第五版高数第3章4节课件.ppt

1、二、单调区间的求法二、单调区间的求法三、函数极值的定义三、函数极值的定义六、应用举例六、应用举例第四节一、单调性的判别法一、单调性的判别法 函数的单调性与极值 第三章 五、最大值的求法五、最大值的求法四、函数极值的求法四、函数极值的求法一、单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbaba

2、baxfy abBA证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf ,012 xx,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调增加上单调增加在在baxfy ,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 例例1 1解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx.1 xey,)0,(内内在在,0 y函数单调减少；函数单调减少；,),0(内内在在,0 y.函数单调增加函数单调增加注意注意:函数的单调性是一个区间

3、上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性).,(:D又又二、单调区间求法问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点

4、方法方法:.,)()(0)(数的符号数的符号然后判断区间内导然后判断区间内导的定义区间的定义区间来划分函数来划分函数不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程xfxfxf 例例2 2解解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)(xf.2,121 xx时，时，当当1 x,0)(xf上上单单调调增增加加；在在1,(时，时，当当21 x,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在2,1 时，时，当当 x2,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),2单调区间为单调区间为，1,(，2,1).,2例

5、例3 3解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),0 时，时，当当 x0,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在0,(单调区间为单调区间为，0,().,0 32xy 例例4 4证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则,0)(),0(,),0)(xfxf可导，可导，且且上连续上连续在在上单调增加；上单调增加；在在),0,0)0(f时，时，当当0 x,0)1ln(xx).1ln(xx

6、 即即注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy ,00 xy.),(上单调增加上单调增加但在但在三、函数极值的定义三、函数极值的定义oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内

7、的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点内的一个点内的一个点是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.四、函数极值的求法四、函数极值的求法 设设)(xf在在点点0 x处处具具有有导导数数,且且在在0 x处处取取得得极极值值,那那末末必必定定0)(0 xf.定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的

8、点xfxf 注意注意:.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf例如例如,3xy ,00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有;0)(xf而而),(00 xxx,有有0)(xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值.(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有;0)(xf而而),(00 xxx 有有0)(xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.(3)(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时,)(xf符号相同符号相同

9、,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值.定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤:);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)例例1 1解解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)(xf.3,121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,(),3()3,1(1 3

10、)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1(f极大值极大值,10)3)(1(3 xx593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下 设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶导数,且且0)(0 xf,0)(0 xf,那末那末(1)(1)当当0)(0 xf时时,函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值;(2)(2)当当0)(0 xf时时,函数函数)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000,0 异号，异号，与与故故xxfxxf )()(00时，时

11、，当当0 x)()(00 xfxxf 有有,0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有,0 所以所以，函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值 同理可证同理可证(2).例例2 2解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)(xf.2,421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx,66)(xxf )4(f,018 )4(f故极大值故极大值,60 )2(f,018 )2(f故极小值故极小值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下Mm注意注意:.2,)(,0)(00仍用定理仍用定理处不一定取极值处不一定取极值在点

12、在点时时xxfxf 例例3 3解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x;0)(xf时，时，当当2 x.0)(xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff.)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.M五、最值的求法五、最值的求法oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上的最大值与最小值存上的最大值与最小值存在在为零的点，则为零的点，则并且至多有有限个导数并且至多有有限个导数处可导，处可导，上连续，除个别

13、点外处上连续，除个别点外处在在若函数若函数baxfbaxf步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)六、应用举例六、应用举例例例1 1解解)1)(2(6)(xxxf.4,314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程,0)(xf.1,22

14、1 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34)1(f;7;142)4(f，最大值最大值142)4(f比较得比较得.7)1(f最小值最小值14123223 xxxy点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例2 2敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸南岸B处向正东追击，处向正东追击，速度为速度为2千米千米/分钟分钟问我军摩托车何问我军摩托车何时射击最好（相时射击最好（相距最近射击最好）？距最近射击最好）？解解公里公里5.0(1)建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系).(分

15、分追击至射击的时间追击至射击的时间处发起处发起为我军从为我军从设设Bt敌我相距函数敌我相距函数22)24()5.0()(ttts 公公里里4B A)(ts)(ts.)()2(的最小值点的最小值点求求tss )(ts.)24()5.0(5.7522ttt ,0)(ts令令得唯一驻点得唯一驻点.5.1 t.5.1分钟射击最好分钟射击最好处发起追击后处发起追击后故得我军从故得我军从B实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;小）值小）值值即为所求的最（或最值即为所求的最（或最点，则该点的函数点，则该点的函数若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻例

16、例3 3 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定套公寓要出租，当租金定为每月为每月180元时，公寓会全部租出去当租元时，公寓会全部租出去当租金每月增加金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费而租出去的房子每月需花费20元的整修维护元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？费试问房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套，1018050 x每月总收入为每月总收入为)(xR)20(x 1018050 x 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(x

17、xxR570 x 0)(xR350 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为 1035068)20350()(xR)(10890 元元 点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例4 4形面积最大形面积最大所围成的三角所围成的三角及及线线处的切线与直处的切线与直使曲线在该点使曲线在该点上求一点，上求一点，曲边曲边成一个曲边三角形，在成一个曲边三角形，在围围及抛物线及抛物线，由直线由直线808022 xyxyxyxy解解如图如图,),(00yxP设所求切点为设所求切点为为为则切线则切线PT),(2000 xxxyy ,20

18、0 xy ),0,21(0 xA)16,8(200 xxB),0,8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x,0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍去舍去 xx8)316(s.0.274096)316(为极大值为极大值 s.274096)316(最大者最大者为所有三角形中面积的为所有三角形中面积的故故 s小结小结1、单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用、单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立仍然成立.应用：利用函数的单调性

19、可以确定某些方程实应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式根的个数和证明不等式.2 2、极值是函数的局部性概念、极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)3、注意最值与极值的区别、注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.一、曲线凹凸

20、的定义二、曲线凹凸的判定三、曲线的拐点及其求法一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC定义定义的（或凸弧）的（或凸弧）上的图形是（向上）凸上的图形是（向上）凸在在那末称那末称如果恒有如果恒有的（或凹弧）的（或凹弧）上的图形是（向上）凹上的图形是（向上）凹在在那末称那末称恒有恒有点点上任意两上任意两如果对如果对上连续上连续在区间在区间设设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxx

21、IIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121 ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf二、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在一阶和二阶导数一阶和二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果

22、baxfxfbaxfxfbababaxf 例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x,0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0,(时，时，当当0 x,0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线),0.)0,0(点点是曲线由凸变凹的分界是曲线由凸变凹的分界点点注意到注意到,三、曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点曲线的拐点.定理定理 2 2 如果如果)(xf在在),(00 xx内存在二阶导内存在二阶导数数,则点则点 )(,00 xfx是拐点的必要条件是是拐点的必要条件是0)(0 xf.1 1、定义、定义注意注意

23、:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2 2、拐点的求法、拐点的求法证证,)(二阶可导二阶可导xf,)(存在且连续存在且连续xf ,)()(0两边变号两边变号在在则则xxfxf ,)(,(00是拐点是拐点又又xfx,)(0取得极值取得极值在在xxf ,条件条件由可导函数取得极值的由可导函数取得极值的.0)(xf方法方法1:1:,0)(,)(00 xfxxf且且的邻域内二阶可导的邻域内二阶可导在在设函数设函数;)(,(,)()1(000即为拐点即为拐点点点变号变号两近旁两近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxf

24、x 例例2 2.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1,0()2711,32().,32,32,0,0,(凹凸区间为凹凸区间为方法方法2:2:.)()(,(,0)(,0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2,0(cossin的拐点的拐点内内求曲线求曲线

25、xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy ,0 y令令.47,4321 xx得得2)43(f,0 2)47(f,0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2,0).0,47(),0,43(.)()(,(,)(000的拐点的拐点是连续曲线是连续曲线也可能也可能点点不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意:例例4 4.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx ,0,)0,(y内内但在但在;0,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在,0,),0(y内内在在.),0上是凸的上是凸的曲线在曲

26、线在.)0,0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 四、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1,2.一、渐近线二、图形描绘的步骤三、作图举例一、渐近线定义定义:.)(,)(一条渐近线一条渐近线的的就称为曲线就称为曲线那么直线那么直线趋向于零趋向于零的距离的距离到某定直线到某定直线如果点如果点移向无穷点时移向无穷点时沿着曲线沿着曲线上的一动点上的一动点当曲线当曲线xfyLLPPxfy 1.1.铅直渐近线铅直渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线垂直于垂直于 x.)()(lim)(lim000的一条铅直渐近线

27、的一条铅直渐近线就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条:.3,2 xx2.2.水平渐近线水平渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线平行于平行于 x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条:.2,2 yy3.3.斜渐近线斜渐近线.)(),(0)()(lim0)()(lim的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybaxybabaxxfbax

28、xfxx 斜渐近线求法斜渐近线求法:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy 注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不存在斜渐近线不存在斜渐近线可以断定可以断定xfy 例例1 1.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf解解).,1()1,(:D )(lim1xfx,)(lim1xfx,.1是曲线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx,2 2)1

29、()3)(2(2limxxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx,4.42是曲线的一条斜渐近线是曲线的一条斜渐近线 xy的两条渐近线如图的两条渐近线如图1)3)(2(2)(xxxxf二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步 确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域,对函数进行奇对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的一阶导数求出函数的一阶导数)(xf和二阶导数和二阶导数)(xf;求求出出方方程程0)(xf和和0)(xf 在在函函数数定定义义域域内内的的全全

30、部部实实根根，用用这这些些根根同同函函数数的的间间断断点点或或导导数数不不存存在在的的点点把把函函数数的的定定义义域域划划分分成成几几个个部部分分区区间间.第三步第三步 确定在这些部分区间内确定在这些部分区间内)(xf和和)(xf的符的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点凸与拐点（可列表进行讨论）；可列表进行讨论）；第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势渐近线以及其他变化趋势;第五步第五步 描描出出与与方方程程0)(xf和和0)(xf的的根根对对应应的的曲曲线线上上的的点

31、点，有有时时还还需需要要补补充充一一些些点点，再再综综合合前前四四步步讨讨论论的的结结果果画画出出函函数数的的图图形形.并并作作图图。极极值值、拐拐点点、渐渐进进线线，的的增增减减性性、凸凸凹凹性性、讨讨论论函函数数 xxey 列表列表)(,：定定义义域域 解解 )(xeyx yxlim曲线过点曲线过点(0,0)xeyx )(12(1,2)(,)(2 ,00+e exyyy+驻点：驻点：x=1x=210.10.函数作图函数作图 极大值极大值(拐点拐点)故故 y=0为水平渐近线为水平渐近线因因图形图形：X0y1渐进线渐进线：y=0(0,0)1,1(e)2,2(2e2xxey .10.(x +)e

32、 列表列表：定定义义域域 y yxlim xxy )(,)21(,xyyy.对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图：xxy xx解解 x所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 x=0=00(拐点拐点)+因因（牛顿三叉戟线）（牛顿三叉戟线）x x ),(21)21(,00+3极小值极小值+yxlim11.11.0 .间断点间断点0 xy 3 牛顿三叉戟线牛顿三叉戟线11.11.xxy列表列表：定定义义域域 y yxlim xxxy4)()(xyyy.对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图：)(xx解解所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 y=0=0，因因 +0 )(xxy

33、xx 及及因因 y(x)=y(x)，图形关于原点对称。图形关于原点对称。1010(拐点拐点)间断点间断点间断点间断点+及及 x=1，x=1x=012.12.0 xy11 )(xxy 12.12.列表列表：定定义义域域 y y )(,xyyy 对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图：xx解解,),（所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 y=00最小值最小值+因因 不不 xxyarccos图形关于图形关于y轴对称轴对称.xxxarccoslim x )(f 2)0(f=2 0 020 x12limx )0(f20 x12limx =2 不不2)0(f.0 xyarctan2 xxyar

34、ccos13.13.对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图：列表列表：定定义义域域 y ,yx1lim xxxy )()()(,),xyyy+.对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图：xxy )(xxx xxxx xx解解),）（(在定义域内在定义域内),yx 1lim所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 y=1及及 x=-1=-110最小值最小值+因因 不不+0114.0 xy111渐进线渐进线 y=1(1,0)渐进线渐进线 y=1图形图形:.14.列表列表：定定义义域域 y,xyx1lim xxy2)(xyyy.xx解解故曲线有渐近线故曲线有渐近线 y=x+和和 y

35、=x.因因 +0因因 y(x)=y(x)，图形关于原点对称。图形关于原点对称。1010(拐点拐点)极大值极大值极小值极小值+）（,x1 00+.,xyx )(lim,xyx )(lim对函数进行全面讨论并画图对函数进行全面讨论并画图:y=x 2arctan xx=015.15.0 xy 11y=x 2arctan x15.15.对函数进行全面讨论并画图对函数进行全面讨论并画图:列表列表：定定义义域域 y ykx)(lim xxxy cos)sinsin()2(,+xyyy0 xxx cos)sin(sin0 0 解解)(kx 无实根无实根所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 1极大值极大值因因),(,k 函数是周期函数，函数是周期函数，而且是偶函数。而且是偶函数。周期为周期为2 2 ；x只须讨论只须讨论0)2(,0+1极小值极小值)(kx)(,k .对函数进行全面讨论并画图对函数进行全面讨论并画图:xxy coscos2,2()2,0 x=0,16.16.,0 xyxxy coscos2 1 3 2 由对称性由对称性由周期性由周期性16.16.对函数进行全面讨论并画图对函数进行全面讨论并画图:0 xyxxy coscos2 1 3 2 由对称性由对称性由周期性由周期性16.16.-3 对函数进行全面讨论并画图对函数进行全面讨论并画图: