（2020年高考专用）第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布第7节.doc

1、第第 7 节节 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列 对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应 用. 知 识 梳 理 1.离散型随机变量的分布列 (1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称 为一个随机变量. (2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离 散型随机变量. (3)设离散型随机变量 X 取值为 a1，a2，X 取 ai的概率为 pi(i1，2，)，记 作 P(Xai)pi(i1，2，)或列表： Xai a

2、1 a2 P(Xai) p1 p2 称为离散型随机变量 X 的分布列. (4)性质： pi0，i1，2，； p1p2pipn1. 2.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量 X 服从两点分布，其分布列为 X 0 1 P 1p P ，其中 pP(X1)称为成功概率. (2)超几何分布： 一般地， 设有 N 件产品， 其中有 M(MN)件次品.从中任取 n(nN) 件产品，用 X 表示取出的 n 件产品中次品的件数，那么 P(Xk)C k MCn k NM CnN (其中 k 为非负整数). 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称 X 服从参数为 N，M，n 的超几何 分布. 基

3、 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于 1.( ) (2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际 意义.( ) (3)如果随机变量 X 的分布列由下表给出， X 2 5 P 0.3 0.7 则它服从两点分布.( ) (4)一个盒中装有 4 个黑球、3 个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是 黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为 X，则 X 服从超 几何分布.( ) 解析 对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和 等于 1，故(1)不正

4、确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示， 其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X 的取值不是 0 和 1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所 以试验中取到黑球的次数 X 不服从超几何分布，(4)不正确. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(选修 23P34 例 2 改编)抛掷一枚质地均匀的硬币 2 次，则正面向上次数 X 的 所有可能取值是_. 答案 0，1，2 3.(选修 23P35 讲解引申改编)已知离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.5 12q q2 则常数 q_. 解析 由

5、分布列的性质得 0.512qq21，解得 q1 2 2 或 q1 2 2 (舍去). 答案 1 2 2 4.(2018 菏泽联考)一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的、3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P(X 4)的值为( ) A. 1 220 B.27 55 C. 27 220 D.21 55 解析 X4表示从盒中取了 2 个旧球，1 个新球，故 P(X4)C 2 3C19 C312 27 220. 答案 C 5.(2019 郑州二模)设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数，则 P

6、(X0)_. 解析 由已知得 X 的所有可能取值为 0，1， 且 P(X1)2P(X0)，由 P(X1)P(X0)1， 得 P(X0)1 3. 答案 1 3 6.(2019 合肥二模改编)设随机变量 X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 P 1 3 m 1 4 1 6 则 P(|X3|1)_. 解析 由1 3m 1 4 1 61，解得 m 1 4，P(|X3|1)P(X2)P(X4) 1 4 1 6 5 12. 答案 5 12 考点一 离散型随机变量分布列的性质 【例 1】 设随机变量 X 的分布列为 P Xk 5 ak(k1，2，3，4，5). (1)求 a 的值； (2)求 P x3 5

7、 ； (3)求 P 1 10X 7 10 . 解 (1)由分布列的性质， 得 P X1 5 P X2 5 P X3 5 P X4 5 P(X1)a 2a3a4a5a1，所以 a 1 15. (2)P X3 5 P X3 5 P X4 5 P(X1)3 1 154 1 155 1 15 4 5. (3)P 1 10X 7 10 P X1 5 P X2 5 P X3 5 1 15 2 15 3 15 2 5. 规律方法 分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量 X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的， 利用这一点可以求随机变

8、量在某个范围内的概率. 【训练 1】 随机变量 X 的分布列如下： X 1 0 1 P a b C 其中 a， b， c 成等差数列， 则 P(|X|1)_， 公差 d 的取值范围是_. 解析 因为 a，b，c 成等差数列，所以 2bac.又 abc1，所以 b1 3，所 以 P(|X|1)ac2 3.又 a 1 3d， c 1 3d， 根据分布列的性质， 得 0 1 3d 2 3， 01 3d 2 3，所以 1 3d 1 3. 答案 2 3 1 3， 1 3 考点二 超几何分布的应用 典例迁移 【例 2】 (经典母题)(2017 山东卷改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法 评价不同心理

9、暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两 组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者 接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有 6 名男志愿者 A1， A2， A3， A4，A5，A6和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗 示，另 5 人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的概率； (2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列. 解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的事件为 M， 则 P(M) C48 C510

10、 5 18. (2)由题意知 X 可取的值为 0，1，2，3，4，则 P(X0) C56 C510 1 42，P(X1) C46C14 C510 5 21， P(X2)C 3 6C24 C510 10 21，P(X3) C26C34 C510 5 21， P(X4)C 1 6C44 C510 1 42. 因此 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 【迁移探究 1】 用 X 表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求 X 的分布列. 解 由题意可知 X 的取值为 1，2，3，4，5，则 P(X1)C 1 6C44 C510 1 42，P(X2

11、) C26C34 C510 5 21， P(X3)C 3 6C24 C510 10 21，P(X4) C46C14 C510 5 21， P(X5) C56 C510 1 42. 因此 X 的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 【迁移探究2】 用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差， 求 X 的分布列. 解 由题意知 X 可取的值为 3，1，1，3，5， 则 P(X3)C 4 4C16 C510 1 42，P(X1) C34C26 C510 5 21， P(X1)C 2 4C36 C510 10 21，P(X3) C14C

12、46 C510 5 21， P(X5) C56 C510 1 42， 因此 X 的分布列为 X 3 1 1 3 5 P 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 规律方法 1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体 的个数.超几何分布的特征是： (1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类 个体数 X 的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典 概型. 【训练 2】 (2018 天津卷节选)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取

13、7 人，进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人 做进一步的身体检查. 用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列； 设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”， 求事件 A 发生的概率. 解 (1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分 层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 0，1

14、，2，3. P(Xk)C k 4 C3 k 3 C37 (k0，1，2，3). 则 P(X0)C 3 3 C37 1 35，P(X1) C23C14 C37 12 35， P(X3)C 3 4 C37 4 35，则 P(X2)1 1 35 12 35 4 35 18 35， 所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35 设事件B为“抽取的3人中， 睡眠充足的员工有1人， 睡眠不足的员工有2人”； 事件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”， 则 ABC，且 B 与 C 互斥.由知，P(B)P(X2)

15、，P(C)P(X1)， 故 P(A)P(BC)P(X2)P(X1)6 7. 所以，事件 A 发生的概率为6 7. 考点三 求离散型随机变量的分布列 【例 3】 (2019 豫南九校联考改编)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司 机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共 200 名司机， 他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示. (1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数； (2)从这 200 名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量 X，求 X 的分布列. 解 (1)由统计图得 200 名司机中送考 1 次的有 20 人， 送考 2 次的有

16、100 人，送考 3 次的有 80 人， 该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为2011002803 200 2.3. (2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考 1 次，另一人送考 2 次”为事 件 A，“这两人中一人送考 2 次，另一人送考 3 次”为事件 B，“这两人中一人 送考 1 次，另一人送考 3 次”为事件 C， “这两人送考次数相同”为事件 D， 由题意知 X 的所有可能取值为 0，1，2， P(X1)P(A)P(B)C 1 20C1100 C2200 C 1 100C180 C2200 100 199， P(X2)P(C)C 1 20C180 C2200 16

17、199， P(X0)P(D)C 2 20C2100C280 C2200 83 199， X 的分布列为 X 0 1 2 P 83 199 100 199 16 199 规律方法 求随机变量分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机 变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格.对于抽 样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列数公式求 随机变量对应的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量对应的概率. 【训练 3】 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每 次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2

18、件次品或者检测出 3 件正品 时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元， 设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测 出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的分布列. 解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A，P(A) A12A13 A25 3 10. (2)X 的可能取值为 200，300，400. P(X200)A 2 2 A25 1 10， P(X300)A 3 3C12C13A22 A35 3 10， P(X400)1P(X200)P(X300) 1 1 10 3

19、10 3 5. 故 X 的分布列为 X 200 300 400 P 1 10 3 10 3 5 思维升华 1.对于随机变量 X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个 集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量 X 的取 值范围以及取这些值的概率. 2.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 X 的取值情况，然后利 用排列、组合与概率知识求出 X 取各个值的概率. 易错防范 掌握离散型随机变量的分布列，须注意： (1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量 X 所有可能取得的值；第二行是对应 于随机变量 X 的值的事件发生的概率.看每一列，实际上是

20、上为“事件”，下为 “事件发生的概率”， 只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成 一列，就相当于求一个随机事件发生的概率. (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误. (3)超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征 去判断随机变量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.袋中有 3 个白球、5 个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( ) A.至少取到 1 个白球 B.至多取到 1 个白球 C.取到白球的个数 D.取到的球的个数 解析 选项 A，B 表述的都是随机事件，选项

21、 D 是确定的值 2，并不随机；选项 C 是随机变量，可能取值为 0，1，2. 答案 C 2.某射手射击所得环数 X 的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为( ) A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51 解析 P(X7)P(X8)P(X9)P(X10) 0.280.290.220.79. 答案 C 3.袋中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后，若取得黑球则另换 1 个 红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为 ，则表示“放回 5

22、 个红球” 事件的是( ) A.4 B.5 C.6 D.5 解析 “放回 5 个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故 6. 答案 C 4.从装有 3 个白球、4 个红球的箱子中，随机取出了 3 个球，恰好是 2 个白球、1 个红球的概率是( ) A. 4 35 B. 6 35 C.12 35 D. 36 343 解析 如果将白球视为合格品， 红球视为不合格品， 则这是一个超几何分布问题， 故所求概率为 PC 2 3C14 C37 12 35. 答案 C 5.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量 表示所选 3 人 中女生的人数，则 P(1)等于( ) A.1

23、 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5 解析 P(1)1P(2)1C 1 4C22 C36 4 5. 答案 D 二、填空题 6.若离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 P 9c2c 38c 则常数 c 的值为_. 解析 根据离散型随机变量分布列的性质知 9c 2c0， 38c0， 9c2c38c1， 得 c1 3. 答案 1 3 7.袋中有 4 只红球，3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量 ，则 P(6)_. 解析 P(6)P(取到 3 只红球 1 只黑球)P(取到 4 只红球)C 3 4C13 C47 C 4 4

24、C47 13 35. 答案 13 35 8.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题，比赛规定：对于每一个题， 没有抢到题的队伍得 0 分，抢到题并回答正确的得 1 分，抢到题但回答错误的扣 1 分(即得1 分)；若 X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则 X 的所 有可能取值是_. 解析 X1，甲抢到一题但答错了. X0，甲没抢到题，或甲抢到 2 题，但答时一对一错. X1 时，甲抢到 1 题且答对或甲抢到 3 题，且 1 错 2 对. X2 时，甲抢到 2 题均答对. X3 时，甲抢到 3 题均答对. 答案 1，0，1，2，3 三、解答题 9.(2019 九江模拟)某外

25、语学校的一个社团中有 7 名同学，其中 2 人只会法语，2 人只会英语，3 人既会法语又会英语，现选派 3 人到法国的学校交流访问. (1)在选派的 3 人中恰有 2 人会法语的概率； (2)在选派的 3 人中既会法语又会英语的人数 X 的分布列. 解 (1)设事件 A：选派的三人中恰有 2 人会法语，则 P(A)C 2 5C12 C37 4 7. (2)依题意知 X 的取值为 0，1，2，3， P(X0)C 3 4 C37 4 35， P(X1)C 2 4C13 C37 18 35， P(X2)C 1 4C23 C37 12 35， P(X3)C 3 3 C37 1 35， X 的分布列为

26、X 0 1 2 3 P 4 35 18 35 12 35 1 35 10.有编号为 1，2，3，n 的 n 个学生，入坐编号为 1，2，3，n 的 n 个座 位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人 数为 X，已知 X2 时，共有 6 种坐法. (1)求 n 的值； (2)求随机变量 X 的概率分布列. 解 (1)因为当 X2 时，有 C2n种坐法， 所以 C2n6，即n（n1） 2 6， n2n120，解得 n4 或 n3(舍去)，所以 n4. (2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 X， 由题意知 X 的可能取值是 0，2，3，4， 所以 P(

27、X0) 1 A44 1 24， P(X2)C 2 41 A44 6 24 1 4， P(X3)C 3 42 A44 8 24 1 3， P(X4)1 1 24 1 4 1 3 3 8， 所以 X 的概率分布列为： X 0 2 3 4 P 1 24 1 4 1 3 3 8 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.若 P(x2)1，P(x1)1，其中 x1x2，则 P(x1x2)等于( ) A.(1)(1) B.1() C.1(1) D.1(1) 解析 由分布列的性质得 P(x1x2)P(x2)P(x1)1(1)(1) 11(). 答案 B 12.一只袋内装有 m 个白球，nm 个黑球，连续

28、不放回地从袋中取球，直到取出 黑球为止，设此时取出了 X 个白球，下列概率等于（nm）A 2 m A3n 的是( ) A.P(X3) B.P(X2) C.P(X3) D.P(X2) 解析 当 X2 时，即前 2 个拿出的是白球，第 3 个是黑球，前 2 个拿出白球， 有 A2m种取法，再任意拿出 1 个黑球即可，有 C1nm种取法，而在这 3 次拿球中可 以认为按顺序排列，此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即 A3n，P(X 2)A 2 mC1nm A3n （nm）A 2 m A3n . 答案 D 13.口袋中有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，从中任取 3 只球，以 X 表示取出

29、的 球的最大号码，则 X 的分布列为_. 解析 X 的取值为 3，4，5. 又 P(X3) 1 C350.1，P(X4) C23 C350.3， P(X5)C 2 4 C350.6. 所以 X 的分布列为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 答案 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 14.(2019 长沙模拟)私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一， 因此在生 活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾 出一份力.为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对 “车辆限行”的态度，随机抽查了 50 人，将调查结果进行整理后制成下

30、表： 年龄/岁 15，25) 25，35) 35，45) 45，55) 55，65) 65，75 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 6 9 6 3 4 (1)若从年龄在15， 25)和25， 35)这两组的被调查者中各随机选取 2 人进行追踪调 查，求恰有 2 人不赞成的概率； (2)在(1)的条件下，令选中的 4 人中不赞成“车辆限行”的人数为 ，求随机变量 的分布列. 解 (1)由表知，年龄在15，25)内的有 5 人，不赞成的有 1 人，年龄在25，35) 内的有 10 人，不赞成的有 4 人，恰有 2 人不赞成的概率为 PC 1 4 C25 C14 C16 C210 C 2 4 C25 C24 C210 4 10 24 45 6 10 6 45 22 75. (2) 的所有可能取值为 0，1，2，3. P(0)C 2 4 C25 C26 C210 6 10 15 45 1 5， P(1)C 1 4 C25 C26 C210 C24 C25 C14 C16 C210 4 10 15 45 6 10 24 45 34 75， P(2)22 75， P(3)C 1 4 C25 C24 C210 4 10 6 45 4 75， 的分布列是 0 1 2 3 P 1 5 34 75 22 75 4 75