 0,cos=3sin-1,3sin=1+cos 0,cos=3sin-1,coscos2 2=1-sin=1-sin2 2=(3sin-1)=(3sin-1)2 2,sin=,sin=,所以所以cos-2sin=3sin-1-2sin cos-2sin=3sin-1-2sin=sin-1=-.=sin-1=-

45、.35253.3.已知已知tan=2,tan=2,求求 的值的值.【解析解析】原式原式=sin4cos5sin2costan4241.5tan25 226【答题模板微课答题模板微课】整体代换法在化简求值中的模整体代换法在化简求值中的模板化过程板化过程,题题3 3的求解过程可模板化为的求解过程可模板化为:建模板建模板:“”,:“”,原式变形原式变形“因为因为tan=2,tan=2,所以原式所以原式=”,=”,整体代换整体代换sin4costan45sin2cos5tan2tan4245tan25 22“即原式即原式=”=”化简求值化简求值套模板套模板:已知已知tan x=,tan x=,则则 =

46、_.=_.tan4241.5tan25 226 13sin x3cos x2sin x3cos x【解析解析】因为因为 ,原式变形原式变形又因为又因为tan x=,tan x=,所以原式所以原式=,=,整体代换整体代换sin x3cos xtan x32sin x3cos x2tan x3131331233tan x32tan x3即原式即原式=.=.化简求值化简求值答案答案:-107110310331772333 tan x32tan x3【规律方法规律方法】同角三角函数关系式的应用方法同角三角函数关系式的应用方法(1)(1)利用利用sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1可实现可实

47、现的正弦、余弦的互的正弦、余弦的互化化,利用利用 =tan=tan 可以实现角可以实现角的弦切互化的弦切互化.sincos(2)(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值外两个三角函数值,因为利用因为利用“平方关系平方关系”公式公式,需求需求平方根平方根,会出现两解会出现两解,需根据角所在的象限判断符号需根据角所在的象限判断符号,当当角所在的象限不明确时角所在的象限不明确时,要进行分类讨论要进行分类讨论.(3)(3)分式中分子与分母是关于分式中分子与分母是关于sin,cos sin,cos 的齐次式的齐次式,往往转化为关于往往

48、转化为关于tan tan 的式子求解的式子求解.考点二诱导公式的应用考点二诱导公式的应用【典例典例】(1)(1)若若 则则 的值为的值为_._.1sin()64，cos(2)3(2)(2)设设f()=(1+2sin f()=(1+2sin 0).0).化简化简f();f();若若=-,=-,求求f()f()的值的值.222sin()cos()cos()31 sincos()sin()22 236【解析解析】(1)(1)因为因为 所以所以 答案答案:1sin(),64 1sin(),64 cos(2)cos2()3621712sin()12.6168 78(2)(2)f()=f()=当当=-=-

49、时时,f()=,f()=22(2sin)(cos)(cos)1 sinsincos 22sin coscoscos(2sin1)2sinsinsin(2sin1)cos1.sintan236231f()236tan()61113.3tan(4)tan663【规律方法规律方法】1.1.诱导公式的两个应用诱导公式的两个应用(1)(1)求值求值:负化正负化正,大化小大化小,化到锐角为终了化到锐角为终了.(2)(2)化简化简:统一角统一角,统一名统一名,同角名少为终了同角名少为终了.2.2.含含22整数倍的诱导公式的应用整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知由终边相同的角的关系可知,在计算含有

50、在计算含有22的整数倍的整数倍的三角函数式中可直接将的三角函数式中可直接将22的整数倍去掉后再进行运的整数倍去掉后再进行运算算,如如cos(5-)=cos(-)=-cos.cos(5-)=cos(-)=-cos.【拓展拓展】三角形中的三角函数关系式三角形中的三角函数关系式sin(A+B)=sin(sin(A+B)=sin(-C)=sin C;-C)=sin C;cos(A+B)=cos(cos(A+B)=cos(-C)=-cos C;-C)=-cos C;tan(A+B)=tan(tan(A+B)=tan(-C)=-tan C;-C)=-tan C;ABCCsin()sin()cos;2222