第三章控制系统的时域分析—2二阶系统时域分析课件.ppt

1、13-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析n二阶系统的重要性二阶系统的重要性 典型性典型性：工程上最具代表性，高阶系统在工程上常：工程上最具代表性，高阶系统在工程上常 可近似为二阶系统加以处理。可近似为二阶系统加以处理。实用性实用性：二阶系统的性能指标计算简单、精确，便：二阶系统的性能指标计算简单、精确，便 于工程上分析。于工程上分析。过阻尼情况过阻尼情况 无阻尼情况无阻尼情况 临界阻尼情况临界阻尼情况 欠阻尼情况欠阻尼情况 单位阶跃响应单位阶跃响应n二阶系统的时域分析的主要研究内容二阶系统的时域分析的主要研究内容2二阶系统分析步骤二阶系统分析步骤快快稳稳准准33-3 二阶系统的时域分析二

2、阶系统的时域分析二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型 一伺服系统，系统框图如下：一伺服系统，系统框图如下：K 为开环增益；为开环增益；Tm 为机电常数为机电常数mmmmTKsTsTKKssTKsGsGsRsCs1122)()()()()(开前C(s)R(s)-C(s)R(s)1sTsKmB(s)E(s)4为使结果具有普遍性，可采用如下标准形式：为使结果具有普遍性，可采用如下标准形式：222221nnnmmmssTKsTsTKsRsCs )()()(mnTK2 mnTK mnT12 KTm21 n

3、自然频率（或无阻尼振荡频率）自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）阻尼比（相对阻尼系数）0222nnss 1221 nns,二阶系统的闭环特征方程为二阶系统的闭环特征方程为:特征方程的两个根（闭环极点）特征方程的两个根（闭环极点）:5 122,1nns特征方程的两个根（闭环极点）特征方程的两个根（闭环极点）若若0则二阶系统具有两个正实部的特征根，其单位阶跃响应为则二阶系统具有两个正实部的特征根，其单位阶跃响应为001111122ttetcntn,),arccossin()(或或 01112112122122122teetcttnn,)()(0由于由于所以所以指数因子具有正幂指数指数

4、因子具有正幂指数，因此，系统的动，因此，系统的动0态过程为发散的形式，从而表明态过程为发散的形式，从而表明 的二阶系统是不的二阶系统是不稳定的，所以对于一个稳定的系统其阻尼比稳定的，所以对于一个稳定的系统其阻尼比 一定是大一定是大于零的。于零的。6122,1nns闭环极点分布图闭环极点分布图7不难看出：不难看出：时，二阶系统的单位脉冲响应是时，二阶系统的单位脉冲响应是发散的，即系统是不稳定的；发散的，即系统是不稳定的；时，二阶系统时，二阶系统的单位脉冲响应是收敛的，且趋于零平衡状态，即的单位脉冲响应是收敛的，且趋于零平衡状态，即系统是稳定的。系统是稳定的。时，时，二阶系统的单位脉冲响二阶系统的

5、单位脉冲响应是等幅振荡的，系统是不稳定的。应是等幅振荡的，系统是不稳定的。00082 2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 v过阻尼情况过阻尼情况二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，传递函数：二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，传递函数：2222)()()(nnnsssRsCs 输入为阶跃函数输入为阶跃函数 时，则系统的输出量为：时，则系统的输出量为：1()R ss 112221 nnnnss ssssRssCnnn12)()(222 自自己己求求其其中中2100221101222111,1)(12 )()()(AAsCsAssAssAsALsssLsRsLsCLt

6、csnnn 1 9 tstststsesessseAeAtc1221211221111v单调过程，无超调，单调过程，无超调，大，内耗大，无法维持能量交换，即大，内耗大，无法维持能量交换，即 不能振荡。不能振荡。v 较大时，即较大时，即 时，系统可简化为一阶时，系统可简化为一阶nnnss21012221故当故当 较大时，较大时，此时，此时c(t)表达式括号里的第一项要表达式括号里的第一项要比第二项衰减快的多，因此忽略括号里的第一项，此时比第二项衰减快的多，因此忽略括号里的第一项，此时 tststststseessesssesessstc11112111111122212211212ss显然，此时

7、的二阶系统就简化为一阶系统，其响应与一阶系统的显然，此时的二阶系统就简化为一阶系统，其响应与一阶系统的单位阶跃响应相近，工程上，当单位阶跃响应相近，工程上，当 时，即可认为时，即可认为12ss5.1110v无阻尼下单位阶跃响应无阻尼下单位阶跃响应0ssRttr1)(,)(1)(2222211)(nnnssssssC tsssLsCLtcnncos11)(2211当当0时，二阶系统的单位阶跃响应是时，二阶系统的单位阶跃响应是振幅振幅为为1的的等幅等幅振荡，其振荡频率为振荡，其振荡频率为 ，所以，称，所以，称 为为“无阻尼自然无阻尼自然振荡角频率振荡角频率”nn112221nnnnssnnjsjs

8、2102222222)(nnnnnssss1121()2 0 11sss 0246810121416182000.20.40.60.811.21.41.61.8212v临界阻尼下单位阶跃响应临界阻尼下单位阶跃响应1ssRttr1)(,)(1)(nnnnnssssssC1)(11)()(222临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应临界阻尼响应0),1(11)(tteetetcntttnnnn 当当1时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的的递增曲线0)(2tnnedttdcnss2121ss n1无超调

9、无超调单调上升过程单调上升过程。判断依据：判断依据：atnnetnasL11!1111321()211sss 05101520253000.20.40.60.811.21,2,101 2 10 14v欠阻尼情况欠阻尼情况dnnjjs 2211,二阶系统的闭环特征根为二阶系统的闭环特征根为nnnd21衰减系数衰减系数阻尼振荡频率阻尼振荡频率1015 222222222221 112dnddndnndnndnnnnnssssssssssssC22tsinaseLat22-cosasasteLat sincos)(ttetcddtn 21116tetteetteettetcntddttddttddt

10、nnnnnn2222221sin11sincoscossin11sincos111 sin1cos1)(sincoscossinsin170t tetcntn221sin11)(称 为阻尼角 22221arctan1tanarccos cos1arcsin 1sin tteetcddttnnsincos1112218ndn123n1n2n300n3n2n1321 j1sj等阻尼线等阻尼线等自然振荡角频率线等自然振荡角频率线 221arctanarccos1arcsin 2222222222,111nnnnnyxyxjyxjs等自然振荡角频率线等自然振荡角频率线 cos 19表明表明二阶欠阻尼二

11、阶欠阻尼系统在单位阶跃函数作用下，系统在单位阶跃函数作用下，稳态分量稳态分量为为1，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为易知易知 ，欠阻尼情况下的单位阶跃响应为衰减，欠阻尼情况下的单位阶跃响应为衰减振荡过程。振荡过程。d阻尼振荡频率阻尼振荡频率 tetcntn221sin11)(答：答：包络线包络线 决定系统的收敛速度，决定系统的收敛速度，所以称所以称 为为“衰减因子衰减因子”，称，称 为衰减指数。为衰减指数。211tnetnen 1cn为什么叫为什么叫“衰减指数衰减指数”？问：问：20222()2 0.5 1nnsss 05101500.20.40.6

12、0.811.20.5n1n5n0.5,1 5n21dn210123456789101112 nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.022二二阶系统单位阶跃响应定性分析阶系统单位阶跃响应定性分析2222)()()(nnnsssRsCs过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼11欠阻尼欠阻尼零阻尼零阻尼010122,1nnsttcncos1)(122cos1sin11)(tetcntn)1(1)(tetcntntTTTtTTTeetc2211121111111)(233.欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统

13、的动态过程分析 在控制工程上，除了一些不允许产生振荡响应的系统在控制工程上，除了一些不允许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、较快的响应速外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、较快的响应速度和较短的调节时间。度和较短的调节时间。二阶系统一般取二阶系统一般取 8.04.0 二阶系统二阶系统动态性能指标动态性能指标，除了峰值时间、超调量和，除了峰值时间、超调量和上升时间上升时间，可用可用 精确表示外，延迟时间和调精确表示外，延迟时间和调节时间很难用节时间很难用 准确描述，只能采用工程上的准确描述，只能采用工程上的近似方法计算。近似方法计算。n和707.022最佳阻尼系数最佳阻尼

14、系数%,，sprdttttn和24欠阻尼二阶系统各特征参量之间关系的再分析欠阻尼二阶系统各特征参量之间关系的再分析左图表示欠阻尼二阶系左图表示欠阻尼二阶系统各特征参量之间的关统各特征参量之间的关系：衰减系数系：衰减系数 是闭环是闭环极点到虚轴的距离；阻极点到虚轴的距离；阻尼振荡频率尼振荡频率 是闭环极是闭环极点到实轴的距离；自然点到实轴的距离；自然频率频率 是闭环极点到原是闭环极点到原点的距离。点的距离。与负实轴与负实轴的夹角的余弦正好是阻的夹角的余弦正好是阻尼比尼比 ，即，即故称故称 为阻尼角。为阻尼角。1s2s21ndn10j21ndndnncosdnnjjs22,1125 求得：求得：1

15、0701 ,.ndt（1）td（延迟时间）（延迟时间）5.0arccos1sin1)exp(1)(22dndndtttc221arccos1sin2ln1dntndt一定，一定，dtn,延迟时间延迟时间越短越短n一定，一定，dt,延迟时间越短延迟时间越短arccos1sin)exp(111)(22tttcnn ctcd21)(关于关于td的的隐式表达隐式表达利用曲线拟合法近似地得到：利用曲线拟合法近似地得到：26 0)sin()exp(1112rdrnrtttc,2,1,0kktrd(2)tr（上升时间）（上升时间）dnrt21arccos1sin)exp(111)(22tttcnn即即响响应

16、应速速度度越越快快当当一一定定一一定定，即即,cos rdnt K=1 1)(ctcr27 对上式求导，并令其为零，即对上式求导，并令其为零，即0)cos(11)sin(1122tetedtddtnnntetcdtnsin111)(2 0 dttdc22x2,2tgarctgarctan1xxxktd211tg21)(tgnddt(3)tp（峰值时间）（峰值时间）2821arctan ,2,0pdtpt）（闭环极点离原点越远一定时，n21pdnttp为输出响应达到的第一个峰值所对应的时间，为输出响应达到的第一个峰值所对应的时间，所以应取所以应取k1，于是，于是121ktd21arctan21n

17、drt29超调量%超调量在峰值时间发生，故超调量在峰值时间发生，故 c(tp)即为最大输出即为最大输出)sin()exp(111)(2pdpnptttc21sin)sin(%100)()()(%cctcp（4）%100)1exp(%22n1pt)sin()1exp(111)(22ptc)1exp(1)(2ptc12130 4.0%8.4%707.0%4.25%0.10%8.04.0%4.25%5.1%（4）超调量与阻尼比）超调量与阻尼比 的关系的关系0%100%超调量仅是阻尼比超调量仅是阻尼比 的函数，而与自然频率的函数，而与自然频率 无关。阻无关。阻尼比尼比 越大，超调量越小，为了保证既减小

18、超调量又保持越大，超调量越小，为了保证既减小超调量又保持一定的响应速度，工程上一般一定的响应速度，工程上一般n8.04.0%100)1exp(%231stt ，满足满足 02.0or 05.01)()()(tcctc一定一定:stn 调节时间调节时间越越短短 (5)ts（调节时间）（调节时间）nnnnst5.36.0*05.0ln18.01ln11ln122 221)exp(sin1)exp(tttctcndn02.0or 05.01)exp(2snt得：取stt02.05.405.05.3，nsnstt8.04.0一定一定:st 调节时间调节时间越越短短n320121112111211nte

19、1nTT2T3T4Tt()c t211nte 21)exp(1ttfn包络线：包络线：对称于对称于 1c连接连接c(t)的极值点组成的光滑曲线的极值点组成的光滑曲线ts另解：另解：c(t)总是位于两总是位于两条包络线内，所以条包络线内，所以ts可可由包络线方程求得：由包络线方程求得：11)exp(12tnnnnst5.3 8.0105.0ln1 1ln12233例例1:已知二阶系统的动态结构图。当输入量为单位阶已知二阶系统的动态结构图。当输入量为单位阶跃函数时，试计算系统响应的上升时间、峰值时间、跃函数时，试计算系统响应的上升时间、峰值时间、超调量和调节时间超调量和调节时间 R(s)C(s)2

20、5s(s 6)(1)上升时间上升时间(2)峰值时间峰值时间(3)超调量超调量 25625256252sssss6.0 562252nnn stndp79.0412 stndr55.04927.01arccos2%49.9%100)1exp(%2(4)调节时间调节时间 05.0),(167.15*6.05.35.3stns34-+()R s()C s)5.34(5SSK例例2.如图所示，系统输入如图所示，系统输入r(t)=1,试计算试计算 K=200时，时，系统的欠阻尼响应系统的欠阻尼响应c(t)和性能指标：和性能指标：%，sprdtttt)5.34(51)5.34(5)(1)()()(ssKs

21、sKsGsGsRsC解：2222nnnss10005.3410002ss545.0 5.342/6.31 10002nnnsrad秒08.0838.06.31994.014.3545.016.31545.0cos14.31cos2121ndrtKssK55.3452秒044.06.31545.07.017.01ndt3505.0203.06.31545.05.35.3，秒nst%13%100)545.01545.0exp(%100)1exp(%22)994.05.26sin()2.17exp(18.11545.0cos545.016.31sin)6.31545.0exp(545.0111sin

22、)exp(111)(1222tttttttcdn秒12.05.2614.3545.016.3114.32dpt36例例3:设系统的结构图如下。要求系统的性能指标为设系统的结构图如下。要求系统的性能指标为p=20%,tp=1s。试确定系统的。试确定系统的K和和KA值值,并计算性能并计算性能指标指标tr、ts。R(s)C(s)1 KAs控制系统框图控制系统框图37解解 首先首先,根据要求的根据要求的p求取相应的阻尼比求取相应的阻尼比 ：61.1ln512.01exp22p解得解得 =0.456。其次其次,由已知条件由已知条件tp=1s和已求出的和已求出的 =0.456，求无阻尼，求无阻尼自然振荡频

23、率自然振荡频率n,即即 112npt22pp1In1In 简便求法：简便求法：38解得解得n=3.53rad/s。此二阶系统的闭环传递函数，由系统框图可得此二阶系统的闭环传递函数，由系统框图可得 KsKKsKsRsCs)1()()()(A2与标准形式与标准形式 比较比较,求求K和和KA值。值。A212,KKKnn得得K=12.5,KA=0.178。最后计算最后计算tr、ts：2222nnnss比较上两式得比较上两式得rad 1.11arctan2ststnsnr17.25.365.012，39例题例题4.设单位负反馈二阶系统的阶跃响应曲线如图所示设单位负反馈二阶系统的阶跃响应曲线如图所示 试确

24、定此系统的开环传递函数和闭环传递函数试确定此系统的开环传递函数和闭环传递函数。解:由图可知：tp=0.4秒4.04037.0%25%100)1exp(%2sradstnnp/585.8)(4.01225.0%25%100445%40s)s(R47.7393.67.73)(2sss开环传递函数开环传递函数:闭环传递函数闭环传递函数:注意：系统为单位反馈系统，是注意：系统为单位反馈系统，是阶跃阶跃输入，输入，而不是单位而不是单位阶跃阶跃输入。输入。()C s)2(2nnssssR4)()93.6(7.73)(sssG4.04037.0rad/s585.8n)(sC2222nnnss41例题例题5：

25、1ssK sC sR-s1 KsKsKsHsGsGsRsCs 112已知已知stpp1%,20%并求和K试确定试确定srdttt和,解：KKKn21,%20%100)1exp(%246.01In1In2p2p18.01246.1253.311222KKttnnpnnp10.1arccos%517.25.3,1,37.07.012nsnrndttt42例例6:系统是反馈系数为系统是反馈系数为的负反馈二阶控制系统。已知单的负反馈二阶控制系统。已知单位阶跃响应特性，试根据图中标注的量确定系统参数位阶跃响应特性，试根据图中标注的量确定系统参数K,T和和。R(s)C(s)Ks(Ts 1)t 10 5 5

26、 7.21 c(t)0 3.25 思路：思路：pn%t c()2KT(s)(TssK)2KT1KssTT21KT1KssTTts0c()limc(t)limsC(s)pn%K,Tt 432KT(s)(TssK)解：解：2ts0s0K1limc(t)limsC(s)lims5s(TssK)0.221%e100%7.21 544.2%50.252 pdt2n3.25s1 n1rad/s 2nKT n12T T1.98K9.9 21KTT(s)1KssTT25s0.5s 1t 10 5 5 7.21 c(t)0 3.25 44二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，传递函数：二阶系统的闭环特征方

27、程有两个不相等的负实根，传递函数：式中式中)1(121 nT)1(122 nT1121211,ssTT 过阻尼二阶系统的动态过程分析过阻尼二阶系统的动态过程分析 )(111221222sTsTsssRsCsnnn 112221 nnnnss)(2121111TsTsTT2121 then ifssTT 451 210121lim(0)()1(0 1/)(0 1/)sTTcsC sTT系统的输出量为：系统的输出量为：112211112111lim()()()(1/)(1/)sTTTcsC ssTTs sTsT122112111111()1T TTTTTT31211cTT输入为阶跃函数输入为阶跃函

28、数1()R ss 231212121111111TscTscscsTsTsTTsC/)(46tTTTtTTTeeSCLtc22111211111111)()(12122111()ttTTTeT eTT 响应特性包含两个单调衰减的指数项，其代数和决不会响应特性包含两个单调衰减的指数项，其代数和决不会超过稳态值超过稳态值1。因而，过阻尼二阶系统的单位阶跃响应。因而，过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是非振荡的。是非振荡的。12TT47 (2)tr（上升时间）（上升时间）1,5.112nrt(3)ts（调节时间）（调节时间）1,2.06.012ndt(1)td（延迟时间）（延迟时间）121211213,1

29、,4)(,75.4 ,1,TtTTssTtTTss 对应着对应着48例例7 7 系统方框如图所示，试求系统方框如图所示，试求 当当K=10=10时系统的主要动态性能指标时系统的主要动态性能指标 使系统的阻尼比使系统的阻尼比=0.707=0.707的的K值值 当当K=1.6=1.6时系统的动态性能指标时系统的动态性能指标22222210100()0.10.110101002nnnKsssKssssss 1001010100.522 10nn解：解：当当K=10=10时，系统的闭环传递函数为时，系统的闭环传递函数为可得：可得：492222210 ()0.110102nnnKKsssKssKss K

30、n10 102n100.7072 10K5 K使系统的阻尼比使系统的阻尼比=0.707的的K值值可得：可得：再由：再由：得：得：22213.140.363()11 0.510%16.3%330.6()0.5 10pnsntsets stns7.05.350)1)(s1(168)(s2(16 161016101010)(2122TTssssKssKs21s82s124ss(s)5.123 31Tts 当当K=1.6=1.6时，闭环系统为时，闭环系统为两个闭环实数极点为两个闭环实数极点为此时阻尼比=1.25=1.25大于大于1，系统阶跃响应不存在峰值时间和超调量，其调整时间近似为 12121121

31、3,1,4)(,75.4 ,1,TtTTssTtTTss 对应着对应着5152()20.752.182%100%9%2pct 21122222()2nnnKK KssasKss例例8 8 系统结构及单位阶跃响应曲线如下，试求系统的参数 解：由阶跃响应曲线图可知解：由阶跃响应曲线图可知 由由知知22 2nnKa53 21.lim)().(.lim)(1222100KsKassKKssRsscss21%100%9%e0.60820.75 1pnt)(236.5608.0175.02sradn由终值定理得：由终值定理得：4.27236.5222nK22 0.608 5.2366.37na所以：所以：

32、54例题例题9 如图所示，为一随动控制系统，系统的响应如图所示，为一随动控制系统，系统的响应c(t)的性能指标的性能指标 td,tr,ts5.2)11.0(5.2)(1)()()(sssGsGsRsC解：201111122121222.)()(nnnnTsTsTss)12.0)(12.0(1)1)(1(12510255.21.05.22122sssTsTssss1102/5252nnnsrad)(.stnd360206012 )(.stnr705112 )(.sTts95075412021.TT12175.4,1,TtTTs55当输入信号是单位斜坡函数 系统输出量的拉氏变换为对上式取拉氏反变换

33、，可得不同 下的二阶系统单位斜坡响应二阶系统的单位斜坡响应二阶系统的单位斜坡响应122,1nns ttr222222222122212nnnnnnnnsssssssssC )()(v欠阻尼单位斜坡响应 021122tttttcdnnn ,sinexp 上式表明，其响应由 nssttc2稳态分量瞬态分量 2sin1exp2tttcdnntt56对于单位反馈系统，误差响应对于单位反馈系统，误差响应当时间当时间t趋于无穷大时，趋于无穷大时，e(t)的稳态值，称为稳态误差，记为的稳态值，称为稳态误差，记为ess tctrte对于单位斜坡响应，其稳态误差为：对于单位斜坡响应，其稳态误差为：nssssct

34、e2输入输出的稳态分量 2sinexp2tttctrteddnn误差响应为：误差响应为：将上式对将上式对t求导并令其为求导并令其为0，得到误差响应的峰值时间，得到误差响应的峰值时间正好等于单位阶跃响应的上升时间正好等于单位阶跃响应的上升时间 tr，将，将 tep 带入带入 e(t)表达式，表达式，可得误差响应的峰值可得误差响应的峰值dept)exp(2112epnneptte从而可得误差响应的最大偏移量为：从而可得误差响应的最大偏移量为：)exp(1maxepnnsseptetee57例例10：a）为无速度反馈系统，）为无速度反馈系统，b）为带速度反馈系统，试确）为带速度反馈系统，试确定是系统

35、阻尼比为定是系统阻尼比为0.5时时 Kt 的值，并比较系统（的值，并比较系统（a）和）和(b)阶跃阶跃响应的瞬态性能指标。响应的瞬态性能指标。)1(10ss)1(10sssKt10102sss)(12n102n158.016.3n解：解：系统系统a a）的闭环传递函数为）的闭环传递函数为550121.cos nrt58峰值时间 超调量调节时间 01.112 npt%4.60%1001exp2 p63 nst )05.0(10)101(10)(2sKsst)1(10sssKt59tnnK1012102n5.0216.010116.35.021012ntK 1016.3102sss5.016.3n%3.16pb7.0rbt15.1pbt9.1sbt将将 代入，解得代入，解得采用速度反馈后，可以明显地改善系统的动态性能。采用速度反馈后，可以明显地改善系统的动态性能。55.0rat%4.60pa6sat01.1pat