第三章截切与相贯课件.ppt

1、第三章第三章 立体表面的交线立体表面的交线 用平面与立体相交，截去体的一部分用平面与立体相交，截去体的一部分 截切截切。截平面与立体表面的交线截平面与立体表面的交线截交线截交线。用以截切立体的平面用以截切立体的平面截平面截平面。3.1 3.1 立体表面的截交线立体表面的截交线 因平面截切在立体上形成的平面因平面截切在立体上形成的平面截断面截断面。截交线的性质：截交线的性质：封闭性封闭性：封闭的平面图形。：封闭的平面图形。截交线的形状取决于截交线的形状取决于被截立体被截立体的形状的形状及及截平面与立体的相对位置截平面与立体的相对位置。2.2.共有性共有性：截交线是截平面与立：截交线是截平面与立体

2、表面的共有线。体表面的共有线。求求截交线的实质是求两平面的交线截交线的实质是求两平面的交线 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法：求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点棱线法棱线法。求立体棱面与截平面的交线求立体棱面与截平面的交线棱面法棱面法。一、平面立体表面的截交线一、平面立体表面的截交线每条边是每条边是截平面与立体棱面的交线截平面与立体棱面的交线。截交线是一个由截交线是一个由直线组成直线组成的的封闭的平面多边形封闭的平面多边形。端点是端点是截平面与立体棱线的交点截平面与立体棱线的交点 截平面与立体的相对位置截平面与立体的相对位置 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定

3、截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的形状线的形状 空间及投影分析空间及投影分析 画出截交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。线，并连接成多边形。求截交线的步骤：求截交线的步骤：交线的形状？交线的形状？截平面与体的截平面与体的几个棱面相交？几个棱面相交？投影分析投影分析例例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。空间分析空间分析 求截交线求截交线 分析棱线的投影分析棱线的投影 检查检查 尤其注意检查截尤其注意检查截 交线投影的类似性交线投影的类似性3 3 2 2 1 1(4(4)1

4、 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4 3 3 截交线在俯、截交线在俯、左视图上的形左视图上的形状？状？例例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。我们采用的是我们采用的是哪种解题方法？哪种解题方法？棱线法！棱线法！要逐个截平面分析和要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面立体绘制截交线。当平面立体只有局部被截切时，先假只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截想为整体被截切，求出截交线后再取局部。交线后再取局部。例例2 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。1 12 21 1(2(2)2 2 1 1 三面共点：

5、三面共点：、两点分两点分别同时位于三个面别同时位于三个面上。上。例例2 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。例例3 试完成五棱柱被两平面、截切后的投影。试完成五棱柱被两平面、截切后的投影。1 1 8 8 8 8例例4:4:求八棱柱被平面求八棱柱被平面P P截切后的俯视图。截切后的俯视图。P 截交线的形状？截交线的形状？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交线的投影截交线的投影特性？特性？2 2 3 3 6 6 7 7 4 4 5 5 求截交线求截交线1 15 54 47 76 63 32 2分析棱线的分析棱线的投影投影检查截交

6、检查截交线的投影线的投影例例4:4:求八棱柱被平面求八棱柱被平面P P截切后的俯视图。截切后的俯视图。截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线。截交线的形状取决于回转体表面的形状及截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置截平面与回转体轴线的相对位置。二、回转体的截交线二、回转体的截交线 截交线都是截交线都是封闭的平面图形封闭的平面图形。截交线的性质：截交线的性质：2 2 画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可将各点光滑地连接起

7、来，并判断截交线的可 见性。见性。先找特殊点，再补充中间点先找特殊点，再补充中间点。求截交线的一般步骤：求截交线的一般步骤：1 1 空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的 相对位置，以相对位置，以确定截交线的形状确定截交线的形状。分析截平面及回转体与投影面的相对位置，分析截平面及回转体与投影面的相对位置，明明 确确截交线的投影特性截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。，如积聚性、类似性等。找出找出截交线的截交线的已知已知投影，投影，予见未知予见未知投影。投影。圆柱体的截切圆柱体的截切 截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平

8、面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置截平面与圆柱轴线的相对位置垂直垂直圆圆椭圆椭圆平行平行两平行直线两平行直线倾斜倾斜P PP PP P截交线的已知投影？截交线的已知投影？例例1 1：求左视图：求左视图找特殊点找特殊点补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影截交线的侧面投截交线的侧面投影是什么形状？影是什么形状？截交线的截交线的空间形状？空间形状？例例1 1：求左视图：求左视图找特殊点找特殊点找中间点找中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影 椭圆的长、椭圆的长、短轴随截平面与短轴随截平面与圆柱轴线夹角的圆柱

9、轴线夹角的变化而改变。变化而改变。什么情况下什么情况下投影为圆呢？投影为圆呢？截平面与圆柱轴截平面与圆柱轴线成线成4545时。时。4545例例2 2：求左视图：求左视图例例2 2：求左视图：求左视图例例3 3：求左视图：求左视图空间及投影分析空间及投影分析求截交线求截交线分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截交线的形状截交线的形状截交线的投影特性截交线的投影特性解题步骤：解题步骤：同一立体被多同一立体被多个平面截切，要逐个平面截切，要逐个截平面进行截交个截平面进行截交线的分析和作图。线的分析和作图。例例3 3：求左视图：求左视图空间及投影分析空间及投影分析求截交线求截交线分析圆柱体

10、轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截交线的形状截交线的形状截交线的投影特性截交线的投影特性解题步骤：解题步骤：例例4 4：求左视图：求左视图例例4 4：求左视图：求左视图分析、比较分析、比较例例5 5：求左视图：求左视图例例6 6：求俯视图：求俯视图例例6 6：求俯视图：求俯视图分析、比较分析、比较=90=90 90900 0 圆锥体表面的截交线圆锥体表面的截交线过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线圆圆椭圆椭圆抛物线抛物线双曲线双曲线 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面与圆锥面的交线有五种形状。面与圆锥面的交线有五种形状。dcecadb例例1:1

11、:圆锥被正平面截切，补全主视图。圆锥被正平面截切，补全主视图。EDCABba截交线截交线的空间的空间形状？形状？截交线截交线的投影的投影特性？特性？e例例2:2:圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。截交线，并完成三视图。截交线截交线的空间的空间形状？形状？截交线截交线的投影的投影特性？特性？找特殊点找特殊点如何找椭圆另如何找椭圆另一根轴的端点？一根轴的端点？补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓线的分析轮廓线的 投影投影例例2:2:圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。截交线，并完成三视图。找特殊点找特殊点补充中间点补充中间点

12、光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓线的分析轮廓线的 投影投影 圆球表面的截交线圆球表面的截交线 平面与圆球相交，平面与圆球相交，截交线的形状都是圆截交线的形状都是圆，但，但根据截平面与投影面的相对位置不同，根据截平面与投影面的相对位置不同，其其截交线截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。水平面与圆球面的水平面与圆球面的交线的投影，在俯视图交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。图上积聚为直线。例：求半球体截切后的俯视图和左视图。例：求半球体截切后的俯视图和左视图。两个侧平面与圆球两个侧平面与圆球面的交线的投影，在侧面的

13、交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。俯视图上积聚为直线。圆球表面的截交线圆球表面的截交线 平面与圆球相交，平面与圆球相交，截交线的形状都是圆截交线的形状都是圆，但，但根据截平面与投影面的相对位置不同，根据截平面与投影面的相对位置不同，其其截交线截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。例：求半球体截切后的俯视图和左视图。例：求半球体截切后的俯视图和左视图。例：求作顶尖的俯视图例：求作顶尖的俯视图 4 4 复合回转体表面的截交线复合回转体表面的截交线 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成的首先分析复合回转体由哪些基本

14、回转体组成的以及它们的连接关系，以及它们的连接关系，然后然后分别求出这些基本回转分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接体的截交线，并依次将其连接。两立体相交两立体相交相贯相贯。两立体相交表面产生的交线两立体相交表面产生的交线相贯线相贯线。3.2 3.2 立体表面的相贯线立体表面的相贯线相贯线的主要性质：相贯线的主要性质：求相贯线的作图实质是找出相贯的两求相贯线的作图实质是找出相贯的两立体表面的若干立体表面的若干共有点共有点的投影。的投影。共有性共有性 表面性表面性相贯线位于两立体的表面上。相贯线位于两立体的表面上。相贯线是相贯线是两立体表面的共有线两立体表面的共有线。封闭性封闭性 相贯

15、线一般是相贯线一般是封闭的空间折封闭的空间折线线（通常由直线和曲线组成）（通常由直线和曲线组成）或或空间曲线空间曲线。相贯线相贯线是由若干段平面曲是由若干段平面曲 线或直线组成的线或直线组成的空间折线空间折线，每一段是平面立体的棱面每一段是平面立体的棱面 与回转体表面的交线与回转体表面的交线。一、平面立体与回转体相贯一、平面立体与回转体相贯 求相贯线的步骤：求相贯线的步骤：分析各棱面与回转体表面的相对分析各棱面与回转体表面的相对 位置，从而确定交线的形状。位置，从而确定交线的形状。求出各棱面与回转体表面的截交线。求出各棱面与回转体表面的截交线。连接各段交线，并判断可见性。连接各段交线，并判断可

16、见性。求交线的实质是求交线的实质是求各棱面求各棱面 与回转面的截交线。与回转面的截交线。例：补全主视图例：补全主视图 空间分析：空间分析：四四棱柱的四个棱面分别与棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，其交线为两段直柱轴线平行，其交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，其交线为两段圆弧。直，其交线为两段圆弧。投影分析：投影分析：由于相贯线是两立体表面由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的侧面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。投影积聚在矩形上。例例1：补全主

17、视图：补全主视图例例2：求作主视图：求作主视图例例2：求作主视图：求作主视图 相贯线一般为光滑封闭的空相贯线一般为光滑封闭的空 间曲线间曲线，它是两回转体表面它是两回转体表面 的共有线的共有线。二、回转体与回转体相贯二、回转体与回转体相贯 作图方法作图方法 表面取点法表面取点法 辅助平面法辅助平面法 先找特殊点。先找特殊点。作图过程作图过程 补充中间点。补充中间点。确定交线的确定交线的弯曲趋势弯曲趋势确定交线确定交线的范围的范围 光滑连接。光滑连接。例例1 1：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。空间及投影分析：空间及投影分析：小圆柱轴线垂直于小圆柱轴线垂直于H面，水平面

18、，水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影积聚在该圆性，相贯线的水平投影积聚在该圆上。大圆柱轴线垂直于上。大圆柱轴线垂直于W面，侧面面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影投影积聚为圆，相贯线的侧面投影应积聚在该圆上，为两圆柱面共有应积聚在该圆上，为两圆柱面共有的一段圆弧。的一段圆弧。求相贯线的投影：求相贯线的投影：利用积聚性，采用利用积聚性，采用表面取点法。表面取点法。找特殊点找特殊点 补充中间点补充中间点 光滑连接光滑连接例例1 1：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。讨论：讨论：相贯线的产生：相贯线的产生：实实相贯实实相贯空

19、实相贯空实相贯空空相贯空空相贯 两圆柱直径的变化对相贯线的影响两圆柱直径的变化对相贯线的影响交线为两条平面交线为两条平面曲线（椭圆）曲线（椭圆）相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况(1)两回转体同切于一个球时，相贯线为椭两回转体同切于一个球时，相贯线为椭圆（平面曲线）。圆（平面曲线）。（2）两同轴回转体相交，相贯线为与轴垂直）两同轴回转体相交，相贯线为与轴垂直的圆的圆（3）两圆柱轴线平行时，相贯线为两条）两圆柱轴线平行时，相贯线为两条平行直线。两锥体共锥顶时，相贯线为交平行直线。两锥体共锥顶时，相贯线为交于锥顶的两直线。于锥顶的两直线。例例2 2：补全主视图：补全主视图 外形交线外形交线 两实体相

20、贯两实体相贯 空实相贯空实相贯 内形交线内形交线 空空相贯空空相贯例例2 2：补全主视图：补全主视图 无论是两外表面相贯，无论是两外表面相贯，还是一内表面和一外表面还是一内表面和一外表面相贯，或者两内表面相贯，相贯，或者两内表面相贯，求相贯线的方法和思路是求相贯线的方法和思路是相同的。相同的。小小 结：结：例例3 3：求主视图：求主视图 外表面与外表外表面与外表面相贯，内表面与面相贯，内表面与内表面相贯。分别内表面相贯。分别求其相贯线。求其相贯线。相切处无线相切处无线例例3 3：求主视图：求主视图 小小 结结 平面立体的截交线一般情况下是由直线组平面立体的截交线一般情况下是由直线组 成的封闭的

21、平面多边形，多边形的边是成的封闭的平面多边形，多边形的边是截截 平面与棱面的交线平面与棱面的交线。求截交线的方法：求截交线的方法：棱线法棱线法 棱面法棱面法 平面截切回转体，截交线的形状取决于截平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。平面与被截立体轴线的相对位置。截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线。重点掌握求立体表面的截交线、相贯线的重点掌握求立体表面的截交线、相贯线的作图方法。作图方法。一、立体表面的截交线一、立体表面的截交线 当截交线的投影为非圆曲线时，当截交线的投影为非圆曲线时，要要先先找特殊点，再补充中间点找特殊点，再补充中

22、间点，最后光滑连接，最后光滑连接各点。各点。注意分析平面立体的棱线和回转体轮注意分析平面立体的棱线和回转体轮廓素线的投影。廓素线的投影。分析截平面与被截立体对投影面的相对分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以位置，以确定截交线的投影特性确定截交线的投影特性。求截交线求截交线 解题方法与步骤解题方法与步骤 空间及投影分析空间及投影分析分析截平面与被截立体的相对位置，以分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状确定截交线的形状。当单体被多个截平面截切时，要当单体被多个截平面截切时，要逐个逐个截截 平面平面进行截交线的分析与作图进行截交线的分析与作图。当只有。当只有 局部被截切局部被

23、截切时，先时，先按整体被截切求出截按整体被截切求出截 交线交线，然后，然后再取局部再取局部。求求复合回转体复合回转体的截交线，应首先分析复的截交线，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后们的连接关系，然后分别求出分别求出这些这些基本基本 回转体的截交线回转体的截交线，并，并依次将其连接依次将其连接。求相贯线的基本方法求相贯线的基本方法 相贯线的性质：相贯线的性质：表面性表面性 共有性共有性 封闭性封闭性 解题过程解题过程 空间分析：空间分析：投影分析：投影分析：是否有积聚性投影？是否有积聚性投影？找出找出相贯线的相贯线的已知投影已

24、知投影，预见未知投影，预见未知投影，从而从而选择解题方法。选择解题方法。表面取点法表面取点法 辅助平面法辅助平面法 分析相交两立体的表面形状，形体大小及相分析相交两立体的表面形状，形体大小及相对位置，对位置，预见交线的形状预见交线的形状。二、立体表面的相贯线二、立体表面的相贯线特殊点包括：最上点、最下点、最左点、特殊点包括：最上点、最下点、最左点、最右点、最前点、最后点、最右点、最前点、最后点、轮廓线上的点等。轮廓线上的点等。作图作图找点：找点：连线连线检查、加深检查、加深尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。当相贯线的投影为非圆曲线时，其作图步骤：当相贯线的投影

25、为非圆曲线时，其作图步骤：先找特殊点先找特殊点补充若干中间点补充若干中间点平面体与圆柱体相贯平面体与圆柱体相贯相贯线的产生：相贯线的产生：求相贯线的方法：求相贯线的方法：相贯线的形状及投影：相贯线的形状及投影：外表面与外表面相交，外表面与外表面相交，外表面与内表面相交，外表面与内表面相交，内表面与内表面相交。内表面与内表面相交。求平面体的求平面体的棱面与圆柱面的截交线棱面与圆柱面的截交线，依次连依次连接起来。接起来。相贯线为相贯线为封闭的空间折线封闭的空间折线。相贯线在非积聚性。相贯线在非积聚性投影上总是投影上总是向被穿的圆柱体里面弯折向被穿的圆柱体里面弯折，而且在两体，而且在两体相交区域内一

26、般不应有圆柱体轮廓线的投影相交区域内一般不应有圆柱体轮廓线的投影。两圆柱体相贯两圆柱体相贯相贯线的产生相贯线的产生：求相贯线的方法：求相贯线的方法：相贯线的形状及投影：相贯线的形状及投影：外表面与外表面相交，外外表面与外表面相交，外表面与内表面相交，内表面与表面与内表面相交，内表面与内表面相交。内表面相交。常用的方法是常用的方法是利用积聚性利用积聚性表面取点表面取点。相贯线为相贯线为光滑封闭的空间曲线光滑封闭的空间曲线。当两圆柱正交，。当两圆柱正交，小圆柱穿大圆柱时，相贯线在非积聚性投影上总是小圆柱穿大圆柱时，相贯线在非积聚性投影上总是向大圆柱里弯曲向大圆柱里弯曲，当当两圆柱直径相等两圆柱直径相等时，相贯线在时，相贯线在空间为两个椭圆，其空间为两个椭圆，其投影变为直线投影变为直线。在两体在两体相交区域内一般不应有圆柱体轮廓线的相交区域内一般不应有圆柱体轮廓线的投影投影。