第二类曲面积分课件.ppt

1、 第十章第十章 第五节第五节机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二类曲面积分第二类曲面积分二、第二类曲面积分的二、第二类曲面积分的概念与性质概念与性质一、有向曲面一、有向曲面三、第二类曲面积分的三、第二类曲面积分的计算计算1-一、有向曲面一、有向曲面观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2-n曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面;2.2.单侧曲面单侧曲面.典典型型双双侧侧曲曲面面机动机动 目录目录 上页上

2、页 下页下页 返回返回 结束结束 3-莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:播放播放机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4-侧曲面。侧曲面。单单为双侧曲面。否则称为为双侧曲面。否则称为没有改变，则称没有改变，则称的方向的方向点时，点时，到到越过边界移动，最后回越过边界移动，最后回上不上不点出发，在点出发，在，若动点从，若动点从，记为，记为向向，取定一个指，取定一个指处的法向量有两个指向处的法向量有两个指向在在上任意一点，上任意一点，为为为一光滑曲面，为一光滑曲面，设设 nMMnMM定义：定义：用曲面用曲面法向量的指向法向量的指向规定曲面的规定曲面的侧侧，规定了侧

3、的曲面称为规定了侧的曲面称为有向曲面。有向曲面。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5-曲面侧的具体规定如下：曲面侧的具体规定如下：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6-机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 正、负侧分别记为正、负侧分别记为 ，。7-二、第二类曲面积分二、第二类曲面积分引例引例:流体流向曲面一侧的流量流体流向曲面一侧的流量.Av0n A cosvA 流量流量机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 AvnvA 08-xyzo 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 kz

4、yxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(解：解：利用微元法利用微元法分割、近似、求和、取极限分割、近似、求和、取极限9-xyzo iS),(iii ivin则该点流速为则该点流速为iv单位法向量为单位法向量为 .0in机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1.1.分割分割10-).,2,1(0niSnviii ,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii 3.3.求和求和 niiiiSnv10kjiniiii coscoscos0 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.2.近似近似则该点流速为：则该点流速

5、为：11-iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 )(,()(,()(,(1xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP 3.3.取极限取极限0.的精确值的精确值取极限得到流量取极限得到流量)(,()(,()(,(lim10 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP niiiiSnv100lim 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 12-设设 为光滑的 为光滑的有有向曲面，取定一侧，记这一侧的向曲面，取定一侧，记这一侧的单位法向量为单位法向量为),(0zyxn。又设向量函数。又设向量函数),(zyxF在 上在

6、上有有定义定义。把。把 任意分成 任意分成 n块小曲面块小曲面iS(iS 同时又表示同时又表示第第i块小曲面的面积块小曲面的面积),),),(iii 是是iS 上任上任意意取定的一取定的一点，点，),(0iiin 表示该点处的单位法向量，表示该点处的单位法向量，作和式：作和式：第二类曲面积分的定义：第二类曲面积分的定义：niiiiiiiiSnF10),(),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如果当各小块曲面的直径的最大值如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时时,上面和式上面和式有极限（极限值与区域的分法和点的取法无关）有极限（极限值与区域的分法和点的取法无关），则称

7、则称此此 13-极限值为向量函数极限值为向量函数 ),(zyxF 在有向曲面在有向曲面 上沿指定 上沿指定一侧一侧 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分（或或第二类曲面积分第二类曲面积分，或或向量场向量场上的面积分上的面积分），），记作记作：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 001lim(,)(,)niiiiiiiiFnS dSzyxnzyxF),(),(0 SdzyxF),(（0dSn dS 称为有向面积元素）称为有向面积元素）当当 是封闭曲面时，是封闭曲面时，第二类曲面积分常记作第二类曲面积分常记作 SdzyxF),(dSnF014-两类曲面积分之间的关系两类曲面积分

8、之间的关系机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0coscoscosF n dSPQRdS (,)(,),(,),(,)F x y zP x y z Q x y z R x y z 若若 0(,)cos,cos,cosnx y z ，则则,cosdSdydz ,cosdSdzdx dSdxdy cos 则则15-zyPdd xzQdd称为称为Q 在有向曲面在有向曲面 上上对对 z,x 的曲面积分的曲面积分;yxRdd称为称为R 在有向曲面在有向曲面 上上对对 x,y 的曲面积分的曲面积分.称为称为P 在有向曲面在有向曲面 上上对对 y,z 的曲面积分的曲面积分;机动机动

9、目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0coscoscosF n dSPQRdS PdydzQdzdxRdxdy 第二类曲面积分的坐标表示第二类曲面积分的坐标表示 其中：其中：16-第二类曲面积分存在的必要条件第二类曲面积分存在的必要条件:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明：说明：dSzyxnzyxv ),(),(0d dd dd dP yzQ zxR x y 17-基本性质：基本性质：dSnFkdSnFkdSnFkFk02201102211)(（1 1）线性性质：）线性性质：21000dSnFdSnFdSnF机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返

10、回返回 结束结束 18-机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：,Fx y z 设设，则则0QF n dS 0/F n 因因为为，且且同同向向，0|F nF 所所以以a 0QF n dS adS adS a表表面面积积34 a 01,nx y za 事事实实上上，容容易易求求得得：19-机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：32,2,3 n532,52,530 n dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(dSzyxRQzyxP),(322),(3(5120-三、第二类曲面积分的计算法三、第二类曲面积分的计算法)

11、,(yxzz xyDxyzoxyS)(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 n21-有有向向曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦为为 ,1cos22yxxzzz dxdyzzdSyx221 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,1cos22yxyzzz .11cos22yxzz 22-机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dSnF 0 RdxdyQdzdxPdydz dSRQP coscoscos xyDyxzyxzyxQzyxzyxP)(),(,)(),(,dxdyyxzyxR1),(,则则23-其中：若其中：若 取

12、上侧，取正号，取上侧，取正号，取下侧，取负号。取下侧，取负号。RdxdyQdzdxPdydz xyDyxzyxzyxQzyxzyxP)(),(,)(),(,dxdyyxzyxR1),(,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 合一投影法合一投影法24-其其中中：若若 取取前前侧侧，取取正正号号，取取后后侧侧，取取负负号号。RdxdyQdzdxPdydz yzDyxzyzyxQzyzyxP)(,),(1,),(dydzxzyzyxRz)(,),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 合一投影法合一投影法25-其其中中：若若 取取右右侧侧，取取正正号号，取

13、取左左侧侧，取取负负号号。RdxdyQdzdxPdydz zxDxzxzyxQyzxzyxP1),(,)(),(,dzdxyzxzyxRz)(),(,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 合一投影法合一投影法26-若若,),(,),(:zyDzyzyxx 则有则有 zyzyxPdd),(),(zy,PzyD ),(zyxzydd 若若,),(,),(:xzDxzxzyy 则有则有 xzzyxQdd),()z,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后负前正后负)(右正左负右正左负)说明说明:yxzyxRdd),(),(yxDyxR),(yxzyxdd机动机动 目录目录 上页

14、上页 下页下页 返回返回 结束结束 若若,),(,),(:yxDyxyxzz 则有则有(上正下负上正下负)分面投影法分面投影法27-机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解:,:1取上侧取上侧az ,:222取下侧取下侧yxz 1321zdxdyydzdxxdydzQdxdyaxyD 333 a 222:ayxDxy 合一投影法合一投影法 xyDyxdxdyazyzx3)(2)(oxyza h28-xyDdxdyyxyx22222 dda 0222220sincos23a 21QQQ 333aa 32 a 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 23

15、22zdxdyydzdxxdydzQ xyDyxdxdyyxzyzx3)(2)(22,:222取下侧取下侧yxz 222:ayxDxy 合一投影法合一投影法29-机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解1:的的方方程程化化为为：21yx ，yzDzy),(o311 yzDyzdydzxzxyzyIyzDzy )()()1(22dydzyyzyyzD 1)1(232关于关于 y 是奇函数是奇函数dyyzdz 10230)1(26 30-在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧为平面为平面为连续函数为连续函数其中其中计算计算1,),(,),(),(2),(zyxzyxfdx

16、dyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例5 5：xyoz111 解解1 1yxz 1:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xyDxzyxfI1),(xyDdxdy.21)1(),(2 yzyxfdxdyyxzyxf1),(合一投影法合一投影法31-在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧为平面为平面为连续函数为连续函数其中其中计算计算1,),(,),(),(2),(zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfIxyoz111 解解2 2 利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系,1,1,1 n的法向量为的法向量为.31

17、cos,31cos,31cos 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),(31xzyxfI dSzyx)(31 xyDdxdy3131.21 dSzzyxfyzyxf),(31),(231 例例5 5：32-例例 6 6：计算计算 xyzdxdy，其中，其中 是球面是球面 1222 zyx 外外侧在侧在 0,0 yx 的部分的部分。解解:两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 根据对称性根据对称性0dd yxxyz 思考思考:下述解法是否正确下述解法是否正确:

18、注意：第二类曲面积分没有奇偶对称性！注意：第二类曲面积分没有奇偶对称性！33-12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyDdxdyyxxy221 xyDdxdyyxxy2212 1022401cossin2 dd机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xyDdxdyyxxy)1(22xyz2 1 152;1:2211yxz ,1:2222yxz 34-说明：说明：类似地，若类似地，若 垂直于垂直于yoz平面时，平面时，0 Pdydz；若若 垂直于垂直于zox平面时，平面时，0 Qdzdx。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 35-机动机动

19、目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 36-uvDvuzyvuzvuyvuxP),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(vuxzvuzvuyvuxQ dudvvuyxvuzvuyvuxR),(),(),(),(),(37-机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xzy上上1 下下1 左左2 右右2 前前3 后后3 解解:yxxzdd)(上上1dd)(yxxz yxDyxxadd)2(yxxz 下下1dd)(yxxayxD dd)2(yxDyxadd3a 同理：同理：dzdyyx )(dzdxzy )(3a 所以：所以：原式原式33a 分面投影法

20、分面投影法38-例例8 8：求求1:222222 czbyax取外侧取外侧 .解解1:1:zyxdddxdycyxDbyax,2222111dxdycyxDbyax,2222111222221dd1xyDxycxyab ,sin,cos byax ddddbayx d1d210220 abc21c cba 4 注意注意号号1:2222 byaxDxy其中其中机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,ddddddzyxyxzxzyI 分面投影法分面投影法39-zyxdd21c cba 4 类似的类似的 xzydd21a cba 4 yxzdd21b cba 4 222111c

21、ba cbaI 4 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 向向 yoz 平面投影平面投影向向 zox 平面投影平面投影分面投影法分面投影法1:222222 czbyax40-例例8 8：求求1:222222 czbyax取外侧取外侧 .解解2:2:其中其中机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,ddddddzyxyxzxzyI 椭球面的参数方程椭球面的参数方程sincossinsincosxaybzc 200 ijkxyzxyzcoscoscossinsinsinsinsincos0ijkabcab 22sincos,sinsin,sincos bc

22、acab 41-机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ()sinDbcacabd dabc 2sincos(sincosDbca sincos)cosabd dc 2221114()abcabc d dd dddyzzxxyIxyz 2sinsinsinsinacb 200()sinbcacabddabc (,)(,)(,),(,)(,)(,)y zz xx y 即即22sincos,sinsin,sincos bcacab 42-机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解2:cos,sin,0 zzzijkxyzxyzsincos0001ijk 4

23、3-机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 cos,sin,0 22Ix zdydzy dzdxzdxdy (,)(,)(,),(,)(,)(,)y zz xx yzzz即即33(cossin)zDzd dz 333202(cossin)dzdz 33202cosdzdz 奇函数奇函数32092cos2d 92223 6 44-四、内容小结四、内容小结定义定义:yxRxzQzyPdddddd zyiiiiniSP ),(lim10 yxiiiiSR ),(xziiiiSQ ),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 联系联系:yxRxzQzyPdddd

24、dd SRQPdcoscoscos 45-则则其中：若其中：若 取上侧，取正号，取上侧，取正号，取下侧，取负号。取下侧，取负号。RdxdyQdzdxPdydz xyDyxzyxzyxQzyxzyxP)(),(,)(),(,dxdyyxzyxR1),(,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1.1.合一投影法合一投影法计算计算:其它情况类似。其它情况类似。46-yxDyxyxzz ),(,),(:时，时，yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上侧取（上侧取“+”,+”,下侧取下侧取“”)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 当当2

25、.2.分面投影法分面投影法其它情况类似。其它情况类似。注意：注意：在第二类曲面积分中，由于积分与曲面的侧有在第二类曲面积分中，由于积分与曲面的侧有关，因此要慎用对称性。一般的讲，应在曲面积关，因此要慎用对称性。一般的讲，应在曲面积分化为二重积分后再考虑能否利用对称性来化简分化为二重积分后再考虑能否利用对称性来化简计算。计算。47-作业作业习题习题9-5(P288)2，5，6，7，9机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 48-1 1、计算计算 zdxdydydzxz )(2，其中，其中 是旋转抛 是旋转抛物面物面 )(2122yxz 介于平面介于平面 0 z及及 2 z 之

26、之间的部分的下侧间的部分的下侧.解：解：dydzxz)(2 zdxdy dxdyzzxzxyDx )(2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 合一投影法合一投影法备用题备用题49-xyDdxdyyxxxyx)(21)()(4122222 xyDdxdyyxx)(21222 2022220)21cos(dd.8 xyDdxdyyxxxyx)(21)(41222222机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 关于关于 x 是奇函数是奇函数dxdyzzxzxyDx )(2422 yxDxy：)(2122yxz 50-机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回

27、返回 结束结束 解解1:，31,32,320 n)6222(3120 yxxxynFdSnF )(0dSyxxxy )6222(312dxdyyxxxyxyD )6222(2dyyxxxydxx 30230)6222(33xyoxyD3 yx427 dxdydS3 51-机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解2:dSnF )(0dxdyzxdzdxxxydydz )(2dxdyyxxxyxyD )2622(2yxz226:dyyxxxydxx 30230)2622(427 33xyoxyD3 yxdxdyzxzxzxyxyDyx )()()(252-yxz1113 3

28、、设设,1:22yxz 是其外法线与是其外法线与 z 轴轴正向夹成的锐角正向夹成的锐角,计算计算.dcos2 SzI 解解1:1:1,yxzzn 1,1,12222yxyyxx n机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,1,220yxyxn 221cosyx 53-yxz111 SzIdcos2 d)1(d21020 2 yxDyxyxdd)1(22n机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 222:ayxDxy ,122yxz ：221cosyx Syxd)1(322dxdyyxdS2211 54-yxz1113 3、设设,1:22yxz 是其外法线与

29、是其外法线与 z 轴轴正向夹成的锐角正向夹成的锐角,计算计算.dcos2 SzI 解解2:2:SzIdcos2 yxzdd2 d)1(d21020 2 yxDyxyxdd)1(22n机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 222:ayxDxy 55-莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 56-莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 57-莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

30、58-莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 59-莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 60-莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 61-莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 62-莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 63-莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲

31、面单侧曲面:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 64-莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 65-莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 66-莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 67-莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 68-莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 69-莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 70-莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 71-