工程力学静力学与材料力学-7A-弯曲强度1剪力图与弯矩图课件.ppt

1、 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 第第7 7章章A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度7 7.1.1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 7 7.3 3 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 7 7.4 4 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 7 7.2 2 梁的内力及其与外力的相互关梁的内力及其与外力的相互关系系 7 7.5 5 结论与讨论结论与讨论第第7 7章章A A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度7 7.1.1 工程

2、中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。在起桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重量吊重量(集中力集中力FP)及大梁自身重量及大梁自身重量(均布载荷均布载荷q)的作用下的作用下,大大梁将发生弯曲。梁将发生弯曲。7 7.1.1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 起重机大梁起重机大梁 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因此，火车轮轴可以简化为两端外伸梁。由于车厢以及车厢内装载的人与货此，火车轮轴可以简化为两端

3、外伸梁。由于车厢以及车厢内装载的人与货物的重量，因此，火车轮轴将发生弯曲变形。物的重量，因此，火车轮轴将发生弯曲变形。7 7.1.1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 火车轮轴火车轮轴 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度车削工件车削工件7 7.1.1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 PRAlABmA车刀和刀架车刀和刀架固定固定端端自由自由端端 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度7 7.1.1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度“玻璃人行桥”长约21米，桥道宽约3米，重约485吨，距离谷底约1220米。足以承载两万人的重量，还能承受时速160公里的大风。这座桥是悬臂式设计

4、，为了避免“玻璃人行桥”延伸在外的部分发生倾斜下坠，在岩石中的固定端安放了重达220吨左右的钢管，以保证桥身平衡。7 7.1.1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度7 7.1.1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度7 7.1.1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度7 7.1.1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度7 7.1.1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度弯曲的概念弯曲的概念 1、弯曲、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形

5、后成：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。为曲线的变形形式。2、梁、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件主要承受垂直于轴线荷载的杆件 轴线是直线的称为轴线是直线的称为直梁直梁，轴线是曲线的称为，轴线是曲线的称为曲梁曲梁。有对称平面的梁称为有对称平面的梁称为对称梁对称梁，没有对称平面的梁称为，没有对称平面的梁称为非对称梁非对称梁 3、平面弯曲（对称弯曲）、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。4、非对称弯曲、非对称弯曲：若梁不

6、具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。并不作用在纵向对称面内的弯曲。FqFAFB纵向对称面纵向对称面 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA静定梁的基本形式静定梁的基本形式 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 7 7.2 2 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必然是平衡的。也必然是平衡的。

7、总体平衡与局部平衡的概念 7 7.2 2 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必然是平衡的。部也必然是平衡的。总体平衡与局部平衡的概念 7 7.2 2 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度FNFSM0 xF0N F 0yF1ASFFFy 0cM)(1axFxFMAy F FS S剪力剪力，平行于，平行于横截面的内力合力横截面的内力合力 M M 弯矩弯矩，垂直于，垂直于横截面的内力系的横截面的内力

8、系的合力偶矩合力偶矩FByFNFSMFAy 7 7.2 2 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度FAyFNFSMFByFNFSM 截面上的剪力对所选梁截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为段上任意一点的矩为顺时针顺时针转向时，转向时，剪力为正；剪力为正；反之反之为为负。负。+_ 截面上的弯矩使得梁截面上的弯矩使得梁呈呈凹形凹形为为正；正；反之反之为负。为负。剪力剪力和弯矩和弯矩 左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负+_ 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度FNFNFQFQ 7 7.2 2 梁的内

9、力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度y3064.53015kN203029kN(0)BAAABBABBMFFqFFFFFqFMFF 也可由求或校核的正误mkN26)5.12(2kN7A1A1SFFMFFFmkN3025.15.15.1kN115.1B2B2SqFMFqF例例7-17-1 求下图所示简支梁求下图所示简支梁1 1-1 1与与2 2-2 2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解：1、求支反力、求支反力2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力3、计算、计算2-

10、2截面的内力截面的内力F=8kNFAS1F1MFBq=12kN/mS2F2M 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度xyqLQQqLY11 0图（a）1111 0)(qLxMMqLxFmiAqqLab1122qLQ1AM1图（b）x1例例7-27-2 求图（求图（a a）所示梁）所示梁1-11-1、2-22-2截面处的内力。截面处的内力。第七章第七章 弯曲强度弯曲强度L)axq Q22(axqMqLxFmiB0)(21,0)(2222)ax(qQqLY0222222)(21qLxaxqMxy图（a）qqLab1122qLQ2BM2x2图（c）第七章第七章 弯曲强度弯曲强度222()(QqLq xaq

11、xaL)2222)(21qLxaxqMqqLab1122x2 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度例例7-37-3 求图示外伸梁在截面求图示外伸梁在截面11、22、33和和44横截面上的剪力和弯矩。横截面上的剪力和弯矩。解：支反力为解：支反力为 0yF 0AM032aFFaaFB)(2FFBFFFAB)(3 FFA xyAF Baa2a11224433Me=3FaFBFA 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度截面截面11 0yF 01CM01aFM)(1顺顺FaMFQ1S截面截面22 0yF 02CM02aFM)(2顺顺FaM02SFFQAFFFQA22SM1QS1F C111FAM2QS2F C222

12、xyAF Baa2a11224433Me=3FaFBFA 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度截面截面3303aFaFMA)(3逆逆FaMFFQB24S截面截面4404aFMB)(24顺顺FaM03SFFQAFFFQA23S xyAF Baa2a11224433Me=3FaFBFA33C3M3F QS3FAQS4M44C4FB4 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度内力11223344QS-P2P2P2PM-Pa-PaPa-2Pa1 1、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。剪力值剪力值=截

13、面左侧（或右侧）所有外力的代数和截面左侧（或右侧）所有外力的代数和弯矩值弯矩值=截面左侧（或右侧）所有外力对该截截面左侧（或右侧）所有外力对该截面形心的力矩代数和面形心的力矩代数和 xAF B11224433Me=3FaFA=3FFB=-2F 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度2 2、截面左侧梁段、截面左侧梁段 向上的外力向上的外力正剪力正剪力正弯矩正弯矩 顺时针外力偶顺时针外力偶正弯矩正弯矩 截面右侧梁段截面右侧梁段 向上的外力向上的外力负剪力负剪力正弯矩正弯矩 顺时针外力偶顺时针外力偶负弯矩负弯矩内力11223344QS-P2P2P2PM-Pa-PaPa-2Pa xAF B11224433Me

14、=3FaFA=3FFB=-2F 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值=集中力大小；集中力大小；在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值=集中力偶矩大小。集中力偶矩大小。内力11223344QS-P2P2P2PM-Pa-PaPa-2Pa xAF B11224433Me=3FaFA=3FFB=-2F 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度7 7.3 3 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 例例7-57-5 在图示简支梁在图示简支

15、梁ABAB的的C C点处作用一集中力点处作用一集中力F F，作该梁的剪力图和弯矩图。作该梁的剪力图和弯矩图。由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向变方向沿集中力作用的方向。FabClAB解：解：1、求支反力、求支反力lFaFlFbFBA；2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程axlFbxxFxMaxlFbFxFAC段0)(0)(:AASxFAFB lxaxllFaxlFxMlxalF

16、aFxFCB段ABS)()(:FslFb/lFa/MlFab/第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 FS 图突变（从左向右图突变（从左向右,按按 P 的方向突变的方向突变,突变量为突变量为 P）；）；M 图转折（从左向右图转折（从左向右,按按 P 的方向转折）。的方向转折）。BPAClPblPaFSlPblPaxMlPab 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯矩图发生突在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。变，其突变值为集中力偶的大小。例例7-67-6 在图示简支梁在图示简支梁ABAB的的C C点处作用一集中力偶点处作用一集中

17、力偶M M，作该梁的剪力图和弯矩图。作该梁的剪力图和弯矩图。abClABM解：解：1、求支反力、求支反力lMFlMFBA；2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程axlMxxFxMaxlMFxFAC段s0)(0)(:AAxFAFB lxaxllMxlFxMlxalMFxFCB段sBB)()(:FslM/MlMa/lMb/第七章第七章 弯曲强度弯曲强度FSlmMlmblmamABClmlm FS 图不变；图不变；M 图突变（从左向右，遇顺时针方向的力偶向上图突变（从左向右，遇顺时针方向的力偶向上突变，突变量为突变，突变量为 m）。）。第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 8/2qlq悬臂梁受

18、均布载荷作用。悬臂梁受均布载荷作用。试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：任选一截面任选一截面x x，写出，写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程x lxqxxFS0 lxqxxM02/2依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图图FSxMxql2/2qll由剪力由剪力图、弯矩图可见。最图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为大剪力和弯矩分别为qlFSmax2/2maxqlM例题例题7-77-7qx xM xFS7-3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度2qlFFBA由对称性知：222)(2)(22AASqxq

19、LxqxxFxMqxqlqxFxF82,2maxmaxSqlMqlF例例7-87-8 图示简支梁受均布荷载图示简支梁受均布荷载q q的作用，作该梁的作用，作该梁的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。qlABx解：解：1、求支反力、求支反力FAFB2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程FsM2/ql2/ql8/2ql 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 例例 图示外伸梁AD，受力作用。试画出该轴的剪力图和弯矩图，并求Qmax和Mmax。解解：1外力分析：求支座约束反力。研究梁AD，受力分析如图，列平衡方程：mkN6kN2kN/m4mPq，05.2132)(01qmPNFmqPNNFBABA

20、ykN1kN3BANN，第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 2内力分析：首先列出各段的剪力方程和弯矩方程，AC：m)(kN3(kN)30011111111xxNMNQxNMmQNYAAAACB：m)(kN636(kN)30022222222xxNMNQxNmMmQNYAAAABD：)3(2)3(22)3(40)3(2)3(0)3(3233332333333xxMxQxqMxPmxqQPY 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 然后根据上面剪力方程和弯矩方程分区段绘制剪力图和弯矩图，如(a)、(b)图所示。由图可知：Qmax=3(kN)，Mmax=3(kNm)第七章第七章 弯曲强度弯曲强度qaFSxM22

21、qa232qax【结论 3】qRBaABmBaCx230,20,BByBqaMmFRqa 解：1、求支反力2、写内力方程3、画内力图在分布力的起点和终点，在分布力的起点和终点，FS、M 图都有变化。图都有变化。第七章第七章 弯曲强度弯曲强度7 7.4 4 载荷集度、剪力、弯矩之载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系间的微分关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度dxxFQFQ+dFQMM+d Mq(x)考察考察 dx 微段的受力与平衡微段的受力与平衡Oxydx7-47-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度Fy=0:MC=0:QFdq xQQdFF

22、0MdMMQdFxdd2xq x0FQFQ+dFQMM+d Mq(x)dxCOxy7-47-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度略去高阶项，得到略去高阶项，得到 此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程。此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程。根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力FQ、M 的变化规律。的变化规律。qxFddQqxM22ddQddFxMFy=0:MC=0:QFdq xQQdFF0MdMMQdFxdd2xq x07-47-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度

23、、剪力和弯矩间的关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度qxFddQqxM22ddQddFxM 例如，如果两个相邻控制面之间没有外部载荷，则有例如，如果两个相邻控制面之间没有外部载荷，则有Qd0dFqxQ1const.=FCQ112d,dMFCMC xCx平行于平行于x轴的直线轴的直线斜直线斜直线如果两个相邻控制面之间作用有均匀分布载荷，则有如果两个相邻控制面之间作用有均匀分布载荷，则有Qdconst.,dFqxQ1FqxC2Q112d1,d2MFqxCMqxC xCx斜直线斜直线抛物线抛物线7-47-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度均布

24、载荷下均布载荷下 FS,M 图特点图特点直线直线 2次凹曲线 2次凹曲线 2次凸曲线 2次凸曲线qxF ddSSddFxM qxM 22dd 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度)()()(22xqdxxdFdxxMds1.1.q q0 0，F Fs s=常数，常数，剪力图为水平直线；剪力图为水平直线；2.2.M M(x)(x)为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q2.q常数，常数，F Fs s(x x)为为 x x 的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线；MM(x)(x)为为 x x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。分布

25、载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凹形；），抛物线呈凹形；分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0q0QQ0 x斜直线增函数xQxQ降函数xQCQ1Q2Q1Q2=P自左向右突变xQC无变化斜直线xM减函数xM增函数曲线xM谷状xM盆状自左向右折角 自左向右突变与m同xM折向与P同向MxM1M2mMM217-47-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度xFsFFlMFlABabClABMxFAFBFslM/MlMa/lMb/FabClABxFAFBFslFb/lFa/MlFab/FsMqlABxFAFB2/ql2/ql8/2

26、ql 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度2.计算支反力计算支反力lMFFByAye q=0，FS 图图水平直线，水平直线，M 图图直线直线 求求(FS)A+画画 FS 图图 求求(M)A+与与(M)B 画画 M 图图应用应用利用微分关系画梁的剪力、弯矩图利用微分关系画梁的剪力、弯矩图1.问题分析问题分析 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度3.计算剪力与弯矩计算剪力与弯矩lMFFAyAeS)(ee0MFMMAyA 00 ByBFMlMFFByAye 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度lMFAeS-)(eMMA 0 BM4.画剪力图画剪力图5.画弯矩图画弯矩图FS 图图水平直线水平直线M 图图斜直线斜直线 第

27、七章第七章 弯曲强度弯曲强度4m4m4m3mABCDEM1P2Pq外伸梁外伸梁kNmMmKNqKNPP101221解：解：一、求支反力一、求支反力ARBRkNRkNRBA57二、作剪力图二、作剪力图Fs7331kNqRFskNRFsACACAA347:斜直线段kNPqRFskNPqRFsCDADAC3814:11斜直线段 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度4m4m4m3mABCDEM1P2PqARBRFs7313BD：水平直线水平直线BE：水平直线水平直线2三、作弯矩图三、作弯矩图M2020.516xkNmPRMkNmqqxxRMADA16441885.2021maxkNqRMMACACA2024

28、40:抛物线 mkNFsB3kNPFsB22mqPRxPqxRxFs(CDAA50:11令抛物线 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度4m4m4m3mABCDEM1P2PqARBRFs73132M2020.51666xkNmMkNmMMMBDBDD63261016:斜直线0:EMBE斜直线 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度实例：实例：利用微分关系作剪力弯矩图利用微分关系作剪力弯矩图例例 外伸梁外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的承受荷载如图所示，作该梁的FS-M图。图。解：解：1、求支反力、求支反力kN8.3kN2.7BAFF2、判断各段、判断各段FS、M图形状：图形状：CA和和DB段：段：q=0，F

29、s图为水平线，图为水平线，M图为斜直线。图为斜直线。AD段：段：q0，Fs 图为向下斜直线，图为向下斜直线，M图为上凸抛物线图为上凸抛物线。DABm1m41mkN3kN/m2mkN6C3、先确定各分段点的先确定各分段点的FS、M值，用相应形状的线条连接。值，用相应形状的线条连接。Fs+_3(kN)4.23.8Ex=2.1mM(kNm)3.81.412.2_+FAFB3 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 利用微分关系，确定各梁段利用微分关系，确定各梁段剪力、弯矩剪力、弯矩图的图的形状形状 计算各梁段计算各梁段起起、终终与与极值点极值点等等控制截面的控制截面的剪力剪力与弯矩与弯矩 将上述二者结合，绘

30、制梁的将上述二者结合，绘制梁的剪力剪力、弯矩弯矩 图图 在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由图一定由直直线所构成线所构成 在分布载荷作用下，剪力或弯矩图线的凹凸性，在分布载荷作用下，剪力或弯矩图线的凹凸性，由其二阶导数的正负确定由其二阶导数的正负确定 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题例题7-117-11 简支梁受力的大简支梁受力的大小和方向如图示。小和方向如图示。试画出试画出其剪力图和弯矩图。其剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMM求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 F

31、Ay0.89 kN,FBy1.11 kN 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 2 2确定控制面确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面截面。7-47-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度(+)(-)BAFAYFBY1kN.m2kNM(kN.m)xO3 3建立坐标系建立坐标系建立建立 F FS Sx x 和和 M Mx x 坐标系坐标系 5 5根据微分关系连图根据微分关系连图线线4 4应用截面法确定控应用截面法确

32、定控制面上的剪力和弯矩制面上的剪力和弯矩值，并将其标在值，并将其标在F FS S x x和和 M Mx x 坐标坐标系中。系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS(kN)O0.89 kN=1.11 kN7-47-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度（-）（+）解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力F FAyAy0.89 kN 0.89 kN F FFyFy1.11 kN 1.11 kN 2 2确定控制面为确定控制面为A、C、D、B两侧截面。两侧截面。FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kND

33、C3 3从从A A截面左测开始画截面左测开始画剪力图。剪力图。Fs（kN）0.891.117-47-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度（-）（-）4 4从从A A截面左测开始画截面左测开始画弯矩图。弯矩图。M（kN.m）从从A A左到左到A A右右从从C C左到左到C C右右从从D D左到左到D D右右从从A A右到右到C C左左1.3300.330从从C C右到右到D D左左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11从从D D右到右到B B左左从从B B左到左到B B

34、右右7-47-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度qBAFAyFBy例题例题7-127-12 试画出梁试画出梁的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 00，BAMM求得求得A A、B B 二处的约束力二处的约束力qaFqaFByAy4349,qa2 2确定控制面确定控制面 由于由于ABAB段上作用有连续分布载荷，故段上作用有连续分布载荷，故A A、B B两个截两个截面为控制面，约束力面为控制面，约束力F FByBy右侧的截面，以及集中力右侧的截面，以及集中力qaqa左

35、侧的截面，也都是控制面。左侧的截面，也都是控制面。C7-47-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度（+）（-）（+）qBAFAyFByC3 3建立坐标系建立坐标系建立建立F FS Sx x和和M Mx x坐标系坐标系 OFSxOMx4 4确定控制面上的确定控制面上的剪力值，并将其标剪力值，并将其标在在F FS Sx x中。中。4/9qa4/7qaqa32/812qa4/9a2qa5 5确定控制面上的确定控制面上的弯矩值，并将其标在弯矩值，并将其标在M Mx x中。中。qa49qa437-47-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力

36、和弯矩间的关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 （+）（-）qaFqaFByAy4349,qBAFAyFBy解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力2 2确定控制面，确定控制面，即即A A、B B、D D两侧截面。两侧截面。3 3从从A A截面左测开始画截面左测开始画剪力图。剪力图。Fs 9qa/4 7qa/4qa7-47-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度（+）M （+）（-）qBAaFAyFBy Fs 9qa/4 7qa/4qa4 4求出剪力为零的点求出剪力为零的点 到到A A的距离。的距离。B B点的弯矩为点的弯矩为 -1/2

37、-1/27qa/47qa/47a/47a/4 +81qa +81qa2 2/32=qa/32=qa2 2 AB AB段段为上凸抛物线。且有为上凸抛物线。且有极大值。该点的极大值。该点的弯矩为弯矩为 1/2 1/29qa/49qa/49a/49a/4 =81qa =81qa2 2/32/325 5从从A A截面左测开始画弯截面左测开始画弯矩图矩图 4/9a 81qa2/32qa27-47-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度aqQMqPqaaaqa2qaqa22/qa22/qaqaqa一般作剪力图时，从左往右，随力的方向走。第七章第七章 弯

38、曲强度弯曲强度l2l2qMql21638qlql838qlql891282qlFs 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度MamPaaPPPaA端约束力端约束力=PABB端约束力端约束力=0Fs 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度QMamPaaaPPPP Fs 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度qa3qa2qa22qa22qa22qaq2qaa2aaMqa5qaACBDFs 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度qa22/qaaMqqa/2qa/2qaqa/2qa/2qa22/qa28/Fs 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度qa22/qaaMaqaqaqaqaqaqa22/qa22/Fs 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度

39、qaaM2qa74qa54qa74qa34qa54qa/542qa/Fs 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度)()()()(221121nnnPQPQPQPPPQ )()()()(221121nnnPMPMPMPPPM 适用条件适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足胡克定律。线性关系。即在弹性限度内满足胡克定律。第七章第七章 弯曲强度弯曲强度叠加原理叠加原理：当梁在各项荷载作用下：当梁在各项荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩的代独作用下同一横截面上的弯矩

40、的代数和。数和。叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图：设简支梁同时承受跨间荷载设简支梁同时承受跨间荷载q与与端部力矩端部力矩MA、MB的作用。其弯矩的作用。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：简支梁弯矩图叠加得到。即：xMxMxM21BMBAqMAlB+第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 注意注意：这里所说的弯矩叠加，这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。合。d图中的纵坐标如同图中的纵坐标如同M图的纵坐图的纵坐标一样，也是垂直于杆轴线标一样，也是

41、垂直于杆轴线AB。（1）选定外力的不连续点）选定外力的不连续点(如集中如集中力、集中力偶的作用点，分布力的力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等起点和终点等)为控制截面，求出控为控制截面，求出控制截面的弯矩值。制截面的弯矩值。（2）分段画弯矩图。当控制截面）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。当控制截面之间有荷载时，图形。当控制截面之间有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。用叠加法作该段的弯矩图。例例 作图示简支梁的弯矩图作图示简支梁的弯矩图。利用内力图的特性和弯矩图叠加利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般作法法，将梁弯矩图的一

42、般作法归纳归纳如下如下：2FCl/2ABFl/2l/22/FlM2/Fl2/Fl4/Fl+2/Fl+第七章第七章 弯曲强度弯曲强度qqPP=+AAABBBxM2xM1xM 2Pa+22qa222qaPa=+第七章第七章 弯曲强度弯曲强度例例1 绘制下列图示梁的弯矩图。2PaaP=2PP+xMxM1xM2=+2Pa2PaPa(1)补充练习题补充练习题 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度(2)aaqqqq=+xM1=xM+xM23qa2/2qa2/2qa2 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度(3)PL/2L/2PL/2=+PxM2xM=+PL/2PL/4PL/2xM1+PL/2 第七章第七章 弯曲强度弯曲

43、强度(4)50kNaa20kNm=+xM2xM=+20kNm50kNmxM120kNm50kN20kNm20kNm+20kNm30kNm20kNm 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 例2 试用叠加法作梁的弯矩图。2222222 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度例例画组合梁的剪力与弯矩图画组合梁的剪力与弯矩图解解：1.问题分析问题分析 组合梁，需拆开组合梁，需拆开,以分析梁的受力以分析梁的受力 承受集中载荷，承受集中载荷，FS 与与 M 图图由由直线直线构成构成2FFFCyAy 23FFDy 23FaMD 2.受力分析受力分析 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度特点特点：铰链传力不传力偶矩，：铰链传力不

44、传力偶矩，与铰相连与铰相连的两横截面上的两横截面上,M=0,FS 不一定为零不一定为零3.画画 FS 图图水平直线水平直线4.画画 M 图图直线直线23maxSFF 23maxFaM 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度（-）（-）（+）（+）（-）Fs例题例题4-8 4-8 试画出图示有中间试画出图示有中间铰梁的铰梁的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力2/qaFDy从铰处将梁截开从铰处将梁截开qFDyFDyqa2/3qaFBy2/qaFAy2/2qaMAqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDq7-47-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、

45、剪力和弯矩间的关系 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度qbABmBRARBaCqARARCaC2qaRRCAbBmBRBCRC2qaRB2qabmB解：解：1、求支反力、求支反力 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度2qaFS2qaM82qa2qabqbABaC2qa2qa2qab2、写内力方程、写内力方程3、画内力图、画内力图2qaRRCA2qaRB2qabmBxqARAxFSM 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度aaaqqa/42FSqa/42qa/4Mxx3qa/4qa/42qa/322ABC D44432qamqaRqaRDDBBRDRDmx?x74BRxaaqE3283434343422qaaqa

46、aqaqaME 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 例例3 作图示具有中间铰的组合梁的Q、M图。qa2qa2/2 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度解：解：1.求支反力求支反力2oRlqF 6olqFAy 3olqFBy 例例 非均布载荷作用非均布载荷作用 画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图2.建立剪力弯矩方程建立剪力弯矩方程lxqxlqF00S26 32600 xlxqxxlqM 200S26xlqlqF 30066xlqxlqM 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度200S26xlqlqF 30066xlqxlqM 3.画剪力弯矩图画剪力弯矩图 2 次抛物线次抛物线 3 次曲线次曲线q0l2/(9 3)026

47、200S xlqlqF3/lxC 396620300lqxlqxlqMCCC 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度4.利用微分关系检查利用微分关系检查 FS 与与 M 图图FS 图图二次抛物线二次抛物线M 图图三次曲线三次曲线 xqxFdddd2S2 q 渐减，渐减，q 0，FS 图图凸曲线凸曲线0dd22 qxMM 图图凸曲线凸曲线 FS=0 处，处，M 图存在极值；图存在极值；q=0 处，处，FS 图存在极值图存在极值baxq 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度例例5 图示梁承受均布载荷q作用，试问当a取何值时，梁的最大弯矩为最小。提示：最大正弯矩等于最大负弯矩的绝对值。解解：作弯矩图，如图所示。最大正弯矩等于最大负弯矩的绝对值，由图可知：llaqaqlaql207.021221218122 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度返回返回Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology返回总目录返回总目录 第七章第七章 弯曲强度弯曲强度 屋顶大梁上的孔为什屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两边么开在中间？上、下两边各开一个半圆孔可以吗？各开一个半圆孔可以吗？第七章第七章 弯曲强度弯曲强度