第九节函数的连续性与间断点(创新班)课件.pptx
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- 第九节 函数 连续性 间断 创新 课件
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1、 连续函数的概念连续函数的概念 函数的间断点函数的间断点第九节第九节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点在函数极限概念的基础上在函数极限概念的基础上,我们引入另一个我们引入另一个 基本基本 概念概念函数的连续函数的连续 性性.函数的连续函数的连续 性是性是 函数的重要连续函数是非函数的重要连续函数是非常重要的一类函数常重要的一类函数,也是函数的一种重要性态之一也是函数的一种重要性态之一.函数的函数的连续性描述的是自变量有微小变化时连续性描述的是自变量有微小变化时,相应的因变量的变相应的因变量的变化也很微小化也很微小.函数的连续性是描述函数的渐变性态函数的连续性是描述函数的渐变性态,对函数
2、连续性一般有对函数连续性一般有三种描述:三种描述:连续函数的图形是一条连续不断曲线;连续函数的图形是一条连续不断曲线;什么是函数的连续性什么是函数的连续性?当自变量有微小变化时,因变量的变化也是微小的;当自变量有微小变化时,因变量的变化也是微小的;自变量的微小变化不会引起因变量的跳变;自变量的微小变化不会引起因变量的跳变;2xy 例如:例如:上上连连续续在在),(xysin 上上连连续续在在),(处处间间断断在在点点0 x1 yx 21()1xf xx 11xyO 1 x 在点间断.在点间断.如何用数学语言刻画函数的连续性?如何用数学语言刻画函数的连续性?一、一、连续函数的概念连续函数的概念1
3、.函数的增量函数的增量0000()(),(),.f xUxxUxxxxx 设设函函数数在在内内有有定定义义称称为为自自变变量量在在点点的的增增量量0()()(),.yf xf xf xx 称称为为函函数数相相应应于于的的增增量量xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y)(xfy 自变量和因变量的自变量和因变量的 增量表示方法增量表示方法:自变量和因变量的增量都可正可负自变量和因变量的增量都可正可负00001.:()()()()x xxxxxyf xf xyf xf x 000000002.:():()()()()x xxxxxxxyf xf xxyf xxf x
4、2.连续函数的概念连续函数的概念(1)函数函数 y=f(x)在在 x0 点连续点连续oxy0 xy=(x)yxx连续连续oxyyy=(x)x0 xx间断间断注注000lim()()0 xf xxf x 因因 0,0 xxxx 令令当当时时,000lim0lim()()xxxyf xf x 0 xx有有,从从而而oxyy=(x)xy0 x0 xx 000lim()()xf xxf x 函数函数 y=f(x)在在 x0 点连续的点连续的等价定义等价定义注注 该定义包含三重含义该定义包含三重含义:(1)函数函数 y=f(x)在在 x0 点有定义点有定义;(2)极限极限 存在存在;0lim()xxf
5、x(3);00lim()()xxf xf x 例例11sin,0,()0.0,0,xxf xxxx 试试证证函函数数在在处处连连续续证证,01sinlim0 xxx,0)0(f又又由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 利用函数利用函数 y=f(x)在在 x0 点连续的定义经常用来讨论分段点连续的定义经常用来讨论分段函数在分段点的连续性函数在分段点的连续性.例例2.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),(x任取任取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx ,1)2cos(xx.2sin2xy 则则,0,时时
6、当当对任意的对任意的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故.0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy(2)单侧连续单侧连续由左、右极限的概念可得到函数在某点左、右连续的概念由左、右极限的概念可得到函数在某点左、右连续的概念.000lim()()()xxf xf xf x 记为记为000lim()()()xxf xf xf x 记为记为,则称函数则称函数(x)在在x0 处处左连续左连续;00lim()()xxf xf x 定义定义3 若左极限若左极限,则称函数则称函数(x)在在x0 处处右连续右连续;00lim()()xxf xf x 若右极限若右
7、极限000lim()lim()lim()xxxxxxf xAf xf xA 因为因为则有则有00000lim()()lim()lim()()xxxxxxf xf xf xf xf x 结论结论:函数函数(x)在在x0 处连续的充要条件是处连续的充要条件是(x)在在 x0 处既左连处既左连续又右连续续又右连续.即即 定义定义4 若函数若函数(x)在开区间在开区间(a,b)内的每一点都连续内的每一点都连续,则则称称函数函数(x)在开区间在开区间(a,b)内连续内连续;若函数若函数(x)在开区间在开区间(a,b)内连续内连续,且在左端点且在左端点 a 右连续右连续,在右端点在右端点 b 左连续左连续
8、,则称则称函数函数(x)在闭区间在闭区间a,b 内连续内连续.00000lim()()lim()lim()()xxxxxxf xf xf xf xf x (3)函数函数 y=f(x)在在区间上区间上连续连续注注 1.区间上连续函数的图形时没有间断的一笔画的曲线段区间上连续函数的图形时没有间断的一笔画的曲线段.2.讨论分段函数在分段点的连续性讨论分段函数在分段点的连续性.例例32,0,()0.2,0,xxf xxxx 讨讨论论函函数数在在处处的的连连续续性性解解)2(lim)(lim00 xxfxx2(0),f )2(lim)(lim00 xxfxx2(0),f 右连续但不左连续右连续但不左连续
9、,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf解解 (1)1f 因因为为()1.f xx 故故在在处处连连续续211lim()lim1xxf xx 且且11 lim()lim(2)1xxf xx 1lim()(1)1xf xf 则则 讨论函数讨论函数在在 x=1处的连续性处的连续性.2,01 ()2,12 xxf xxx 在点在点x=0,x=1处是否连续处是否连续.解解 在点在点x=0处处,因为因为00lim()lim(1)xxf xx 1(0)1f 所以所以,f(x)在点在点 x=0处不连续处不连续.因为在点因为在点x=1处处,11lim()lim(1)xxf xx 2(1)f 又又
10、11lim()lim2xxf xx 2(1)f 所以所以f(x)在点在点 x=1处连续处连续.讨论函数讨论函数1,0()1,012,1xxf xxxxx .0,0,0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 ,1)(lim)(lim00 xaxfxx ,a,)0(af),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf,1 a确定常数确定常数 k,b的值的值,使函数使函数 在定义域内连续在定义域内连续.1sin,0(),01sin,0 xxxf xkxxbx
11、x 解解001lim()limsin1xxf xxx 001lim()lim(sin)xxf xxbbx 1b 要使要使(x)在在 x=0 处处连续连续,故故000lim()lim()lim()(0)1xxxf xf xf xfk 确定常数确定常数 a,b,使使 为连续函数为连续函数.2122()lim1nnnxaxbxf xx 2,11 1()1(1),121(1),12axbxxxxfxabxabx ,因因 为为则要使则要使(x)连续连续,则则(x)就必须在就必须在 x=1处连续处连续.解解11(1)211(1)2abababab 解之解之,得得 a=0,b=1故当故当 a=0且且 b=1
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