四川省2020届高三数学9月联合诊断考试试卷理科-.doc

1、四川省四川省 20202020 届高三数学届高三数学 9 9 月联合诊断考试试题月联合诊断考试试题 理（含解析）理（含解析） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1.已如集合 2 2, 1,0,1 ,|1ABx x ，则AB A. 2, 1,1 B. |1,0 C. 0,1 D. 2, 1,0 【答案】A 【解析】 【分析】 利用集合的交集运算求解 【详解】由 2 |1Bx x可得B中 11xx 或，则AB

2、 2, 1,1 答案选A 【点睛】本题考查集合的交集运算，整体简单，需注意数集与范围集合相交最终为数集 2.若 2000 (1)()2i zii ，则z A. i B. i C. -1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 需对运算公式进行变形，由 20002000 2000 22 (1)()2 11 ii i ziizizi ii ，再进行化 简即可 【详解】由 20002000 2000 222 (1)()21 111 ii i ziizizii iii 答案选D 【点睛】本题考查复数的基本运算，处理技巧在于变形成除法运算形式 3.某运动队由足球运动员 18 人，篮球运动员 12 人，

3、乒乓球运动员 6 人组成（每人只参加一 项） ，现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，都 不用删除个体，那么样本容量n 的最小值为 A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】 从系统抽样和分层抽样的特点考虑，系统抽样相当于等间距抽样，分层抽样相当于按比例抽 样 【详解】由题已知，总体样本容量为 36 人，当样本容量为n时，系统抽样的样距为 36 n ，分 层抽样的样比为 36 n ，则采用分层抽样抽取的足球运动员人数为18 362 nn ，篮球运动员人 数为12 363 nn ，乒乓球运动员人数为6 366 nn ，可知n

4、是 6 的整数倍，最小值为 6 答案选A 【点睛】本题考查了分层抽样和系统抽样的应用问题，解题时应对两种抽样方法进行分析和 讨论，以便求出样本容量 4. 39 1(1)xx 的展开式中 4 x的系数为 A. 124 B. 135 C. 615 D. 625 【答案】B 【解析】 【分析】 可采用分类讨论法； 当第一个因式取 1 时， 后面因式应取 4 x对应的通项； 当第一个因式取 3 x 时，后面因式应取x对应的通项，将两种情况对应的系数相加即可 【详解】当第一个因式取 1 时，后面因式应取 4 x对应的通项： 4 454 91 126Cxx， 44 1 126126xx，对应 4 x系数为

5、 126 当第一个因式取 3 x时，后面因式应取x对应的通项： 1 1 8 91 9Cxx ， 34 99xxx 对应 4 x系数为 9 所以 39 1(1)xx 的展开式中 4 x的系数为；126+9=135 答案选B 【点睛】本题考查二项式定理某一项的项的系数求法，由于表达式是由两个因式构成，所以 解题时应该对前面因式中每一项进行拆分，采用分类讨论法，可简化运算难度 5.在等比数列 n a 中， 41 1 2, 2 aa ，若 5 2 k a ，则k A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出公比q，再根据通项公式直接求k值 【详解】由 3 4 2 3

6、 1 11 2,2 24 aaqq ， 115 1 22 kk k aa qq ， 2(1) 16 3 22 k k q 2(1) 6 3 k 10k 答案选D 【点睛】本题考查等比数列基本量的求法，先求q，再求通项，属于基础题型 6.设函数 ( )f x的导函数为 ( ) fx，若 ( )f x为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则 ( ) fx的图 像可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 若 f x为偶函数，则 fx 为奇函数，故排除B、D. 又 f x在0,1上存在极大值，故排除 A 选项， 本题选择C选项. 7.曲线lnyxx 在点( , )M e e 处的切线

7、方程为 A. 2yxe B. 2yxe C. y xe D. y xe 【答案】B 【解析】 【分析】 先对曲线求导，再根据点斜式写出切线方程即可 【详解】由ln1lnyxxyx ， 1 ln2y ee ，所以过点( , )M e e切线方程为 22yxeexe 答案选B 【点睛】 本题考查在曲线上某一点 00 ,x y切线方程的求法， 相对比较简单， 一般解题步骤为： 先求曲线 f x导数表达式 fx，求出 0 fx，最终表示出切线方程 000 yfxxxy 8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶 算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利

8、用秦九韶算法求某多项式值 的一个实例，若输入 , n x的值分别为3,4，则输出v的值为 A. 6 B. 25 C. 100 D. 400 【答案】C 【解析】 依 据 流 程 图 中 的 运 算 程 序 ， 可 知 第 一 步3,3 120ni ， 则 1426 ,2110vi ； 第二步程序继续运行， 则6 4 125,1 100vi ； 第三步程序继续运行； 则25 40100,0 110vi ， 运算程序结束， 输出100v ， 应选答案 C。 9.若函数 22 2 ( )log (| 4)8f xaxxa 有唯一的零点，则实数a 的值是 A. -4 B. 2 C. 2 D. -4 或

9、 2 【答案】B 【解析】 【分析】 由表达式可判断 f x为偶函数，又函数存在唯一零点，可求出a值，再对a值进行分类讨论 判断是否符合题意即可 【详解】分析表达式特点可知，函数 22 2 ( )log (| 4)8f xaxxa为偶函数， f x有唯一一个零点， 00f，即 2 280aa，解得4a 或2a 当2a 时, 2 2 ( )2log (| 4)4f xxx, ( )f x在0,)上单调递增,符合题意; 当4a 时, 2 2 ( )4log (| 4)8f xxx ,作出 2 4log (| 4)yx和 2 8yx的函数 图象如图所示: 由图象可知 ( )f x有三个零点,不符合题

10、意; 综上,2a 答案选B 【点睛】本题考法为结合函数零点存在情况求参，分析函数特点求出a值，再验证a值的合理 性，最后的处理步骤用到了数形结合思想，是处理零点问题常用基本思想 10.设双曲线 22 22 1 xy C ab ： 的左焦点为F ，直线4 3200xy 过点F且与双曲线C 在第二象限交点为P ，| |OPOF ，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为 A. 5 3 B. 5 4 C. 5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，画出图像，结合双曲线基本性质和三角形几何知识进行求解即可 详解】如图所示： 直线43200xy 过点F 5,0F，半焦距5c A为PF中点，|

11、 | |OPOF OAPF 又OA为 2 PFF中位线 2 / /OAPF 由点到直线距离公式可得 20 =4 5 OA， 2 2=8PFOA 由勾股定理可得： 22 22 6FPFFPF 再由双曲线第一定义可得： 2 2PFPFa=2，1a= 双曲线的离心率5 c e a 答案选D 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，突破口在于利用| |OPOF找出中点A，结合圆锥 曲线基本性质和几何关系解题是近年来高考题中常考题型，往往在解题中需要添加辅助线 11.已知定义在R上的函数 yf x满足：函数(1)yf x的图象关于直线1x 对称，且 当(,0),( )( )0xf xxfx 成立( ( )

12、fx是函数 ( )f x的导函数), 若 11 (sin) (sin) 22 af，( 2) ( 2)blnf ln， 1 2 1 2 () 4 cf log , 则, ,a b c的大小关系是（ ） A. abc B. bac C. cab D. acb 【答案】A 【解析】 【分析】 由导数性质推导出当 x（，0）或 x（0，+）时，函数 y=xf（x）单调递减由此能 求出结果 【详解】 函数1yf x的图象关于直线1x 对称， yf x关于y轴对称， 函数 yxf x为奇函数.因为 xf xf xxfx ， 当,0x 时， 0xf xf xxfx ，函数 yxf x单调递减， 当0,x时

13、，函数 yxf x单调递减. 11 0sin 22 ， 1 1ln2ln 2 e， 1 2 1 log2 4 1 2 11 0sinln2log 24 ， abc，故选 A 【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需 要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如 fxf x 构造 x f x g x e ， 0fxf x 构造 x g xe f x， xfxf x构造 f x g x x ， 0xfxf x 构造 g xxf x等 12.设, x yR定义()(xyx ay aR且a为常数） ，若 2 ( ), ( )ln , ( )2 xx f xe h

14、 xx g xex ，( )( )( )F xf xg x .下述四个命题： ( )g x 不存在极值； 若函数y kx 与函数| ( )|yh x 的图象有两个交点，则 1 k e ； 若( )F x在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是(, 2 ； 若3a ，则在( )F x的图象上存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 对命题：直接求( )g x的导数，采用零点存在定理判断是否存在极值即可 对若函数y kx 与函数| ( )|yh x 的图象有两个交点，则函数y kx 一定与 ln1yx x相切，通过联立方程求解即可 对，需要先求

15、出( )F x的导函数，根据导函数特点去判断两命题是否成立 【详解】对命题： 2 ( )2( )4 xx g xexg xex ， 00, 10gg，即 0 0,1x，使得 0 0gx，( )g x 存在极值，命题错 对命题，画出y kx 与函数| ( )|yh x的图像，如图所示： 设切点横坐标为 0 x，此时 0 0 00 ln11 , x kxe k xxe ，命题正确 对于命题：( )( )F xf x 2 ( )2 xx g xeaex ,则 2 ( )24 x F xexxa , 若( )F x在R上是减函数,则( )0F x 对于xR恒成立, 即 2 240 x exxa恒成立,

16、 0 x e , 2 240xxa 恒成立, 168()0a , 2 a; 即实数a的取值范围是(, 2 ,故正确 对命题：当3a 时, 2 ( )312 xx F xex e , 设 1122 ,P x y Q xy是( )F x曲线上的任意两点, 2 ( )243 x F xexx 2 2(1)10 x ex , 12 0FxFx , 12 1FxFx 不成立. ( )F x的曲线上不存的两点,使得过这两点的切线点互相垂直。命题错误 正确命题为，答案选C 【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考察了函数极值，零点，单调性等知识点，综合性 强，难度中等，解题方法主要以数形结合、根据导数来研究函

17、数的单调性和极值为主 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13.已如向量(1,1),(2, )abt ，若|aba b ，则t _ 【答案】 1 3 【解析】 【分析】 利用向量的坐标运算分别表示出|ab和a b 的表达式，再根据|aba b求出t值即可 【详解】1,1abt ， 2a bt ， 2 |11abt ，由|aba b可得 2 112tt ，解得 1 3 t 答案为： 1 3 t 【点睛】本题考点为利用向量的坐标运算表示模长和数量积，进行基本运算，需要加以理解 的是模长和数量积都是数值的具体体现 14

18、.已知等差数列 n a， 的首项 1 1a ， 公差 2d .其前n 项和为 n S ， 若 2 24 kk SS ， 则k _ 【答案】5 【解析】 【分析】 根据题意，求出数列 n a的通项公式，再根据 212 24 kkkk SSaa 算出k值 【详解】 由 1 1a ， 公差 2d ， 得 21 n an， 再由 212 24 kkkk SSaa ， 可得 5k 答案为：5k 【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，需熟记公式 121nmnnnm SSaaaa 15.如图，在第一象限内，矩形 ABCD 的三个顶点 A，B，C 分别在函数 y=lo 1 2 2 2 3 , 2 x gx y

19、xy ，的图像上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若 A 点的纵坐标 是 2，则 D 点的坐标是 。 【答案】 1 1 ( , ) 2 4 【解析】 试题分析：因为 A 点的纵坐标是 2，即 2 2 1 2 2 logxx ，即 D 点的横坐标 1 2 ，且 B 点的 纵坐标是2。 即 1 2 24xx ， 即B点的横坐标4， 亦即C点的横坐标4， 则 4 39 216 y ， 即 C 点的纵坐标是 9 16 则 D 点的坐标是 19 , 2 16 考点：函数 1 2 2 2 3 , 2 x ylogx yxy 的图像和性质 16.已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、 右焦点分

20、别为 1 F、 2 F， 过 2 F的直线与椭圆交于A、 B两点，若 1 F AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_ 【答案】 63 【解析】 分析： 设|F1F2|=2c， |AF1|=m， 若ABF1构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形， 则|AB|=|AF1|=m， |BF1|= 2m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得 m，再由勾股定理，可得 a，c 的方程，求 得 2 2 c a ，开方得答案 详解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m， 若ABF1构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形， 则|AB|=|AF1|=m，|BF1|= 2m， 由椭圆的定义可得AB

21、F1的周长为 4a， 即有 4a=2m+ 2m，即 m=2（22）a， 则|AF2|=2am=（2 22）a， 在直角三角形 AF1F2中， |F1F2| 2=|AF 1| 2+|AF 2| 2， 即 4c 2=4（2 2） 2a2+4（ 21） 2a2， c 2=（96 2）a 2， 则 e 2= 2 2 c a =96 2=92 18 ， e=63 故答案为：63 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常 见有两种方法： 求出a，c，代入公式 c e a ； 只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b 2a2c2转化为 a，c的齐次式，

22、然后等式(不等式)两边分别除以a或a 2转化为关于 e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可 得e(e的取值范围) 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1717- -2121 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2222、2 23 3 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17.我国是世界上严重缺水的国家， 城市缺水问题较为突出， 某市政府为了鼓励居民节约用水， 计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准

23、： （单位：吨） ， 用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费，为了了解全布市民用用水量分 布情况，通过袖样，获得了 100 位居民某年的月用水量（单位：吨） ，将数据按照 0,0.5),0.5,1) 4,4,5 分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 （1）求频率分布直方图中a的值； （2）若该市政府看望使 85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨） ，估计x的值，并说明理 由。 【答案】 （1）0.30； （2）估计月用水量标准为 2.9 吨，85%的居民每月的用水量不超过标准 【解析】 【分析】 （1）利用频率分直方图中的矩形面积的和为 1 求a即可 （2）先大体估计

24、一下x所在的区间，再根据区间0,x的频率之和为 0.85，求解x的值 【详解】 （1）由直方图，可得 (0.080.160.400.520.120.080.04) 0.51aa ， 解得0.30a . （2）因为前 6 组频率之和为 0.080.160.300.400.520.300.50.880.85.（） 而前 5 组的频率之和为 0.080.160.300.400.520.50.730.85.（） 所以2.53x. 由0.32.50.850.73x（） 解得2.9x .因此，估计月用水量标准为 2.9 吨，85%的居民每月的用水量不超过标准. 【点睛】本题考察了频率分布直方图中各个基本量

25、的计算关系，需熟记的是，频率分布直方 图中矩形面积之和为 1；在横坐标上需找具体某一点计算符合条件概率值的方法一般为：先通 过估算确定具体所在区间，再根据矩形面积为概率值的特点，列出公式进行求解 18.ABC的内角, ,A B C的对边分别为 , , ,a b c ，已知 2 3 sin()cos3cos 2 ACBB， 且B为锐角。 （1）求B； （2）若1b ，求ABC 面积的最大值 【答案】 （1） 6 ； （2） 23 4 【解析】 【分析】 （1）采用三角函数基本公式对 2 3 sin()cos3cos 2 ACBB进行化简，再结合B为锐 角，可求得B （2）采用余弦定理，结合重要不

26、等式与正弦定理表示的面积公式求解即可 【详解】 （1）因为 2 3 sin()cos3cos 2 ACBB ， 所以 2 2sin()cos3 2cos1ACBB ，又ABC， 所以sin23cos2BB ，即tan23B ， 因为B为锐角，所以2(0, )B， 所以2 3 B ，所以 6 B （2）由（1）知 6 B ，由余弦定理得 222 cos 2 acb B ac ，即 22 310acac 因为 22 2acac 所以23ac （当且仅当 62 2 ac 时取等号） 所以 123 sin 24 ABC SacB （当且仅当 62 2 ac 时取等号） ， 故ABC 的面积的最大值是

27、23 4 【点睛】本题主要考查了利用三角函数的基本公式进行化简、正弦定理、余弦定理解三角形 的综合应用， 问题 （1） 中涉及三角代换问题， 需熟记sin()sin,cos()cosABCABC （2） 问一般采用余弦定理， 面积公式和不等式性质进行范围求法， 重要不等式 22 2acac应 用较为广泛 19.如图，已知长方形ABCD中， 2 2AB ， 2AD ，M 为 DC 的中点.将ADM沿AM 折起，使得平面ADM平面ABCM. （1）求证：ADBM； （2） 若点E是线段DB上的一动点， 问点E在何位置时， 二面角EAMD的余弦值为 5 5 . 【答案】 （1）见解析； （2）E为B

28、D中点 【解析】 试题分析： （1）本问考查立体几何中的折叠问题，考查学生的读图能力及空间想象能力，由长方形 ABCD 中 2AD , 2DM ，所以2AM ，同理可求出2BM ，这样可以根据数量关系证出 222 AMBMAB ，即AMBM，由于折叠到平面 ADM平面 ABCM，交线为 AM，根据面 面垂直的性质定理可知，由于AMBM，且BM 平面 ABM，所以BM 平面 ADM，又因 为AD 平面 ADM，所以ADBM；本问主要考查面面垂直性质定理的应用，注意定理的使 用条件，注意证明的书写格式。 （2） 根据平面 ADM平面 ABCM， 交线为 AM， 且 AD=DM， 可以取 AM 中点

29、 O， 连接 DO， 则 DOAM， 根据面面垂直性质定理可知， DO平面 ABCM， 再取 AB 中点 N， 连接 ON， 则 ON/BM， 所以 ONAM， 可以以 O 为原点， OA,ON,OD 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系， 如图， 求出 A,M,D,B 点坐标，根据 E 在 BD 上，设DE DB ，求出 E 点坐标，然后分别求出平面 AMD 和平面 AME 的法向量，从而将二面角的余弦值表示成两个法向量余弦值，求出的值，得到 E 点的位置。 试题解析： （1）证明：长方形 ABCD 中，AB=，AD=，M 为 DC 的中点， AM=BM=2，BMAM. 平面 A

30、DM平面 ABCM，平面 ADM平面 ABCM=AM，BM 平面 ABCM BM平面 ADM AD 平面 ADM ADBM. （2）建立如图所示的直角坐标系 设DE DB ，则平面 AMD 的一个法向量(0,1,0)n ， (1,2 ,1),MEMDDB( 2,0,0)AM ， 设平面 AME 的一个法向量( , , ),mx y z则 20 2 (1)0 x yz 取 y=1，得 2 0,1, 1 xyz 所以 2 (0,1,) 1 m ， 因为 5 cos, 5 m n m n m n ，求得 1 2 ， 所以 E 为 BD 的中点. 考点：1.空间中的垂直关系；2.空间向量在立体几何中的

31、应用。 20.已知函数 2 ( )ln 2 x f xax （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）若函数 ( )f x 在区间 2 1,e 内恰有两个零点，求a 的取值范围。 【答案】 （1）见解析； （2）a的取值范围为 4 , 4 e e 【解析】 【分析】 （1）先求导，再具体讨论a的正负来判断函数的单调区间 （2）根据（1）判断a的大致区间，若f x（ ）在区间 2 1,e 内恰有两个零点，由极值点与零点 之间的基本关系确定a的具体取值范围，则需满足 2 2 1 ()0 (1)0 0 ae fa f f e ， 解出即可 【详解】 （1） 2 ( )(0) axa fxxx xx

32、当0a 时，0fx （ ） ，故f x（ ） 在(0,) 单调递增； 当0a 时，由0fx（ ） 得xa （舍去负值） 当0xa 时，0fx （ ） ，故f x（ ）在(0,)a 上单调递减； 当xa 时，0fx （ ），故f x（ ）在(,)a 单调递增. 综上：当0a 时，f x（ ）在(0,)单调递增； 当0a 时，f x（ ）在(0,)a上单调递减，在(,)a 单调递增. （2）当0a 时，由（1）知f x（ ）在(0,)上单调递增，故f x（ ）在区间 2 1,e 内至多有一 个零点， 当0a 时，由（1）知f x（ ）在(0,)上的最小值为 (1 ln ) () 2 aa fa 若

33、f x（ ）在区间 2 1,e 内恰有两个零点，则需满足 2 2 1 ()0 (1)0 0 ae fa f f e 即 4 4 (1 ln ) 0 2 1 1 0 2 20 2 aa ae e a 整理的 4 4 1 4 ae ae e a 所以 4 4 e ea 故a的取值范围为 4 , 4 e e 【点睛】本题主要考查利用导数研究含参问题的函数单调区间问题，一般解题方法为对参数 进行分类讨论，进一步分析参数对导数正负影响；本题中函数零点问题是通过分析极值点与 零点的基本关系来进一步确定的，是解决零点问题常用方法之一，解决零点问题常用方法还 有：分离参数、构造函数、数形结合等 21.已知抛物

34、线 2 8xy，过点0 4M （ ， ）直线与抛物线交于,A B 两点，又过,A B两点分别 作抛物线的切线，两条切线交于P点。 （1）证明：直线,PA PB的斜率之积为定值； （2）求 PAB 面积的最小值 【答案】 （1）见解析； （2）32 2 【解析】 【分析】 （1）设直线方程为4ykx，通过联立直线与抛物线方程得到 2 8320xkx，用韦达 定理表示出 12 32x x ，再利用导数的几何意义表示出两切线的乘积，即可解得 （2）先采用设而不求得方法联立 2 11 1 84 xx yxx和 2 22 2 84 xx yxx得44Pk （， ） 再利用弦长公式表示出|AB，结合点P到

35、直线 AB l距离公式表示出三角形面积，分析因式特 点，即可求解 【详解】 （1）证明：由题意设l 的方程为4ykx ， 联立 2 4 8 ykx xy ，得 2 8320xkx 因为 2 ( 8 )4 ( 32)0k ， 所以设 1122 ,A x yB x y ，则 12 32x x 设直线PA PB， 的斜率分别为 12 ,k k ， 对 2 8 x y 求导得 4 x y ， 所以 12 12 , 44 xx kk ， 所以， 1212 12 32 2 444 416 xxx x k k （定值） （2）解：由（1）可得直线PA 的方程为 2 11 1 84 xx yxx 直线PB 的

36、方程为 2 22 2 84 xx yxx 联立，得点P 的坐标为 1212 , 28 xxx x ， 由（1）得 1212 8 ,32xxk x x ， 所以44Pk （， ） . 于是 22 | 8 12ABkk ， 点P 到直线AB 的距离 2 2 42 1 k d k ， 所以 22 1622 PAB Skk ， 当 2 0k ，即0k 时，PAB的面积取得最小值32 2 【点睛】本题主要考查了用解析法解决过定点的直线与抛物线的基本关系量的证明，抛物线 中三角形面积的最值求法。解题过程中结合导数几何意义求解斜率之积大大减小了运算步骤， （2）中设而不求的基本方法也使得点P的求解过程变得简

37、单；在解决圆锥曲线与动直线问题 中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具，要求考生要能熟练运用 22.在极坐标系中，已如圆C 的圆心2, 4 C ，半径3r . （1）求圆C的极坐标方程； （2）若0, 4 a ，直线l 的参数方程 2cos 2sin xt yt （t 为参数）直线l交用C于,A B 两点，求长|AB的取值范围 【答案】 （1） 2 2 (cossin ) 10 ； （2）| 2 2,2 3)AB 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理表示出三边关系即可表示出圆的极坐标方程 （2）联立直线的参数方程和圆的标准方程表示成关于t的一元二次方程，用韦达定理表示出 根与系数的关系，结

38、合弦长公式 12 | |ABtt进行求解 【详解】如图： 设圆上任意一点坐标为P( , ) ，由余弦定理得： 222 ( 3)( 2)22cos 4 整理得： 2 2 (cossin ) 10 （经检验，当圆心极点与圆上的点三点在一直线上时 也适合）. 所以圆C的极坐标方程为 2 2 (cossin ) 10 （2）因为cos ,sinxy. 所以圆的直角坐标方程为 22 2210xyxy ， 将直线l 参数方程代入圆的直角坐标方程得： 22 (2cos)(2sin)2(2cos)2(2sin) 10tttt ， 整理得： 2 (2cos2sin)10tt ，设 12 ,t t 为该方程的两根

39、， 所以 121 2 2cos2sin,1ttt t ， 所以 2 12121 2 | |484sin2ABttttt t ，因为0, 4 ，所以 20, 2 所以| 2 2,2 3)AB 【点睛】本题主要考查了圆的极坐标方程的求法，用直线的参数方程来求解圆的弦长的问题， 用直线来表示与圆锥曲线的弦长可表示为 12 | |ABtt 23. 设函数 212f xxx （1）解不等式 0f x ； （2）若 0 xR，使得 2 0 24f xmm，求实数m的取值范围 【答案】 （1） 1 |3 3 或x xx ； （2） 15 22 m 【解析】 【分析】 (1)把 f x用分段函数来表示，令 0

40、f x ，求得x的值，可得不等式 0f x 的解集; (2)由(1)可得 f x的最小值为 1 2 f ，再根据 2 1 42 2 fmm ，求得m的范围 【详解】(1)函数 212f xxx 3,2 1 31, 2 2 1 3, 2 xx xx xx ， 令 0f x ，求得 1 3 x ，或3x ， 故不等式 0f x 的解集为 1 | 3 x x ，或3x ； (2)若存在 0 xR，使得 2 0 24f xmm，即 2 0 42f xmm有解， 由(1)可得 f x的最小值为 115 31 222 f ， 故 2 5 42 2 mm， 解得 15 22 m 【点睛】绝对值不等式的解法： 法一：利用绝对值不等式几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想