江苏省2018年中考数学选择填空压轴题：三角形综合问题（含解析）.doc

1、 1 1 三角形综合问题三角形综合问题 例 1如图所示，矩形ABCD中，AB4，BC4 3 ，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合） ， 点P是点A关于BE的对称点在点E运动的过程中，使PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 同类题型同类题型 1.1 如图，在钝角ABC中，分别以AB和AC为斜边向ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等 腰直角三角形ACF，EM平分AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF下列结论： EMDN；SCDN1 3S 四边形ABDN；DEDF；DEDF其中正确的结论的个数是（ ） A1 个 B

2、2 个 C3 个 D4 个 同类题型同类题型 1.2 如图，D，E分别是ABC的边BC，AC上的点，若BC，ADEAED，则（ ） A当B为定值时，CDE为定值 B当1 为定值时，CDE为定值 C当2 为定值时，CDE为定值 D当3 为定值时，CDE为定值 同类题型同类题型 1.3 如图， 在ABC中，ABAC2 3 ， BAC120， 点D、E都在边BC上， DAE60 若 BD2CE，则DE的长为_ 例 2如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ABBC，E为AB边上一点，BCE15，且 AEAD连接DE交对角线AC于H，连接BH下列结论： ACDACE；CDE为等边三角形；EH

3、2EB； SAEH SCEH EH CD 其中正确的结论是_ 2 2 同类题型同类题型 2.1 如图所示，已知：点A（0，0） ，B（ 3 ，0） ，C（0，1）在ABC内依次作等边三角形，使 一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第 1 个AA1B1 ，第 2 个B1A2B2 ，第 3 个B2A3B3 ，则第n个等边三角形的边长等于_ 同类题型同类题型 2.2 如图，点P在等边ABC的内部，且PC6，PA8，PB10，将线段PC绕点C顺时针旋转 60得到PC，连接AP，则 sinPAP的值为_ 例 3如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交A

4、B于E，交AC于F， 过点O作ODAC于 D下列四个结论： BOC90 1 2 A；以 E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切； EF是ABC的中位线；设ODm，AEAFn，则SAEF 1 2 mn其中正确的结论是 （ ） A B C D 同类题型同类题型 3.1 如图所示，四边形ABCD中，DCAB，BC1，ABACAD2则BD的长为（ ） A 14 B 15 C3 2 D2 3 同类题型同类题型 3.2 如图，在RtABC中，BC2，BAC30，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、 ON上滑动，下列结论： 若C、O两点关于AB对称，则OA2 3；C、O两点距离的最

5、大值为 4； 若AB平分CO，则ABCO；斜边AB的中点D运动路径的长为 2 ； 3 3 其中正确的是_（把你认为正确结论的序号都填上） 同类题型同类题型 3.3 如图，直角ABC中，B30，点O是ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点 E作EFAB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则MO MF 的值为 （ ） A1 2 B 5 4 C2 3 D 3 3 例 4如图，在ABC中，4AB5AC，AD为ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EFAD于点F，点 G在AF上，FGFD，连接EG交AC于点H若点H是AC的中点，则AG FD 的值为_ 同类题型同类题型 4.1 如图，已知CO1

6、 是ABC的中线，过点O1 作O1E1 AC交BC于点E1 ，连接AE1 交CO1 于点 O2 ； 过点O2 作O2E2 AC交BC于点E2 ， 连接AE2 交CO1 于点O3 ； 过点O3 作O3E3 AC交BC于点E3 ， ， 如此继续，可以依次得到点O4 ，O5 ，On 和点E4 ，E5 ，En ，则O2016E2016 _AC 同类题型同类题型 4.2 如图，过锐角ABC的顶点A作DEBC，AB恰好平分DAC，AF平分EAC交BC的延长线 于点F在AF上取点M，使得AM 1 3 AF，连接 CM并延长交直线DE于点H若AC2，AMH的面积是 1 12 ， 则 1 tanACH 的值是_

7、 4 4 例 5 如图，ABC的面积为S点P1 ，P2 ，P3 ，Pn1 是边BC的n等分点（n3，且n为整数） ， 点M，N分别在边AB，AC上， 且AM AB AN AC 1 n ， 连接MP1 ， MP2 ，MP3 ， ，MPn1 ， 连接NB，NP1 ，NP2 ， ， NPn1 ，线段MP1 与NB相交于点D1 ，线段MP2 与NP1 相交于点D2 ，线段MP3 与NP2 相交于点D3 ， 线段MPn1 与NPn2 相交于点Dn1 ，则ND1P1 ，ND2P2 ，ND3P3 ，NDn1Pn1 的面积 和是 _ （用含有S与n的式子表示） 同类题型同类题型 5.1 如图， 四边形ABCD

8、是边长为 9 的正方形纸片， 将其沿MN折叠， 使点B落在CD边上的B处， 点A对应点为A，且BC3，则AM的长是 （ ） A1.5 B2 C2.25 D2.5 同类题型同类题型 5.2 如图，ABC中，BAC90，AB3，AC4，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到 AED，连CE，则线段CE的长等于 （ ） A2 B5 4 C5 3 D7 5 同类题型同类题型 5.3 如图，在RtABC中，A90，ABAC，BC 2 1，点M，N分别是边BC，AB上的 动点，沿MN所在的直线折叠B，使点B的对应点B始终落在边AC上，若MBC为直角三角形，则BM 的长为_ 同类题型同类题型 5.4 如图

9、，在矩形ABCD中，B的平分线BE与AD交于点E，BED的平分线EF与DC交于点F， 若AB9，DF2FC，则BC_ （结果保留根号） 5 5 参考答案参考答案 例 1如图所示，矩形ABCD中，AB4，BC4 3 ，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合） ， 点P是点A关于BE的对称点在点E运动的过程中，使PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 解：BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有 2 个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的 圆的交点即是点P； BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有 2 个，是以B为圆心BA为半径的圆与

10、以C为圆心BC为半 径的圆的交点即是点P； 以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC 为半径的圆没有交点 选 C 同类题型同类题型 1.1 如图，在钝角ABC中，分别以AB和AC为斜边向ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等 腰直角三角形ACF，EM平分AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF下列结论： EMDN；SCDN 1 3 S 四边形ABDN；DEDF；DEDF其中正确的结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解：D是BC中点，N是AC中点， DN是ABC的中位线， 6 6 DNAB，且

11、DN1 2 AB； 三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分AEB交AB于点M， M是AB的中点， EM1 2 AB， 又DN1 2 AB， EMDN， 结论正确； DNAB， CDNABC， DN1 2 AB， SCDN1 4SABC ， SCDN1 3 S_(四边形 ABDN)， 结论正确； 如图 1，连接MD、FN， D是BC中点，M是AB中点， DM是ABC的中位线， DMAC，且DM1 2 AC； 三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点， FN1 2 AC， 又DM1 2 AC， DMFN， DMAC，DNAB， 四边形AMDN是平行四边形， AMDAND， 又EMAFNA90，

12、 EMDDNF， 在EMD和DNF中， 7 7 EMDN EMDDNF MDNF ， EMDDNF， DEDF， 结论正确； 如图 2，连接MD，EF，NF， 三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分AEB， M是AB的中点，EMAB， EMMA，EMA90，AEMEAM45， EM EAsin45 2 2 ， D是BC中点，M是AB中点， DM是ABC的中位线， DMAC，且DM1 2 AC； 三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点， FN1 2 AC，FNA90，FANAFN45， 又DM1 2 AC， DMFN 2 2 FA， EMDEMAAMD90AMD， EAF360EAMFAN

13、BAC 3604545（180AMD） 90AMD EMDEAF， 在EMD和EAF中， EM EA DM FA 2 2 EMDEAF EMDEAF， MEDAEF， MEDAED45， AEDAEF45， 即DEF45， 又DEDF， DFE45， 8 8 EDF180454590， DEDF， 结论正确 正确的结论有 4 个： 选 D 同类题型同类题型 1.2 如图，D，E分别是ABC的边BC，AC上的点，若BC，ADEAED，则（ ） A当B为定值时，CDE为定值 B当1 为定值时，CDE为定值 C当2 为定值时，CDE为定值 D当3 为定值时，CDE为定值 解：在CDE中，由三角形的外

14、角性质得，AEDCDEC， 在ABD中，由三角形的外角性质得，B1ADCADECDE， BC，ADEAED， B1CDECCDE2CDEB， 12CDE， 当1 为定值时，CDE为定值 选 B 同类题型同类题型 1.3 如图， 在ABC中，ABAC2 3 ， BAC120， 点D、E都在边BC上， DAE60 若 BD2CE，则DE的长为_ 解：将ABD绕点A逆时针旋转 120得到ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示 ABAC2 3 ，BAC120， ACBBACF30， ECG60 CFBD2CE， CGCE， CEG为等边三角形， EGCGFG， EFGFEG1 2 CGE30

15、， 9 9 CEF为直角三角形 BAC120，DAE60， BADCAE60， FAEFACCAEBADCAE60 在ADE和AFE中， ADAF DAEFAE60 AEAE ， ADEAFE（SAS） ， DEFE 设ECx，则BDCD2x，DEFE63x， 在RtCEF中，CEF90，CF2x，ECx， EFCF2EC2 3 x， 63x 3 x， x3 3 ， DE 3x3 3 3 例 2如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ABBC，E为AB边上一点，BCE15，且 AEAD连接DE交对角线AC于H，连接BH下列结论： ACDACE；CDE为等边三角形；EH2EB； SAE

16、H SCEH EH CD 其中正确的结论是_ 解：ABC90，ABBC， BACACB45， 又BAD90， BACDAC， 在ACD和ACE中， ADAE EACDAC ACAC ， ACDACE（SAS） ；故正确； 同理AED45，BEC90BCE901575， DEC60， ACDACE， CDCE， CDE为等边三角形故正确 CHE为直角三角形，且HEC60 EC2EH ECB15， EC4EB， 10 10 EH2EB；故错误 AEAD，CECD， 点A与C在DE的垂直平分线上， AC是DE的垂直平分线， 即ACDE， CECH， CDCE， CDCH， BAC45， AHEH，

17、SAEH SCEH AH CH EH CH ， SAEH SCEH EH CD ，故错误 答案为： 同类题型同类题型 2.1 如图所示，已知：点A（0，0） ，B（ 3 ，0） ，C（0，1）在ABC内依次作等边三角形，使 一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第 1 个AA1B1 ，第 2 个B1A2B2 ，第 3 个B2A3B3 ，则第n个等边三角形的边长等于_ 解：OB 3 ，OC1， BC2， OBC30，OCB60 而AA1B1 为等边三角形，A1AB1 60， COA1 30，则CA1 O90 在RtCAA1 中，AA1 3 2 OC 3 2 ， 同理得：B1A

18、21 2A1B1 3 22 ， 依此类推，第n个等边三角形的边长等于 3 2n 11 11 同类题型同类题型 2.2 如图，点P在等边ABC的内部，且PC6，PA8，PB10，将线段PC绕点C顺时针旋转 60得到PC，连接AP，则 sinPAP的值为_ 解：连接PP，如图， 线段PC绕点C顺时针旋转 60得到PC， CPCP6，PCP60， CPP为等边三角形， PPPC6， ABC为等边三角形， CBCA，ACB60， PCBPCA， 在PCB和PCA中 PCPC PCBPCA CBCA ， PCBPCA， PBPA10， 6282102 ， PP2AP2PA2 ， APP为直角三角形，AP

19、P90， sinPAPPP PA 6 10 3 5 同类题型同类题型 2.4 例 3如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F， 过点O作ODAC于 D下列四个结论： BOC90 1 2 A； 以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切； EF是ABC的中位线； 设ODm，AEAFn，则SAEF 1 2 mn 其中正确的结论是（ ） 12 12 A B C D 解：在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O， OBC1 2 ABC，OCB 1 2 ACB，AABCACB180， OBCOCB901 2 A， BOC180（OBC

20、OCB）901 2 A；故正确； 过点O作OMAB于M，作ONBC于N，连接OA， 在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O， ONODOMm， SAEFSAOESAOF1 2AEOM 1 2AFOD 1 2OD（AEAF） 1 2 mn；故正确； 在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O， EBOOBC，FCOOCB， EFBC， EOBOBC，FOCOCB， EBOEOB，FOCFCO， EBEO，FOFC， EFEOFOBECF， 以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故正确， 根据已知不能推出E、F分别是AB、AC的中点，故正确， 其中正确的结论是 选 D

21、 同类题型同类题型 3.1 如图所示，四边形ABCD中，DCAB，BC1，ABACAD2则BD的长为（ ） A 14 B 15 C3 2 D2 3 解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交A于F，连接DF 13 13 DCAB， DFBC ， DFCB1，BF224， FB是A的直径， FDB90， BDBF2DF2 15 选 B 同类题型同类题型 3.2 如图，在RtABC中，BC2，BAC30，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、 ON上滑动，下列结论： 若C、O两点关于AB对称，则OA2 3 ； C、O两点距离的最大值为 4； 若AB平分CO，则ABCO； 斜边AB的中点D运

22、动路径的长为 2 ； 其中正确的是_（把你认为正确结论的序号都填上） 解：在RtABC中，BC2，BAC30， AB4，AC42222 3 ， 若C、O两点关于AB对称，如图 1， 14 14 AB是OC的垂直平分线， 则OAAC2 3 ； 所以正确； 如图 1，取AB的中点为E，连接OE、CE， AOBACB90， OE=CE=1 2 AB2， 当OC经过点E时，OC最大， 则C、O两点距离的最大值为 4； 所以正确； 如图 2，当ABO30时，OBCAOBACB90， 四边形AOBC是矩形， AB与OC互相平分， 但AB与OC的夹角为 60、120，不垂直， 所以不正确； 如图 3，斜边A

23、B的中点D运动路径是：以O为圆心，以 2 为半径的圆周的1 4 ， 15 15 则：902 180 ， 所以不正确； 综上所述，本题正确的有： 同类题型同类题型 3.3 如图，直角ABC中，B30，点O是ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点 E作EFAB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则MO MF 的值为（ ） A1 2 B 5 4 C2 3 D 3 3 解：点O是ABC的重心， OC2 3 CE， ABC是直角三角形， CEBEAE， B30， FAEB30，BAC60， FAECAF30，ACE是等边三角形， CM1 2 CE， OM2 3CE 1 2CE 1 6 CE，即O

24、M 1 6 AE， BEAE， EF 3 3 AE， EFAB， AFE60， FEM30， 16 16 MF1 2 EF， MF 3 6 AE， MO MF 1 6AE 3 6 AE 3 3 选 D 例 4如图，在ABC中，4AB5AC，AD为ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EFAD于点F，点 G在AF上，FGFD，连接EG交AC于点H若点H是AC的中点，则AG FD 的值为_ 解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h BD CD SABD SACD 1 2ABh 1 2ACh AB AC 5 4 ， BD5 4 CD 如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AMA

25、B，则有AC4CM连接DM 在ABD与AMD中， ABAM BADMAD ADAD ABDAMD（SAS） ， MDBD5 4 CD 过点M作MNAD，交EG于点N，交DE于点K MNAD， 17 17 CK CD CM AC 1 4 ， CK1 4 CD， KD5 4 CD MDKD，即DMK为等腰三角形， DMKDKM 由题意，易知EDG为等腰三角形，且12； MNAD， 3412， 又DKM3（对顶角） DMK4， DMGN， 四边形DMNG为平行四边形， MNDG2FD 点H为AC中点，AC4CM， AH MH 2 3 MNAD， AG MN AH MH ，即 AG 2FD 2 3 ，

26、 AG FD 4 3 同类题型同类题型 4.1 如图，已知CO1 是ABC的中线，过点O1 作O1E1 AC交BC于点E1 ，连接AE1 交CO1 于点 O2 ； 过点O2 作O2E2 AC交BC于点E2 ， 连接AE2 交CO1 于点O3 ； 过点O3 作O3E3 AC交BC于点E3 ， ， 如此继续，可以依次得到点O4 ，O5 ，On 和点E4 ，E5 ，En ，则O2016E2016 _AC 解：O1E1 AC， BO1E1 BAC，BE1O1 BCA， BO1E1 BAC， BO1 BA O1E1 AC 18 18 CO1 是ABC的中线， BO1 BA O1E1 AC 1 2 O1E

27、1 AC， O1E1O2CAO2 ，E1O1O2ACO2 ， E1O1O2ACO2 ， E1O1 AC E1O2 AO2 1 2 O2E2 AC， E1O2 E1A O2E2 AC 1 3 ， O2E21 3 AC 同理：OnEn 1 n1 AC O2016E2016 1 20161 1 2017 同类题型同类题型 4.2 如图，过锐角ABC的顶点A作DEBC，AB恰好平分DAC，AF平分EAC交BC的延长线 于点F在AF上取点M，使得AM 1 3 AF，连接 CM并延长交直线DE于点H若AC2，AMH的面积是 1 12 ， 则 1 tanACH 的值是_ 解：过点H作HGAC于点G， AF平

28、分CAE，DEBF， HAFAFCCAF， ACCF2， AM1 3 AF， 19 19 AM MF 1 2 ， DECF， AHMFCM， AM MF AH CF ， AH1， 设AHM中，AH边上的高为m， FCM中CF边上的高为n， m n AM MF 1 2 ， AMH的面积为： 1 12 ， 1 12 1 2 AHm m1 6 ， n1 3 ， 设AHC的面积为S， S SAHM mn m 3， S3SAHM1 4 ， 1 2ACHG 1 4 ， HG1 4 ， 由勾股定理可知：AG 15 4 ， CGACAG2 15 4 1 tanACH CG HG8 15 例 5 如图，ABC的

29、面积为S点P1 ，P2 ，P3 ，Pn1 是边BC的n等分点（n3，且n为整数） ， 点M，N分别在边AB，AC上， 且AM AB AN AC 1 n ， 连接MP1 ， MP2 ，MP3 ， ，MPn1 ， 连接NB，NP1 ，NP2 ， ， NPn1 ，线段MP1 与NB相交于点D1 ，线段MP2 与NP1 相交于点D2 ，线段MP3 与NP2 相交于点D3 ， 线段MPn1 与NPn2 相交于点Dn1 ，则ND1P1 ，ND2P2 ，ND3P3 ，NDn1Pn1 的面积 和是 _ （用含有S与n的式子表示） 20 20 解：连接MN，设BN交MP1 于O1 ，MP2 交NP1 于O2 ，

30、MP3 交NP2 于O3 AM AB AN AC 1 n ， MNBC， MN BC AM AB 1 n ， 点P1 ，P2 ，P3 ，Pn1 是边BC的n等分点， MNBP1P1P2P2P3 ， 四边形MNP1 B，四边形MNP2P1 ，四边形MNP3P2 都是平行四边形， 易知SABN1 n S，SBCN n1 n S，SMNBn1 n2 S， SBP1O1SP1P2O2SP3P2O3n1 2n2 S， S阴SNBC（n1）SBP1O1SNPn1Cn1 n S（n1）n1 2n2 Sn1 n2 S(n1) 2 2n2 S 同类题型同类题型 5.1 如图， 四边形ABCD是边长为 9 的正方

31、形纸片， 将其沿MN折叠， 使点B落在CD边上的B处， 点A对应点为A，且BC3，则AM的长是（ ） A1.5 B2 C2.25 D2.5 21 21 解：设AMx， 连接BM，MB， 在RtABM中，AB2AM2BM2 ， 在RtMDB中，BM2MD2DB2 ， MBMB， AB2AM2BM2BM2MD2DB2 ， 即92x2（9x）2（93）2 ， 解得x2， 即AM2， 故选 B 同类题型同类题型 5.2 如图，ABC中，BAC90，AB3，AC4，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到 AED，连CE，则线段CE的长等于（ ） A2 B5 4 C5 3 D7 5 解：如图连接BE交A

32、D于O，作AHBC于H 在RtABC中，AC4，AB3， BC3242 5， CDDB， 22 22 ADDCDB5 2 ， 1 2BCAH 1 2 ABAC， AH12 5 ， AEAB， 点A在BE的垂直平分线上 DEDBDC， 点D在BE使得垂直平分线上，BCE是直角三角形， AD垂直平分线段BE， 1 2ADBO 1 2 BDAH， OB12 5 ， BE2OB24 5 ， 在RtBCE中，ECBC2BE252(24 5 )27 5 ， 选 D 同类题型同类题型 5.3 如图，在RtABC中，A90，ABAC，BC 2 1，点M，N分别是边BC，AB上的 动点，沿MN所在的直线折叠B，

33、使点B的对应点B始终落在边AC上，若MBC为直角三角形，则BM 的长为_ 解：如图 1， 当BMC90，B与A重合，M是BC的中点， BM1 2BC 1 2 21 2 ； 如图 2，当MBC90， 23 23 A90，ABAC， C45， CMB是等腰直角三角形， CM 2 MB， 沿MN所在的直线折叠B，使点B的对应点B， BMBM， CM 2 BM， BC 2 1， CMBM 2BMBM 2 1， BM1， 综上所述，若MBC为直角三角形，则BM的长为1 2 21 2 或 1 同类题型同类题型 5.4 如图，在矩形ABCD中，B的平分线BE与AD交于点E，BED的平分线EF与DC交于点F， 若AB9，DF2FC，则BC_ （结果保留根号） 解：延长EF和BC，交于点G 矩形ABCD中，B的角平分线BE与AD交于点E， ABEAEB45， ABAE9， 直角三角形ABE中，BE92929 2 ， 又BED的角平分线EF与DC交于点F， BEGDEF 24 24 ADBC GDEF BEGG BGBE9 2 由GDEF，EFDGFC，可得EFDGFC CG DE CF DF CF 2CF 1 2 设CGx，DE2x，则AD92xBC BGBCCG 9 292xx 解得x3 2 3 BC92（3 23）6 2 3