振动理论及工程应用7-第七章-弹性体的复杂振动课件.ppt

1、 当外加载荷在梁横截面的主惯性轴平面内时，当外加载荷在梁横截面的主惯性轴平面内时，梁只在该平面内发生振动；如果外加载荷不在主惯梁只在该平面内发生振动；如果外加载荷不在主惯性轴的平面内，则可将载荷分到两个主惯性轴上去，性轴的平面内，则可将载荷分到两个主惯性轴上去，于是梁将在两个平面内发生振动；两个方向的振动于是梁将在两个平面内发生振动；两个方向的振动将发生耦合，此时称为将发生耦合，此时称为双向振动双向振动。如果梁横截面的主惯性轴方向不随如果梁横截面的主惯性轴方向不随x发生改变，发生改变，则该两个方向的振动为互相独立的主振动，可以按则该两个方向的振动为互相独立的主振动，可以按照前面所介绍的方法分别

2、求解，然后再叠加。此类照前面所介绍的方法分别求解，然后再叠加。此类振动又称为弹性体的复杂振动。振动又称为弹性体的复杂振动。7.1梁的双向耦合振动梁的双向耦合振动vv x tww x t(,),(,)以梁变形前的弹性轴线为以梁变形前的弹性轴线为x轴，建立坐标轴，建立坐标Oxyz如图如图7-1所示所示。梁上沿。梁上沿y向和沿向和沿z向分别作用有单位长度的分布载荷向分别作用有单位长度的分布载荷py(x,t)，pz(x,t)。梁上任一点梁上任一点a的位置由其在变形前的坐标的位置由其在变形前的坐标x、y、z来确定，梁在双向振动中弹性轴线上各点沿来确定，梁在双向振动中弹性轴线上各点沿y、z方向的位方向的位

3、移表示为移表示为梁上任一点梁上任一点a的位移的几何关系为的位移的几何关系为 wwvvwzvyuaaaa点的轴向应变及应力为xxaxEwzvyxu ,于是梁的动能及势能为 lyzyzVxxlVxwEJwvEJvEJVUxwvAVwvT02202222d)(2)(21d21d)(21d)(21主动力的虚功为)()()0()0()()()0()0(d)(0lMlMMMlQlQQQxppWvl zwl yvozwoywl zvl ywozvoylwzvy应用哈密顿原理0dd)(2121tttttWtUT由梁两端的力的边界条件，可得梁的双向振动微分方程 E J vJwAvpx tE JvJ wAwpx

4、tzy zyy zyz()(,)()(,)这两个方程是互相耦合的，只有当时才退化成为各自独立的振动微分方程。7.2 梁的弯曲和扭转的耦合振动 如果梁的截面对称，截面形心与质心吻合，用y、z作为截面的两个主惯性轴，x为通过截面形心沿梁长的轴。则当梁在y、z方向进行自由振动时，惯性力正好通过截面形心并与主惯性轴重合，此时不会产生扭转力矩，梁也不会发生扭转振动。如果梁的横截面不对称或虽对称但截面形心与质心不重合，则运动时的惯性力将对截面的挠曲中心产生力矩作用，从而使梁产生扭转变形，于是梁产生弯曲扭转的耦合弯曲扭转的耦合振动振动。由图表示某一梁的横截面，O为挠曲中心，C为质心，y、z轴为通过挠曲中心O

5、且平行于主惯性轴的两个轴，y0、z0为通过C点平行于y、z的两个轴，设b=OC，表示OC与z轴的夹角，当梁进行弯曲扭转耦合振动时，以y、z表示挠曲中心O的位移，以表示截面的转角，y、z表示质心的位移。对于微幅振动，很小，则质心坐标为 sin,sincos,cosbzzbzzbyybyy 利用质心运动定理和绕挠曲中心的转动方程，并借助前面讨论的梁弯曲振动微分方程，得到 0cos222244tAbtyAxyEJz0sin222244tbAtzAxyEJy0sincos22222222tyAbtyAtJxGJop设梁作主振动，令其解为y x tYptz x tZptx tptxxx(,)sin,(,

6、)sin,(,)sin.将其代入上式得0)cos(dd2244xxxzAbpYApxYEJ0)sin(dd2244xxxyAbpZApxZEJ0)sin()cos(dd22222xxxoxpZAbpYAbppJxGJ 根据边界条件便可得到频率方程。从而得到固有频率和振型，通过以上的分析可以看到，弯曲扭转耦合振动，在求解其固有频率时，理论上并不困难，但计算工作量十分大，常常采用计算机分析与运算。7.3薄板的横向振动 假定板的厚度h不变，而且比其它尺寸小的很多，便称之为薄板，如图所示。平分板厚的中间平面称为中面中面，以中面为Oxy平面，如图所示的空间直角坐标系。当薄板弯曲变形时，中面弯成曲面，称为

7、弹性曲面弹性曲面，板上任意一点沿x、y、z方向的位移分别用u、v、w表示，其中w称为横向位移或挠度。基本假设(1)变形前与中面垂直的法线在板弯曲时仍保持为直线直线并与弹性曲面垂直。这个假设称为直法线假设直法线假设，即忽略不计剪应变。(2)板弯曲时板内的应力以弯曲应力为主，而剪应力为次要应力，z为更次要应力。(3)板弯曲时厚度的变化略去不计。于是与中面垂直的直线上各点都具有相同的横向的位移w，即w与z无关。(4)板的挠度w比板的厚度h小得多。由这个假设认为，板弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面中性面，因而中面内各点都没有平行于中面的位移。经过系列推导，薄板横向振动微分方程薄板横向振动微分方程

8、为),()2(2244224440tyxptwhywyxwxwD其中)1(12230EhDp(x，y，t)是分布在单位面积上的激振力 为单位体积薄板的质量，根据边界条件便可得到频率方程。从而得到固有频率和振型，在求解其固有频率时，理论上并不困难，但计算工作量十分大，常常采用计算机分析与运算。例7-1 四周简支的长方形薄板边长分别为a、b，如图所示，试求固有频率和振型表达式。解：在式中令p(x，y，t)=0，便得到薄板自由振动微分方程0)2(2244224440twhywyxwxwD利用边界条件可求得固有频率的表达式,2,1,)(022222,jihDbjaipji相应的部分振型图 例7-2 四

9、周简支的正方形薄板边长为a，试求固有频率和振型表达式。解：利用例7-1的结果，令b=a，得到正方形板的固有频率为,2,1,)(02222,jihDajipji 显然，当ij时，每个固有频率至少是频率方程的二重根，即有fij=fji在二重根的情况下，Wij与Wji都是对应于同一个固有频率的主振型，因此相应于固有频率fij的主振型为Wij 与Wji 的线性组合，WAWBWi jj i,部分振型图如图所示 对应于固有频率p2,1的振型图对应于固有频率p3,1的振型图对应于固有频率p4,1的振型图例7-3 试求圆形薄板的横向振动的固有频率和振型表达式。解：分析圆形薄板的横向振动，采用极坐标最方便，如图

10、所示。极坐标与直角坐标的变换关系为xyyxr1222tan薄板振动方程在极坐标系中表示为 D0)11(22222rrrr)11(22222rrrr022twhw其中),(trww设圆板的主振动为 w rtW rpt(,)(,)sin()根据边界条件便可得到频率方程。从而得到固有频率和振型，在求解其固有频率时，理论上并不困难，但计算工作量十分大，常常采用计算机分析与运算。部分振型图如图所示 以上只是对能够求出解析解和近似解析解的较为简单的弹性结构的复杂振动进行了论述，但对结构比较复杂的振动弹性系统，用解析方法求出系统的解析解就很困难了，所以对于比较复杂的弹性系统的振动问题是借助于比较流行的有限元进行解决，其效果是比较理想的，它也是在工程中常用的工具之一。