工程力学上课件.ppt

1、 直播课堂6 姚志刚一、本章主要知识点 1截面内力及符号 2内力图 3荷载和剪力、弯矩的对应图形关系 4叠加法作弯矩图、剪力图 5分段叠加法作弯矩图 6静定梁作内力图 7刚架作内力图 8三铰拱的计算 9桁架的计算 （一）截面内力及符号 物体因受外力作用，在物体各部分之间所产生的相互作用力称为物体的内力。对内力的正、负号作如下规定：轴力符号：当截面上的轴力使分离体受拉时为正；反之为负。剪力符号：当截面上的剪力使分离体作顺时针方向转动时为正；反之为负。弯矩符号：当截面上的弯矩使分离体上部受压、下部受拉时为正，反之为负。当所有外力（包括已知荷点，通过平衡方程求出的所有支座约束反力）已知时，通过三个独

2、立的平衡方程可求解三个内力。截面法是结构力学计算最基本的方法。+教材例63（P73）一外伸梁如图所示。求截面11及截面22的剪力和弯矩。mNqNP/4,10222PqAB121 解：1求梁的支座反力。由整体平衡可求：2求11截面上的内力 杆上外力均为已知，可求任意截面的内力。如截面11，取左段为分离体，如图所示。NYNYXBAA15,3,0YAQ1PM12m1m 由 由 由 求截面11内力也可取左段为分离体，其结果见教材。3求22截面上的内力。（见教材）0,01NX)(71524,01NQY01M)(12241151mNM4Q2M21l（二）内力图l 内力图为表示内力随横截面的位置变化的函数的

3、图形。l 一般取杆轴线为坐标轴，横截的位置选择用X表示，则梁的各个横截面上的内力可以表示为X的函数，函数图形即内力图。l教材例67（P76）l 简支梁AB受一集度为q的均布荷载作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。l 分析：取左边X长的分离体，X处截面的内力按正方向假设，用平衡方程求解。qLMQ+-qL2/8qL/2qL/2qL/2qL/2l 解：l （1）求梁的支座反力l 由整体平衡可求：l（2）取距A端X处的C截面，标出 。解得：l l l 2,0qlYYXBAACACACAQNM,222)(qxxqlMx0)(xNqxqlQx2)(CQ(x)M(x)xAl M图为二次抛物线，确定X0，L/2及

4、L处M值可确定M的函数图形。l Q图为直线形，确定X0，L处Q值即可确定Q图。MQ+-qL2/8qL/2qL/2l 根据内力图的特征，除均布荷载q作用下的M点为二次抛物线外，其余情况均为直线段。因此，可以不需列出函数方程，直接确定直线段内力图的控制点值，即荷点作用不连续点的截面内力连接直线即可。l 均布荷点作用段内M图再确定一中间值即可画出二次抛物线。按建筑力学的习惯，M图画在杆件弯曲变形时受拉一侧。l 画出M图。弯矩最大值在梁的中点，为 ql2/8 ；l 画出Q图。剪力最大值在梁端，为ql/2。l（三）荷载与剪力、弯矩的对应图形关系l 纯弯曲：剪力图为零，弯矩图为一水平直线。l q0：剪力图

5、为一水平直线，弯矩图为一斜直线。PL/2L/2MQ+-PL/4P/2P/2qLMQ+-qL2/8qL/2qL/2l q常数:剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。l 集中力：剪力图为一水平直线，P作用处有突变，突变值等于P。弯矩图为一折线，P作用处有转折。PabLPab/4MQPb/LPa/L+-mL/2L/2MQ+-+M/2M/2m/Ll 集中力偶：剪力图为一水平直线，力偶作用处无变化。弯矩图为水平线，力偶作用处有突变，突变值等于集中力偶。l教材例610（P81反）l 外伸梁如图所示，已知 ，试画出该梁的内力图。222PqAB121CDkNpmkNq15,/5kNYkNYDB5,20l 分 析

6、：例 中，整 体 平 衡 可 求解 ，则A、B、C、D为外力不连续点，作为控制截面。l 在集中力P，或支座反力处剪力有突变，所以控制截面截取应B左、B右、C左、C右，D右支座反力即作用于CD杆端的剪力。)0(,DDBXYYl Q图由控制点A、B左、B右、C左、C右的值之间连直线得到。l 解：l （1）求梁的支座反力l kNYkNYDB5,20l （2）画弯矩图：l 求控制截面的弯矩值，取AB杆的分离体。l l 杆上侧受拉。l 取CD杆的分离体：l （铰支端）l l 杆下侧受拉。)(102202mkNqMMBAAB0DCM)(1025mkNMCDl 确定A、B、C、D四点M值：l BC，CD间无

7、均布荷载q，直接联直线；l A B 间 有 均 布 荷 载 q,确 定 中 点 值 为2.5KN/m,可由三点确定抛物线。（2）画弯矩图：连接控制截面的弯矩值，如图:l M图AB段的端点值即MA、MB的中间值由 l 确定，作抛物线。M图lBD段的端点值即MB、MD的中间值由 确定，用直线连接。l如在的连线上叠加的二次抛物线，或在的连线上叠加的三角形的底边，简单拼合，显然不能对齐。28q2BAMML42PLMMDBl轴力为零不考虑。l杆端作用剪力、弯矩与相应简支梁两端作用弯矩受力情况完全相同，即对应。所以任意分段均可同叠加法作M图。M图10kNm10kNmABCDl （3）画剪力图：取控制截面如

8、图。l 计算剪力：取分离体如图。l AB：QAB=0（自由端）l l CD：l l BC：l QBCl l QCB5-P=-10102qQBA55DCCDDCQQQ10220ql 剪力图如图所示。l 在已荷点和所有反应力的情况下，可以取分段分离体求剪力控制截面值，但如果M图已知，不求约束反力也可确定分段杆端的剪力控制截面值。l l l 10kN10kN5kN-+ABCDPL/2L/2MQ+-PL/4P/2P/2qLMQ+-qL2/8qL/2qL/2PabLPab/4MQPb/LPa/L+-mL/2L/2MQ+-+M/2M/2m/L当梁上有几项荷载作用时，梁的反力和内力可以这样计算：先分别计算出

9、每项荷载单独作用时的反力和内力，然后把这些计算结果代数相加，即得到几项荷载共同作用时的反力和内力。2q81LPqL+P+qLMQ+PqPqLPL1/2 qL2PL+1/2qL2 上图悬臂梁上作用有均布荷载和集中力。梁的反力和内力都是由两部分组成。各式中第一项与集中力P有关，是由集中力P单独作用在梁上所引起的反力和内力；各式中第二项与均布荷载q有关，是由均布荷载q单独作用在梁上所引起的反力和内力。两种情况的叠加，即为二项荷载共同作用的结果。这种方法即为叠加法。l 剪力图：l 集中力P单独作用时为一水平直线，均布荷载q单独作用时为一斜线；两种情况叠加后即为共同作用的结果，如上图。l 弯矩图：l 集

10、中力P单独作用时为一斜线，均布荷载q单独作用时为抛物线；两种情况叠加后即为共同作用的结果，如上图。l 分段叠加法作弯矩图l 直杆弯矩图分段叠加，简化绘图工作，适用于多跨梁、刚架的弯矩图的绘制。l教材例610（P81反）l 外伸梁如图所示，已知 ，试用叠加法画出该梁的M图。222PqAB121CDkNpmkNq15,/5kNYkNYDB5,20M图10kNm10kNmmk1541525.041NPL10kN10kN5kN-+l 简支梁作用有均布荷载ql 简支梁作用有中点的Pl 悬臂梁作用有均布荷载ql 悬臂梁作用有端点的Pl 简支梁作用有非中点的Pl 简支梁作用有中点的mP/2qLMQ+-qL2

11、/8qL/2qL/2 （1）简支梁作用有均布荷载q 简支梁作用有均布荷载q的弯矩图为一抛物线，其中点弯矩为。（2）简 支 梁 作 用 有 中 点 的 P 简支梁作用有中点的P的弯矩图为一折线，在集中力P作处产生折点，其值为。PL/2L/2MQ+-PL/4P/2简支梁作用有中点的PmL/2L/2MQ+-+M/2M/2m/LPabLPab/4MQPb/LPa/L+-MQ+PPPL+qqL1/2 qL2l悬臂梁作用有均布荷载ql悬臂梁作用有端点的Pl（5）悬臂梁作用有均布荷载q 悬臂梁作用有均布荷载q的弯矩图为一抛物线，其值端点为零、固定端为。l（6）悬臂梁作用有端点的P 悬臂梁作用有端点的P的弯矩

12、图为一斜线，其值端点为零、固定端为PL。l简支梁上作用有均布荷载q，其两端作用有 弯矩，用叠加法作弯矩图。BAMM,MAMAMBMBqqLL+2q81LMAMBl 原结构作用有两种荷载弯矩和均布荷载。将原结构分解为由弯矩与均布荷载分别作用的两种情况，如图所示。AMBM82ql+282BAMMqlAMBMMAMAMBMBqqLL+2q81LMAMB中点M=2q812LMMBA2q81LMAMB即：+l 分段叠加法作弯矩图:杆端弯矩图叠加上简支梁上对应荷载（均布荷载q或中点集中力P）的标准弯矩图；l 叠加：是指弯矩图纵坐标的代数和，而不是弯矩图的简单拼合。l分段叠加法作弯矩图的方法如下：l分段叠加

13、法作弯矩图的方法：l（1）求控制截面的弯矩值（全部荷载作用）l 控制截面一般取外力不连续点（如：均布荷载q的端点、P作用点和集中力偶M作图点的左、右）。l （2）分段画弯矩图l 控制截面内无荷载连直线；l 控制截面内有荷载（q或中点P）连虚线，再叠加相应的弯矩图。l剪力图可以由弯矩图取得：l 任取杆段AB，荷载及杆端弯矩已知，如图所示。l 则：，l ，l或由l ，分别为荷载对杆端A，B之矩的代数和。0BM)(10BBAABmMMlQ0AM0(1ABABAmMMlQ00,BAMMMAMBQABQBAPl 例610l 外伸梁如图所示，已知，试画出该梁的内力图。本例同例6-10反向222PqAB12

14、1CDl 解：l （1）求控制截面的弯矩值（全部荷载作用）；本题的控制截面为A、B、D截面。l A端为自由端，D端为铰支端，AB为悬臂梁，其控制截面弯矩如图，分段画弯矩图：M图10kNm10kNm1022002qMMMBDA 按取得A、B、D截面的弯矩值并连以虚线。在AB段的虚线上叠加均布荷载q的弯矩，如图所示。在BD段的虚线上叠加集中力P的弯矩，其值为：0,10,0DBAMMM1042PlMMMDBCl （2）由弯矩图画剪力图 AB段：分离体如图所示：l 00AABMQ10BAQ可得：101000BAAABQMQBAQA CD段：分离体如图所示：BC段：分离体如图所示：10)1010(21C

15、BBCQQ5)10(21DCCDQQ10)1010(21CBBCQQCBQBCQCBl剪力图：l 用A、B、C、D截面的剪力值取点并连以直线，得到本题的剪力图，如图所示。10kN10kN5kN-+ABCD 直播课堂7 姚志刚l 多跨静定梁按几何组成的相反次序求解，可避免解联立方程。l 多跨静定梁组成：l 基本部分能独立承受荷载的部分l 附属部分依赖于基本部分承受荷载的部分l教材例612（P82）l多跨静定梁如教材图所示。已知l 。试画出该多跨梁的内力图。（1）求支座反力，kNPmkNq10,/5kNYkNYkNYkNYFDBA5,1075.3,25.11ABCEFDq5P104m1221154

16、12211qP11P=102255510541q=5511.253.75l （2）作弯矩图：用叠加法l 求出控制截面的弯矩（A点、C点、E点、F点弯矩为零），连以直线；l 在AB段、EF段弯矩的直线上分别叠加均布荷载与集中荷载的弯矩，如教材P83（b）图所示即为结果。l（3）作剪力图l 分别求出控制截面A、B左、B右、D左、D右、集中荷载左右及F的剪力；连以直线，结果如教材P83图（c）所示。l利用形状特征直接画弯矩图：即利用四个标准弯矩图画多跨静定梁的弯矩图，如图所示*利用形状特征直接画M、Q图ABCEFDq510P104m1221112.655511.2553.7510+-11.258.7

17、5555M(kNm)Q(kN)11P=105552210541q=5511.253.75MQl1静定刚架作内力图l平面刚架是由梁与柱所组成的平面结构。横杆称为梁，竖杆称为柱。各杆间由结点联接，主要为刚结点，也有铰结点。l刚架的特点：梁与柱的联接处为刚结点，当刚架受力而产生变形时，刚结点处各杆端之间的夹角始终保持不变，且能承担弯矩。铰结点联接的杆端可相对转动，一般弯矩0。l（1）常见刚架类型l 常见的刚架类型有三种基本类型：悬臂、简支，三铰刚架。应熟练掌握其受力特点及相应的计算方法。la简单刚架l简支刚架：刚架与地基按简支梁的形式联接（与地基由二刚片规则组成）。l 悬臂刚架：悬臂构件与地基固结。

18、l三铰刚架:两构件与地基由三个铰联接而成的刚架。（与地基由三刚片规则组成）。l b.组合刚架l构件由刚结点与铰结点组合而成的刚架。其结构可分为基本部分与附属部分。l（2）支座反力计算la.悬臂刚架_悬臂构件与地基固定联接，固定端的反力有：。由一矩式平衡方程可求：由l l由l由AAAMYX,AAAAMMYYXX求求求,0,0,0lb.简支刚架_刚架与地基按简支梁的形式联接。有A端反力，B端反力。由平衡方程可求：支反力BAAYYX、lc.三铰刚架，或整体刚架：l取整体为分离体：求 l 局部为分离体：（取荷载少的半跨求解简单）求l也可利用BAYY 或BAXX 或AAYXX或求,0BAABBAYmYm

19、XXX000BCXm0Cl （3）计算杆端内力l 求解杆端内力的基本方法是截面法：la.截取杆端截面，适当选取分离体（构件或节点）lb.正确的受力分析:已知力（荷载及已求出的力）按实际方向画；未知力按正方向假设。lc.选取适当的平衡方程，避免解联立方程，求解各杆端内力（弯矩，剪力，轴力）l 小结：刚架支座反力求解后，外力均为已知。任取杆端截面切开，取左（或右）部分为分离体，均只有三个内力未知量，用平衡方程可完全求解。已知力：包括已知荷载、已求出的约束反力，及其它已求出的内力；未知力的计算结果为代数值，其符号的正负表示实际方向：正号与假设的方向相同，负号表示相反。可以极大的简化计算。一般取任意一

20、杆件或结点校核。l（4）画内力图（弯矩图，剪力图，轴力图）的要求：l注明杆端及控制截面值；弯矩图画在受拉面；剪力图、轴力图注明正负；校核：整体及任取局部均应平衡。l教材例616（P90）作如图所示三铰刚架的弯矩图、剪力图及轴力图。4m2m2m20kN/mABCl（1）求支座反力：l取整体l l取ADC分离体，受力分析如图625（b）所示。取ADC分离体，l解 l例中Xa=Xb=10kN，计算错误，由此导致求解内力M、Q、N均错。应为Xa=Xb=5kN。300322040BBAYYmBAABXXXYm0100kNXXXmBAAC5021040l 求未知反力是求解静定结构内力的第一步，解出后，应先

21、简单校核，确保第一步正确，否则如书中例题，一错均错。立即可以校核0220BAYYYl（2）作弯矩图l 取AD分离体，D截面有M，Q，N。对D截面中心取力矩平衡方程，其中只有一个未知力 ，可直接求出；l 取AD杆：A端为支座端，l有支座反力：lD端为刚结，有内力：。DAMkNYkNXAA10,5DADADANQM,mkNMMADB20450l 也可以考虑AD杆，点D处为刚结约束（如固定支座）：对D处的力矩：取结点D分离体，有三对内力。考虑D点力矩平衡：Q，N均通过D点，无力矩，所以 ，同为外侧受拉。AAYX,DADCMMl刚结点处，弯矩大小相等，同外（内）侧受拉，是刚架及连续梁M图的一个显著特点

22、，应特别注意，并可以利用其特点做M图（确定其值，或校核）。l同理：取BE杆及结点B的分离体可以求得：（外侧受拉）l 结点C为铰结点：l 铰结点处杆端弯矩为零，也是刚架及连续梁弯矩图的一个显著特点。mkNMMECEB200CECDMMl按叠加法作弯矩图：l 各杆杆端弯矩，即控制截面弯矩已求出，按叠加法，各杆端M值之间：l首先，标出铰结点、刚结点处的弯矩值，且连以直线。有均布荷载的杆段CE处画虚线；图相应简支梁对应荷载的有荷载连虚线，叠加无荷载连直线Ml 其次，在CE杆段叠加均布荷载的弯矩，其形状为抛物线，如图（c）所示。4m2m2m20kN/mABC20kN/mABC10553020kN/mA1

23、05B530CDEl 取杆AD：l 杆端A的剪力即支座反力XA，因剪力定义的正方向为绕杆顺时针转为正，所以 。510050ADDADAQNYQX5ADQl取结点D：l 结点D，DC杆端QDC，NPC按正方向假设（未知）。l 建议：DA杆端，最好按实际方向画在结点D分离体，标绝对值（按正方向标示也可以，但代入方程应为负值）10,5DCDCNQl 注意：结点的杆端与杆上杆端的内力为作用力与反作用力，大小相等，方向相反，但对于各自的杆端，其符号正负相同。l这里没有画出内力M，因为所用的力的平衡方程求解Q，N，与M无关。截DC杆的杆端D截面，取杆DAD为分离体：l杆上所有力应画全（杆端内力，荷载等），

24、求解Q，与N无关，可以不画N。50100ADCADCXNXYQYl同理可求：l 取CE分离体求l取铰结点Cl作剪力图：根据各杆杆端剪力值，连直线即得Q图。其特点是：杆上无荷载，为平行杆轴的直线，杆上有均布荷载q，为斜交杆轴的直线，杆上有集中力，集中力下为台阶状，其两侧仍为平行杆轴直线。530305ECEBECEBNNQQ10)20220(210CEEQmCEQ10CECDQQl作轴力图：各杆端的轴力：在求剪力Q时可以同时求出。直接连接直线即得，其特点均为平行杆轴的直线。l以书中例题（例题错），P91，图6-25（c）。取杆DC或（CE），进行受力分析如教材图：对D点取力矩平衡，结果不满足平衡。

25、l（1）整体（或加局部）平衡求支座反力，注意及时校核。l（2）取构件分离体，求杆端截面的三个内力控制值。l（3）叠加法作内力图：剪力图、轴力图为直线；弯矩图：杆上无荷载为直线，杆上有荷载则叠加简支梁相应的弯矩图。l（4）注意利用刚结点弯矩图的特点，铰结点的弯矩为零。l（5）校核应选取未用过的部分为隔离体（构件或结点），验证满足平衡条件。书中P91图625（C）取构件DC（或CE）的受力图校核。直播课堂8 姚志刚l1三铰拱的特点：竖向荷载作用下，支座处产生水平反力，这是与相应简支梁比较而言。几何组成与三铰刚架相同，只是其杆件为曲杆。l2拉杆式三铰拱与地为简支，产生的水平推力由拉杆提供，以避免对支

26、座产生推力。l3三铰拱的计算，见P93图628l（1）支座反力l 支座反力计算与三铰刚架相同fMHVVVVKBBAA000l 与相同跨度相同荷载的简支梁相比：为简支梁上相应的反力与弯矩。水平反力H与矢高f成反比，矢高越低水平推力越大。ocBAMVV，00l （2）内力计算截面法l 取任意x位置用截面K假想截开，有内力M、Q、N，分离体受力分析如图；l 若N，Q按水平、竖向分解，则水平力与H平衡，竖内力与荷载与 平衡，即相当于相应简支梁的 ；0QAVHAVKMKNQ0QHKl 此二力向N，Q方向投影则得到式（68）、（69）。与二部分力平衡：一部分为竖向荷载及 ，相当于相应简支梁的 ；第二部分为

27、推力产生的：Hy，得公式（67）。KMAV0MKKKKKKKKKKHQNHQQyHMMcossinsincos000l(3)拱的合理轴线l 在竖向荷载作用下：三铰拱的合理轴线形式与相应简支梁的M图相同，只是乘以1/H（常数）HMyyHMMxxxxx0)()()(0)()(0l例618，P97图631l 试求图631（a）所示三铰拱在均布荷载作用下的合理轴线。l 在满跨均布荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线是抛物线)(4)(2xlxlfxy1桁架特点：l 由直杆用铰链联接而成，在结点荷载作用下，各杆只有轴力。l 组成方式：l 简支桁架由二元体生长方法可得；l 联合桁架几个简单桁架，按二刚片法则组成。

28、l 取结点为分离体平面汇交力系l 适于求解简单桁架的各杆内力。l 有二个独立的平衡方程，可求解二个未知力。l（1）求解支座反力，零杆判断；l 因几何组成的不同而不一定是必须的，零杆判定后，可以大大简化求解。l（2）再选取只含二个未知力的结点。顺次取二个未知力的结点分离体可求解每个杆的内力。l（3）结点分离体中，未知轴力设为拉力（正），结果为负时表示与所设方向相反。已知力一般按实际方向画，标注其数值的绝对值，则平衡方程建立时看图确定其正负。l 1不共线二杆结点，无外力作用，则此二杆都是零杆。（图636a）l 2三杆结点，无外力作用，如果其中二杆共线，则第三杆是零杆。（图636b）l 用截面切断拟

29、求构件，将桁架分为二部分，取其中一部分为分离体，得平面任意力系，适于求解指定某几个构件的内力。l 切断杆件所得内力，与其同侧的外力、支座反力组成一平面的任意力系，有三个独立的平衡方程，可解三个未知力。l 截面切断的未知内力的杆件一般不超过三个；切断的杆件内力仍设为正方向。截面切断的未知内力的杆件一般不超过三个；切断的杆件内力仍设为正方向。l（1）结点法、截面法可以联合使用；l（2）零杆判断应充分利用，可以简化计算。l（3）利用对称性；l（4）选取适当的方程也可大大简化计算。l例619（P98图635）试计算如图所示桁架各杆内力。l 解：l 先计算支座反力。以桁架整体为分离体，求得：l 求出反力

30、后，从包含二杆的结点开始，逐次截取各结点求出各杆的内力。画结点受力图时，一律假定构件受拉，即构件对结点的作用力背离结点。kNYkNYBA2020l结点1：（b）图，分离体为平面汇交力系。一般用投影二个方程可求解 ，但考虑平衡的汇交力系合力为零，则对平面内到一点的合力矩为零：l 取结点3为力矩中心，方程中只有一个未知力 ，可以避免。若用 方程求解，如 求解有误，引起 的求解错误。1213,SS03m12S13S0 x12S13Sl结点1：取适当的平衡方程l 只有 在y方向的投影 为未知量，l其余的为已知力（包括荷载和已求出的支座反力）求解直接，且避免了累积的错误。30020530sin01313

31、SSY0 y13S2133 NNyl结点1：取适当的平衡方程l 结点1：取适当的平衡方程l 将上面求出的值按实际方向标于分离体图中，如图所示。l 下面的求解请见教材。3153015022025302012123ctgStgSml例621（P100图638）求图中所示桁架中指定构件1、2、3的内力。l解：1按简支梁求解支座反力l 以桁架整体为分离体，求得：l 标于图上。kNYYBA15l 2零杆的判断l由结点F、结点G可判断：l由结点D可判断：00DGFDSS02CDSSl3取截面II图（b）kNSmK2004kNSSY250151021033利用比例三角形分解斜杆轴力LLNNLLNNLNLNLNYYXXYYXXl 4取结点A，标出A结点的分离体。的弯矩为零。215)15(222150415401111YYYYDSLLSSSm