第一章实数集与函数课件.ppt

1、第一章 实数集与函数主要内容1 实数2 数集确界原理3 函数的概念4 具有某些特性的函数1 实数 数学分析研究的是实 数集上定义的函数,因此我们首先要掌握实数的基本概念与性质.五、实数的稠密性六、实数与数轴上的点一一对应七、实数的绝对值与三角形不等式三、实数的四则运算四、实数的阿基米德性一、实数的十进制小数表示二、实数的大小 记号与术语N:(0)自然数集 包含自然数集 包含R:实实数数集集Z:整数集整数集Q:有理数集有理数集:存在存在R:负实数集负实数集:任意任意+R:正正实实数数集集+N:正整数集正整数集1.任何一个实数都可以用十进制小数表示任何一个实数都可以用十进制小数表示.若若+012R

2、,.;nxxa a aa则则012R,.nxxa a aa 则则.,2,1,9,2,1,0,N0 naan其中其中2.有限小数有限小数kaaaax210.),0(ka其其中中又可表示为又可表示为99)1(.1210 kkaaaaax.9)1(.1210kkaaaaa若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的.即即:若若,.210naaaax,.210nbbbby.,2,1,0,nbayxnn则则用无限小数表示实数，称为用无限小数表示实数，称为正规表示正规表示.742851.071 如如Q,xx 可用循环十进制小数表示，可用循环十进制小数表示，3.Q|,Z,

3、0mx xm nnn 其其中中表示有理数集表示有理数集.,.,1210pkkkaaaaaax若若反反之之0111Q.1010110pkkjiipkjpijaaxa 则则,nmx 若若一般一般,.1210pkkkaaaaaax则则.np 其中其中4.无理数为无限不循环小数无理数为无限不循环小数.:3.1415926;如如.1010010001.0 x二、实数的大小00+N,ababn 或或使使.,.11210210 nnnnbabbbbaaaa而而定义定义1+,R,x y 若若是正规的十进制小数表示是正规的十进制小数表示,规定规定.yxyx 规规定定,R,x y+R,R,xy .0 xy规规定定

4、012.nyb b bb 012.,nxa a aa(1),.xy xy xy 实数的大小关系有以下性质实数的大小关系有以下性质:三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立.(2),.xyyzxz若则若则即大小关系具有传递性即大小关系具有传递性.三、实数的四则运算实数集实数集 R 对加、减、乘、除（除数不为对加、减、乘、除（除数不为 0）亦是）亦是有理数集有理数集 Q 对加、减、乘、除（除数不为对加、减、乘、除（除数不为 0）是）是实数的四则运算与大小关系实数的四则运算与大小关系,还满足还满足:+(1),R,R,.x yxyxy 若若则则.,)2(2211

5、2121yxyxyyxx 则则封闭的封闭的.封闭的封闭的.四、实数的阿基米德性 实数具有阿基米德性实数具有阿基米德性:+,R,N,.a bnnba 使使得得理由如下：设理由如下：设 N,.0210 kaaaaaan.1011 kka则则为第一个不为零的正整数为第一个不为零的正整数,pb,.210nbbbbb 设设,101 kpn令令.101anbk 则则例例1+10,N,.bnbn 若若则则使使得得1.bn 证证1,a 令令由由阿阿基基米米德德性性+N,1nnb 使，即阿基米德阿基米德(Archimedes,287B.C.212B.C.,希腊希腊)五、实数的稠密性之间，既有有理之间，既有有理与

6、与任意两个不相等的实数任意两个不相等的实数ba.2数又有无理数数又有无理数.必必有有另另一一个个之之间间与与任任意意两两个个不不相相等等的的实实数数,.1ba.2.bacc 例例如如实实数数证证+1N,abn若若，则则由由例例，存存在在使使).(211abn 的的最最大大的的正正整整数数，是是满满足足设设ankk.1ank 即即是是则则nknk2,1 ,21,bnknka 于是于是例例2.0,R,bababa ，则，则，对对若若 证证,0 baba，设，设倘若倘若,ba则则.矛矛盾盾与与 ba的无理数的无理数.14kabnn而而是是与与之之间间 ,ab与之间的有理数与之间的有理数六、实数与数轴

7、上的点一一对应实数集实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系与数轴上的点可建立一一对应关系.1.这种对应关系，粗略地可这样描述：这种对应关系，粗略地可这样描述：(0),PP设设是是数数轴轴上上的的一一点点 不不妨妨设设在在 的的右右边边若若在在01.nnan整数与之间，则整数与之间，则1(,1,.n nPiai把把十十等等分分 若若点点在在第第 个个区区间间，则则 ,2,3,.nan 类类似似可可得得到到对对应应于于令令点点这这时时p,012.naa aa反之反之,任何一实数也对应数轴上一点任何一实数也对应数轴上一点.2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的实数集与数轴上点的一一对应关系

8、反映了实数的完备性完备性.我们将在后面有关章节中作进一步讨论我们将在后面有关章节中作进一步讨论.七、实数的绝对值与三角形不等式2.实数的绝对值性质实数的绝对值性质:.0|0;0|)1(aaaa时时当且仅当当且仅当.|)2(aaa ,|)3(hahha .|hahha.0,0,|aaaaa|.1aa 的绝对值的绝对值实数实数定义为定义为:|)4(bababa (三角形不等式三角形不等式).|)5(baab|(6)(0).|aabbb的证明：的证明：3.三角形不等式三角形不等式|bababa 得得由由|,|bbbaaa|,|)|(|bababa.|baba 即即|,|bbabbaa又又.|baba

9、 即即2 数集 确界原理 一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界 确界原理本质上体现了实数的完备性，是本章学习的重点与难点.(;)|:U axxaa点点的的邻邻域域(;)|0|:Uaxxaa 点点的的空空心心邻邻域域(;)|0:Uaxxaa 点点的的 右右邻邻域域(;)|0:Uaxaxa 点点的的 左左邻邻域域(;)|:UMxxMM 的的邻邻域域(;)|:UMxxMM 的的邻邻域域(;)|:UMxxMM 的的邻邻域域max:SS数数集集的的最最大大值值min:SS数集 的最小值数集 的最小值一、有界集定义定义1 R,.SS设设 (1)R,MxSxMM若若使使得得则则称称为为,.S

10、S的的一一个个上上界界 称称为为有有上上界界的的数数集集(2)R,LxSxLL若若使使得得则则称称为为,.SS的的一一个个下下界界 称称为为有有下下界界的的数数集集.S则则称称为为有有界界集集(3),S若既有上界又有下界若既有上界又有下界:0,|.MxSxM 其其充充要要条条件件为为使使有有(1),SS 若若不不是是有有上上界界的的数数集集 则则称称无无上上界界 即即00R,.MxSxM使使得得(2),SS 若若不不是是有有下下界界的的数数集集 则则称称无无下下界界 即即00R,.LxSxL 使使得得(3),SS 若若不不是是有有界界的的数数集集 则则称称无无界界集集 即即000,|.MxSx

11、M使使得得10R,1,2;1,MMxMM若若取取若若 1021,MxMM 取取因此因此 S 无上界无上界.证证,2LxSxn 则则故故 S 有下界有下界.取取 L=1,2|N,.nSn 证明数集无上界 有下界证明数集无上界 有下界例例1例例2 22+31N.2nSnn 证证明明数数集集有有界界证证22+3331111N,1,22222nnnnnn .S因因此此有有界界二、确界:R.R,满足满足若若设设 SS定义定义2.sup,SS 记为记为的上确界的上确界是是则称则称;,)i(xSx,(ii)0Sx 0,x 使使得得若数集若数集 S 有上界有上界,则必有无穷多个上界则必有无穷多个上界,而其而其

12、中最小的一个具有重要的作用中最小的一个具有重要的作用.最小的上界称为最小的上界称为上确界上确界.同样同样,若若S 有下界有下界,则最大的下界称为下则最大的下界称为下确界确界.0 x x点击上图动画演示点击上图动画演示注注2 2(ii)显显然然,条条件件亦亦可可换换成成:00,.xS x0,0,注注1 1 条件条件(i)说明说明 是是 的一个上界的一个上界,条件条件(ii)说明说明S 比比 小的数都不是小的数都不是 的上界的上界,从而从而 是最小的上是最小的上S 界界,即上确界是最小的上界即上确界是最小的上界.定义定义3R,.R:SS 设设若若满满足足 (i),;xSx 00(ii),;xSx.

13、inf,SS 记为记为的下确界的下确界是是则称则称00,.xS x0,0,(ii),下下确确界界定定义义中中的的亦亦可可换换成成注注2 2注注1 1 由定义由定义,下确界是最大的下界下确界是最大的下界.证证 先证先证 sup S=1.;111,i)(nxSx.,211000 xSx，则取，则取若若(ii)1.设设例例2 11,1,2,Sx xnn设设求求证证.0inf1sup SS，.1supS因此，因此，00,10,n 若若则则令令由由阿阿基基米米德德性性000011.1,1.xSxnn使使得得令令则则.0inf S因此因此.0inf S再证再证00(ii)0,0,.xS x;011,)i(

14、nxSx以下确界原理也可作公理以下确界原理也可作公理,不予证明不予证明.虽然我们定义了上确界虽然我们定义了上确界,但并没有证明上确界的但并没有证明上确界的存在性存在性,这是由于上界集是无限集这是由于上界集是无限集,而无限数集而无限数集不一定有最小值不一定有最小值,例如例如(0,)无最小值无最小值.三、确界存在性定理证法一证法一 设设 S 是有上界的非空集合是有上界的非空集合.为叙述方便起为叙述方便起见见,不妨设不妨设 S 含有非负数含有非负数.0,|xSxxS记记012,.xSxb b bx 是是的的正正规规的的小小数数表表示示R,.,;SSSS 设设若若有有上上界界 则则必必有有上上确确界界

15、定理定理1.1 (确界原理确界原理),.SS若若有有下下界界 则则必必有有下下确确界界R,sup.S下下面面证证明明使使证明分以下四步证明分以下四步:0101 21.|.,nnnSb bbxb b bSS令令则则有有最最,1,2,.nxn 大大值值02.N,0,1,9,1,2,iaai 使使.,2,1,.,10 naaaxnnn0123.,.a a a 令令则则是是正正规规小小数数表表示示.sup.4S 1.S 是有上界的集合是有上界的集合,从而从而 S+也是有上界的集合也是有上界的集合,0120N,.,kxSxb b bb因因此此使使若若至至多多 0,1,2,k可可取取0,1,2,9,ib至

16、至多多可可取取因因此此(1)10,nnnSkx至至多多有有个个数数 从从而而必必有有最最大大值值.,2,1 n012.,nnnxa aaS若若是是最最大大值值 则则01 20101.,.,nnxb b bSb bba aa ,.110110 nnaaabbb因此因此10111.nnnxa aaS从从而而是是中中最最大大值值01|0,1,.,1,2,.innaixa aan因因此此使使0123.a a a 令令011,.,nnnxa aa bSx由由于于由由正正规规小小数数,0,0.n kkb表表示示 必必有有使使由由于于,.110110knnnknnnknbbaaaaaaaax 12012,0

17、,.nnn kaaaa a a 因因此此不不全全为为即即是正规小数表示是正规小数表示.sup.4S ,.)1(210Sbbbx 0,;0,.xxxxS 若若则则若若则则 010101.max.|.,nna aab bbxb bS由由于于0101.nna aab bbnxy则则由由的的任任意意性性得得.)2(210210aaa 01201211,.,.nnnnna a aaa 使使0121012.nxa a aa 则则.supS 因此因此0112,.,nnnxSxa aa ab设设.0|xSxxS，证法二证法二 不妨设不妨设S中中每每个个数数都都用用正正规规的的十十进进位位小小数数表表示示,.2

18、10naaaax,的的整整数数部部分分取取出出来来的的每每个个数数把把xS.|1000SaaaxaMn则则令令的一个上界的一个上界是是若若,1,MKSM00,1,2,.MK 000,max.MnM 因因此此是是有有限限集集 必必有有最最大大值值令令0012|.,Sx xSxn a a，000000.,;,1.SxSxnxS xn则则设设 110120|.Maxn a aS1110,1,2,9,max.MnM由由于于因因此此有有令令1012|,.,Sx xSxn n a 111101,.;,SxSxn nxS 则则011.10 xn nNkn 一一般般地地用用归归纳纳法法可可证证明明存存在在及及

19、011|,.,kkkSx xSxn nn a01,.;,kkkkkSxSxn nnxS 则则011.10kkxn nn 012.kn n nn 令令sup.S 以以下下证证明明.,0,)i(xxSx则则若若0,.xxSx 若若则则亦亦有有011.10kkxS xn nn此此与与,矛矛盾盾.11,kkan 而而012012,.,kkka a aan n nn使使01.,kxa aax 设设若若则则事实上事实上,01(ii),.k 设设0101,.kkkn nn 则则使使，11.kkn 而而1011011.kkkxn nn 111011,.kkkkxSxn nn由由定定义义则则(i)(ii)sup

20、.S 由由的的证证明明,我我们们得得到到.,yxByAx 有有:.,满足满足为非空数集为非空数集设设BA例例3 3.infsupBA 且且证明：证明：数集数集 A 有上确界，数集有上确界，数集 B 有下确界，有下确界，由定义由定义,上确界上确界 sup A 是最小的上界是最小的上界,因此因此,任意任意证证 由假设由假设,B 中任一数中任一数 y 都是都是 A 的上界的上界,A 中的任中的任一数一数 x 都是都是 B 的下界的下界.因此由确界原理因此由确界原理,A 有上确有上确界界,B 有下确界有下确界.例例4 4,R 中中非非空空有有上上界界的的数数集集是是设设 S(i)R,|,aSaxa x

21、S若若定定义义则则supsup;SaSa+(ii)R,|,bbSbx xS若若定定义义则则supsup.bSbSy B;sup A y.这样这样,sup A 又是又是 B 的一个下界的一个下界,而而 inf B 是最大的下界是最大的下界,因此因此 sup A inf B.证证,)i(aSax ,Sx 其中其中必有必有,supSx 于是于是.supaSax,00Sx 对于对于使使,sup0 Sx从而从而,0aSax且且,)(sup0 aSax因此因此.sup)sup(aSaS ,)ii(bSbx 其中其中,Sx必有必有,supSx 于是于是.supSbbx 0,0,b 令令则存在则存在,0Sx

22、使使0sup,xS 因此因此0supsup.bxbSbbS 这就证明了这就证明了.supsupSbbS 四、非正常确界;R,)i(.1 aa规定规定supN,inf 2|N.nn 例例1 12.推广的确界原理推广的确界原理:非空数集必有上、下确界非空数集必有上、下确界.sup,)ii(SS记记无上界无上界若若.inf,SS记记无下界无下界若若例例2 设数集设数集 1R,.ABxAx 求证求证:supinf0.AB的的充充要要条条件件是是 00,sup,.MAxA xM 1 1令令=则则由由于于001,.xB xM令令于于是是0001,.yAyMx且且证证 设设sup.A若若 ,0.xB x显显然然0,于是于是0001,.yByx 且且因此因此inf0.B 反之反之,若若inf0,B 则则0,Msup.A因因此此