安徽省安庆市2020届高三数学上学期期末教学质量监测试卷理科.doc

1、安庆市安庆市 2019201920202020 学年度第一学期期末教学质量监测学年度第一学期期末教学质量监测 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 I I 卷（选择题，共卷（选择题，共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分共分共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1.设全集为R，集合 2 20Ax xx，10Bx x ，则)(BCA R A 01xx B 01xx C 12xx D 02xx 2.i是虚数单位，复数 3 1

2、3 i z i = + ，则 A 13 22 z-= B 3 4 z = C 33 22 zi=- D 33 44 zi=+ 3.已知, ,a b c满足 3 1 2 3 46,log 4, 5 a bc则 A. abc B.bca C. cab D. cba 4.二项式 26 1 () 2 x x 的展开式中 3 x的系数为 A. 5 2 B. 5 2 C. 15 16 D. 3 16 5.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(2, 1)，则它的离心率为 A3 B5 C 3 2 D 5 2 6.某学校开展脱贫攻坚社会实践走访活动，学校安排了 2 名教师带队，4 名学生参与，为了

3、 调查更具有广泛性，将参加人员分成 2 个小组，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，到 甲、乙两地进行调查，不同的安排方案共有 A12 种 B10 种 C9 种 D8 种 7.函数 1 ( )()() xx f xxxee 的图像大致是 A B C D 8.若, x y满足 4, 20, 24, xy xy xy 则 4y x 的最大值为 A. 7 2 B. 5 2 C. 3 2 D. 1 9.在ABC中，D是BC中点，E是AD中点，CE的延长线交AB于点,F则 A. 11 62 DFABAC B. 11 34 DFABAC C. 31 42 DFABAC D. 11 26 DFABAC

4、 10.已知数列 n a的前n项和为 n S， 12 1,2aa且对于任意 * 1,nnN满足 11nn SS ) 1(2 n S则 A. 4 7a B. 16 240S C. 10 19a D. 20 381S 11.已知圆锥顶点为P，底面的中心为O，过直线OP的平面截该圆锥所得的截面是 面积为3 3的正三角形，则该圆锥的体积为 A3 3 B3 C3 2 D9 12.已知函数( )2(|cos |cos ) sinf xxxx，给出下列四个命题： ( )f x 的最小正周期为 ( )f x的图象关于直线 4 x 对称 ( )f x 在区间 , 4 4 上单调递增 ( )f x 的值域为 2,

5、2 其中所有正确的编号是 A. B C D 第第 IIII 卷（非选择题，共卷（非选择题，共 9090 分）分） 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分. . 第第 1313 题第题第 2121 题为必考题，每个试题考生都必须题为必考题，每个试题考生都必须 作答作答. . 第第 2222 题题 第第 2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . 二、填空题：共二、填空题：共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分共分共 2020 分，将答案填写在答题卷中的相应区域，分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写答案写 在试题卷上无效在试题卷上无效

6、 。 13.曲线lnyx在点(1,0)处的切线方程为_ 14.设ABC的内角A BC， ，所对的边分别为abc， ，,若 2 coscossinbCcBaA, 则A _ 15.设 n S为等比数列 n a的前n项和， 已知 32 =2+2aS， 43 =2+2aS则公比为q为_ 16.已知函数 2 ( )ln(1)f xxx ， 若实数, a b满足(1)( )0faf a， 则a _ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤。骤。答案写在试题卷上无效答案写在试

7、题卷上无效 17.（本题满分 12 分） 在ABC中， 角ABC、 、所对的边为abc、 、， 若 22 ()3acbac， 点D在边AB 上，且1BD ，DADC. （）若BCD的面积为 3 2 ，求CD的长； （）若3AC ,求A的大小 18.（本题满分 12 分） 在几何体ABCDE中， 2 CAB ，CD平面ABC，BE平面ABC， 2ABACBE，1CD . （）设平面ABE与平面ACD的交线为直线l，求证：l平面BCDE； （II）求二面角ADEB的正弦值 19.（本题满分 12 分） 某学校开设了射击选修课，规定向A、B两个靶进行射击：先向A靶射击一次，命中 得1分，没有命中得0

8、分，向B靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明 同学经训练可知：向A靶射击，命中的概率为 4 5 ，向B靶射击，命中的概率为 3 4 ，假设小 明同学每次射击的结果相互独立现对小明同学进行以上三次射击的考核 （）求小明同学恰好命中一次的概率； （）求小明同学获得总分X的分布列及数学期望()E X 20.（本题满分 12 分） 如图， 设F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点， 直线： 2 a x c 与x轴交于P 点，AB为椭圆的长轴，已知8AB ，且2PAAF，过P点作斜率为k直线l与椭圆 相交于不同的两点MN、 ， （）当 1 4 k 时，线段MN的中

9、点为H，过H作HGMN交x轴于点G，求GF； （）求MNF面积的最大值 21.（本题满分 12 分） 已知函数( )1 ln1f xxx ， ( )ln1 x g xex ()讨论( )f x的单调性； ()设( )( )( )h xf xg x，若( )h x的最小值为M，证明： 2 21 1M ee 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请 写清题号写清题号 22.22. （本题满分（本题满分 1010 分）分）选修选修 4 44 4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 在平

10、面坐标系中xOy中，已知直线l的参考方程为 8 2 xt t y （t为参数） ，曲线C的 参数方程为 2 2 2 2 xs ys （s为参数） 设P为曲线C上的动点， （）求直线l和曲线C的直角坐标方程； （）求点P到直线l的距离的最小值 23.23.（本题满分（本题满分 1010 分）分）选修选修 4 45 5 不等式选讲不等式选讲 设abc、 、均为正数， （）证明： 222 abcabbcca ； （）若1ab bc ca，证明3abc 安庆市安庆市 2019201920202020 学年度第一学期期末教学质量监测学年度第一学期期末教学质量监测 高三数学（理科）试题参考答案及评分标准

11、一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分共分共 6060 分。分。 1.解析： 02Axx，1Bx x， 10120)(xxxxxxBCA R ，答案为 B 2.解析： 333 4413 i zi i =+ + ，答案为 D 3.解析： 3 1 2 3 464,1,log 42,1,01 5 a abcc ，故acb答案为 B 4.解析：通项为 2612 3 166 11 ()()( 1) ( ) 22 rrrrrrr r TCxC x x 令12 33r，则3r ， 33333 46 15 ( 1) ( ) 22 TC xx ， 答案为 A 另

12、： 261296336 11551531 ()3 242161664 xxxxxxx x 5.解析：设双曲线的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，其渐近线为x a b y， 点(2, 1)在渐近线上，所以 1 2 b a ，由 2 5 1 ( ) 2 b e a 答案为 D 6.解析：采取分步计算 12 24 12C C 答案为 A 7.解析：函数 1 ( )()() xx f xxxee 为偶函数，当x ，( )f x ，答案为 C 8.解析：画出可行域，可知经过点 8 4 (4,0),( , ) 3 3 取得最大值1，答案为 D 9.解析：设ABAF， 1111 2444

13、4 AEADABACAFAC 因为C EF、 、 三点共线，则 1 =1 44 ， =3 所以 11111 32262 DFAFADABABACABAC 答案为 A 10.解析：当2n时， 11111 2(1)22 nnnnnnnnn SSSSSSSaa 所以数列 n a的从第 2 项起为等差数列，又 12 0,2aa，所以22 n an ， 所以 4 6a ， 10 18a， 1 () (1) 2 n n aa n Sn n ， 16 16 15240S， 20 20 19380S 答案为 B 11.解析：过直线 12 OO的平面截该圆锥所得的截面是面积为3 3的正三角形，设正三角 形边长为

14、a， 则 2 3 3 3 4 a ， 解得2 3a ， 所以圆锥的高为3， 底面圆的直径为2 3， 所以该圆锥的体积为 2 12 3 ()33 32 V答案为 B 12.解析： ( )2(|cos |cos ) sin2|cos |sinsin2f xxxxxxx 函数 3 3 f ， 4 0 3 f ， 4 33 ff ，故函数 ( )f x的最小正周期不是，故 错误 由于 3 2 4 f ， 5 0 4 f ， 35 44 ff ， 故 ( )f x的图象不关于直线 4 x 对称，故排除 在区间 , 4 4 上， 2, 2 2 x ， ( )2|cos |sinsin22sinf xxxx

15、x ，单调递增，故 正确 当cos0x时， ( )2|cos |sinsin22sin cossin22sin2f xxxxxxxx ， 故它的最大值为2，最小值为2；当cos0x 时， ( )2|cos |sinsin22sin cossin20f xxxxxxx ， 综合可得，函数 ( )f x的最大值为2，最小值为 2，故正确答案为C 二、填空题：共二、填空题：共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分共分共 2020 分。分。 13.解析：由题意知， 1 y x ，所以曲线在点(1,0)处的切线斜率 1 1 x ky ， 故所求切线方程为01yx，答案为 1yx 14.解析： 2

16、 coscossinbCcBaA，由正弦定理得 3 sincossincossinBCCBA， 3 sinsin+B CA（）， 3 sinsinAA,sin1A，则 2 A 答案为 2 15.解析： 32 =22aS ， 43 =2+2aS以上相减可得 43 3aa，所以数列的公比为3q ， 答案为 3. 16.解析：易知 2 ( )ln(1)f xxx 为奇函数且为增函数，故 (1)( )0(1)( )()faf afaf afa ，1 a a ， 1 2 a 答案为 1 2 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。分。 17.解析： （1）又由

17、22 ()3acbac可得 222 acbac 由余弦定理可得 222 1 cos 222 acbac B acac ， 1 分 0B 所以 3 B ， 2 分 因为BCD的面积为 3 2 ，即 13 sin, 22 BC BDB 1BD ， 所以2BC ，3 分 在BCD中,由余弦定理，得 222 1 2cos4 1 2 2 13 2 CDBCBDBC BDB , 所以 3CD 6 分 （2）由题意得设DCAA , 在ADC中，由正弦定理，sin( 2 )sin ACCD AA 得 3 2cos CD ， 7 分 在BCD中，由正弦定理, sinsin CDBD BDCB 即 11 sins

18、in(2 )sin(2 ) 333 CD 8 分 由可得所以cossin 2, 3 9 分 即sinsin 2 23 ，10 分 由2 23 ，解得, 18 11 分 由2, 23 解得. 6 故 18 A 或 6 A .12 分 18.证明：(I) 因为CD平面ABC，BE平面ABC 所以/CDBE， 1 分 又因为CD平面ABE，BE平面ABE， 所以/ /CD平面ABE3 分 l 平面ABE平面ACD，则/ /CDl 又l平面BCDE，CD平面BCDE 所以/ /l平面BCDE 6 分 （II）建立如图所示的空间直角坐标系 7 分 因为 2 CAB ， 2ABACBE，1CD . 所以

19、22 2 2BCACAB 则(0,0,0)C，( 2, 2,0)A,(0,2 2,0)B,(0,0,1)D,(0,2 2,2)E8 分 设平面ADE的法向量为( , , )nx y z (2,2,1)AD ,(0,2 2,1)DE 则 0 0 n AD n DE 即 220,2 20xyzyz 令2 2z ，则3,1xy ，所以(3, 1,2 2)n 9 分 设平面BCDE的法向量为 1( , , )nx y z (0,0,1)CD ,(0,2 2,0)CB 则 1 1 0 0 n CD n CB 即0,2 20zy 取1x ，则0yz所以 1(1,0,0)n 10 分 1 1 1 2 cos

20、, 2 n n n n n n 11 分 所以 1 2 s, 2 inn n故二面角ADEB的正弦值 2 2 12 分 19.解析： （）记： “小明恰好命中一次”为事件C， “小明射击A靶命中”为事件D, “该 射手第一次射击B靶命中”为事件E， “该射手第二次射击B靶命中”为事件F， 由题意可知 4 ( ) 5 P D ， 3 ( )( ) 4 P EP F，2 分 由于CDEFDEFDEF4 分 ( )()P CP DEFDEFDEF= 8 1 ；6 分 （）012345X ， ， ， ， ，7 分 2 111 (0)( ) 5480 P X ， 2 411 (1)( ) 5420 P

21、X ， 1 2 1133 (2) 54440 P XC 1 2 4133 (3) 54410 P XC ， 2 139 (4)( ) 5480 P X ， 2 439 (5)( ) 5420 P X 9 分 X 0 1 2 3 4 5 P 1 80 1 20 3 40 3 10 9 80 9 20 10 分 11339919 ()012345 8020401080205 E X .12 分 20.解析： （）8AB , 4a ，又2PAAF， 1 2 e 2c , 222 12bac 椭圆的标准方程为 22 1 1612 xy ，2 分 点P的坐标为( 8,0)，点F的坐标为( 2,0) 直线

22、l的方程为 1 (8) 4 yx 即48xy3 分 联立 22 48 1 1612 xy xy 可得 2 1348360yy设 1122 ( ,)(,)M x y N xy， 00 (,)H xy 则 12 48 13 yy， 12 36 13 y y 4 分 所以 12 0 24 213 yy y ， 00 248 4848 1313 xy 直线HG的斜率为4，直线HG的方程为 248 4() 1313 yx 5 分 令0y ，解得 2 13 x 即 2 (,0) 13 G 所以 224 2() 1313 GF GFxx 6 分 （）直线l的方程为(8)yk x，当0k 时，0 MNF S7

23、 分 当0k 时，设 1 m k ，直线l的方程为8xmy 联立 22 8 1 1612 xmy xy 可得 22 (34)481440mymy，设 1122 ( ,)(,)M x y N xy 222 ( 48 )4(34) 144576(4)0mmm ，解得2m或者2m 12 2 48 34 m yy m ， 12 2 144 34 y y m 8 分 方法一： 22222 212121 22 22 2 48144 11()41()4 3434 24 14 34 m MNmyymyyy ym mm mm m 9 分 点F到直线l的距离 22 |28|6 11 d mm 10 分 222 2

24、2 2 1124 146724 | 223434 1 MNF mmm SMNd mm m 33 1632 72 4 16 43 72 2 2 m m 当且仅当 4 16 43 2 2 m m，即 2 21 3 m 时（此时适合于0 的条件）取等号, 所以当 121 14 k m 时， 直线l为 21 (8) 14 yx 时， MNF面积取得最大值为3 3. 12 分 方法二： 2 21 2 1724 | |, 234 MNFNPFMPF m SSSPFyy m 9 分 即 2 2 2 2 72472 16 3(4) 16 34 4 MNF m S m m m 72 3 3 2 3 16 ，11

25、 分 当且仅当 4 16 43 2 2 m m，即 2 21 3 m 时（此时适合于0 的条件）取到等号。 所以当 121 14 k m 时，直线l为 21 (8) 14 yx 时， MNF面积取得最大值为 3 3. 12 分 21.解：()( )1 ln1lnln1f xxxxxx 1 ln1fxx x ， 1 分 设 1 ln1m xx x 22 111x m x xxx 所以 m x在0,1上单调递减，在1,上单调递增3 分 min 120m xh，即 0fx 5 分 所以 f x在0,上单调递增6 分 () ( )( )( )(1)lnlnln xx h xf xg xxxexxxe

26、( ) ln1 x h xex ，7 分 设 ln1 x F xex 11 x xx ex Fx exxe ， 设 x G xex 10 x Gxe ，所以 G x在0,上单调递增 8 分 010G xG ，即 0Fx ，所以 F x在0,上单调递增 9 分 12 12 0,10 ee F eeF ee 所以 F x在0,上恰有一个零点 21 0 ,xee 且 0 0 ln10 x ex 10 分 ( )h x在 0 0,x上单调递减，在 0, x 上单调递增 0 000000 1 ()lnlnln1 x Mh xxxxxx e ， 21 0 ,xee 11 分 由()知 0 ()f x在0,

27、上单调递增 所以 21 0 2 21 1()f ef xf e ee 所以 2 21 1M ee 12 分 22.解析： （）由8xt 可得8tx，所以即280xy 所以直线l直角坐标方程为280xy.2 分 由 2 2xs可得 2 2 x s ，所以 22 (2 2 )84 2 x ysx 所以曲线C的直角坐标方程为 2 4yx5 分 （）设点( , )P x y，则 2 2 2 2 xs ys ，则 22 22 24 282(2)4 44 5 555 1( 2) sss d 9 分 当2s 时取等号，此时4,4xy所以点P到直线l的距离的最小值为 4 5 5 10 分 23.证明：（）因为abc、 、均为正数，由重要不等式可得 22 2abab， 22 2bcbc， 22 2caca3 分 以上三式相加可得 222222 222abbccaabbcca 即 222 abcabbcca得证.5 分 （）因为1ab bc ca由（）可知 222 1abc6 分 故 2222222 ()2222()123abcabcabbccaabcabbcca 所以3abc得证.10 分 8 22 tx y