（2020年高考专用）第九章 平面解析几何第7节.doc

1、第第 7 节节 双曲线双曲线 最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范 围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 知 识 梳 理 1.双曲线的定义 我们把平面内到两定点 F1， F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|) 的点的集合叫作双曲线.定点 F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫 作双曲线的焦距.其数学表达式：集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其 中 a，c 为常数且 a0，c0： (1)若 ac，则集合 P 为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21 (a0，b0) y2 a2

2、x2 b21 (a0，b0) 图 形 性 质 范围 xa 或 xa，yR xR，ya 或 ya 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(a，0)，A2(a，0) A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线 y b ax y a bx 离心率 ec a，e(1，) 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴， 它的长度|A1A2|2a； 线段B1B2 叫作双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|2b；a 叫作双曲线的 实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2a2b2 微点提醒 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2 a . 2.离心率 ec a a2b2 a 1b

3、2 a2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲 线.( ) (2)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程x 2 m y2 n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( ) (4)双曲线 x2 m2 y2 n2(m0，n0，0)的渐近线方程是 x m y n0.( ) (5)若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)与 x2 b2 y2 a21(a0，b0)的离心

4、率分别是 e1，e2， 则 1 e21 1 e221(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( ) 解析 (1)因为|MF1|MF2|8|F1F2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部. (3)当 m0，n0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线，而 m0，n0 时则表示焦点 在 y 轴上的双曲线. 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2.(选修 21P82 练习 1(1)改编)经过点 A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴 双曲线方程为_. 解析 设双曲线方程为：x2y2(0)，把点 A(3，1)代入，得 8，故所求 双曲线方程为x 2 8

5、 y2 81. 答案 x2 8 y2 81 3.(选修21P78讲解引申改编)已知双曲线x2 y2 161上一点P到它的一个焦点的 距离等于 4，那么点 P 到另一个焦点的距离等于_. 解析 设双曲线的焦点为 F1，F2，|PF1|4，则|PF1|PF2|2，故|PF2|6 或 2， 又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为 ca 171，故|PF2|6. 答案 6 4.(2018 浙江卷)双曲线x 2 3y 21 的焦点坐标是( ) A.( 2，0)，( 2，0) B.(2，0)，(2，0) C.(0， 2)，(0， 2) D.(0，2)，(0，2) 解析 由题可知双曲线的焦点在 x 轴上，又

6、c2a2b2314，所以 c2，故 焦点坐标为(2，0)，(2，0). 答案 B 5.(2017 全国卷)双曲线x 2 a2 y2 9 1(a0)的一条渐近线方程为 y3 5x，则 a _. 解析 由题意可得3 a 3 5，所以 a5. 答案 5 6.(2018 北京卷)若双曲线x 2 a2 y2 41(a0)的离心率为 5 2 ，则 a_. 解析 由题意可得，a 24 a2 5 2 2 ，即 a216，又 a0，所以 a4. 答案 4 考点一 双曲线的定义及应用 【例 1】 (1)已知 F1，F2为双曲线 C：x2y22 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1| 2|PF2|，则 cos

7、 F1PF2( ) A.1 4 B.3 5 C.3 4 D.4 5 (2)(2019 西安调研)已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_. 解析 (1)由 x2y22，知 ab 2，c2.由双曲线定义知，|PF1|PF2|2a 2 2，又|PF1|2|PF2|， |PF1|4 2，|PF2|2 2， 在PF1F2中，|F1F2|2c4，由余弦定理，得 cos F1PF2|PF 1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1| |PF2| 3 4. (2)如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切

8、于 A 和 B. 根据两圆外切的条件， 得|MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|， 因为|MA|MB|， 所以|MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2， 所以点 M 到两定点 C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|6. 又根据双曲线的定义， 得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2的距离大， 与 C1的距离小)， 其中 a1，c3，则 b28. 故点 M 的轨迹方程为 x2y 2 81(x1). 答案 (1)C (2)x2y 2 81(x1) 规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据 要求可求出曲

9、线方程； 2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a， 运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系. 【训练 1】 (1)(2018 赣南五校联考)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率 为 2，左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在双曲线 C 上，若AF1F2的周长为 10a， 则AF1F2的面积为( ) A.2 15a2 B. 15a2 C.30a2 D.15a2 (2)(2019 长春质检)双曲线 C 的渐近线方程为 y 2 3 3 x， 一个焦点为 F(0， 7)， 点 A( 2，0)，点 P 为双曲线第一象限内

10、的点，则当点 P 的位置变化时，PAF 周 长的最小值为( ) A.8 B.10 C.43 7 D.33 17 解析 (1)由双曲线的对称性不妨设 A 在双曲线的右支上，由 ec a2，得 c2a， AF1F2的周长为|AF1|AF2|F1F2|AF1|AF2|4a，又AF1F2的周长为 10a，|AF1|AF2|6a，又|AF1|AF2|2a， |AF1|4a，|AF2|2a，在AF1F2中，|F1F2|4a， cos F1AF2|AF 1|2|AF2|2|F1F2|2 2|AF1| |AF2| （4a） 2（2a）2（4a）2 24a2a 1 4. 又 00)的一条渐近线方 程为 y 5

11、2 x，且与椭圆 x2 12 y2 31 有公共焦点，则 C 的方程为( ) A.x 2 8 y2 101 B.x 2 4 y2 51 C.x 2 5 y2 41 D.x 2 4 y2 31 (2)(2018 天津卷)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直 于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点.设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离 分别为 d1和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为( ) A.x 2 4 y2 121 B. x2 12 y2 41 C.x 2 3 y2 91 D.x 2 9 y2 31 解析 (1)由题设知b a 5 2

12、， 又由椭圆 x2 12 y2 31 与双曲线有公共焦点， 易知 a2b2c29， 由解得 a2，b 5，则双曲线 C 的方程为x 2 4 y2 51. (2)由 d1d26， 得双曲线的右焦点到渐近线的距离为 3， 所以 b3.因为双曲线x 2 a2 y 2 b21(a0，b0)的离心率为 2，所以 c a2，所以 a2b2 a2 4，所以a 29 a2 4，解 得 a23，所以双曲线的方程为x 2 3 y2 91. 答案 (1)B (2)C 规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标 准形式，根据已知条件，列出关于参数 a，b，c 的方程并求出 a，b，c 的

13、值. 2.与双曲线x 2 a2 y2 b21 有相同渐近线时可设所求双曲线方程为 x2 a2 y2 b2(0). 【训练 2】 (1)(2018 海南二模)已知双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0， b0)过点( 2， 3)， 且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线 C 的标准方 程是( ) A.x 2 1 2 y21 B.x 2 9 y2 31 C.x2y 2 31 D.x 2 2 3 y 2 3 2 1 (2)已知双曲线的渐近线方程为 2x 3y0，且双曲线经过点 P( 6，2)，则双曲线 的方程为_. 解析 (1)由双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a

14、0，b0)过点( 2， 3)，且实轴的两个端点与 虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得 2 a2 3 b21， b a 3， 解得 a1， b 3， 双曲线 C 的标准方程是 x2y 2 31. (2)由双曲线的渐近线方程为 y 2 3x，可设双曲线方程为 x2 9 y2 4(0).因为双曲 线过点 P( 6，2)，所以6 9 4 4， 1 3，故所求双曲线方程为 y2 4 3 x 2 31. 答案 (1)C (2)y 2 4 3 x 2 31 考点三 双曲线的性质 多维探究 角度 1 求双曲线的渐近线 【例31】 (一题多解)(2018 全国卷)双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b

15、0)的离心率为 3， 则其渐近线方程为( ) A.y 2x B.y 3x C.y 2 2 x D.y 3 2 x 解析 法一 由题意知， ec a 3， 所以 c 3a， 所以 b c 2a2 2a， 即b a 2，所以该双曲线的渐近线方程为 y b ax 2x. 法二 由 ec a 1 b a 2 3， 得b a 2， 所以该双曲线的渐近线方程为 y b a x 2x. 答案 A 角度 2 求双曲线的离心率 【例 32】 (1)(2018 全国卷)设 F1，F2是双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、 右焦点， O是坐标原点.过F2作C 的一条渐近线的垂线， 垂足为P.若

16、|PF1| 6|OP|， 则 C 的离心率为( ) A. 5 B.2 C. 3 D. 2 (2)(2019 泰安联考)已知双曲线 C1：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，圆 C2：x 2y22ax3 4 a20，若双曲线 C1的一条渐近线与圆 C2有两个不同的交点，则双曲线 C1的离 心率的取值范围是( ) A. 1，2 3 3 B. 2 3 3 ， C.(1，2) D.(2，) 解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为 yb ax， 则 F2 到 yb ax 的距离 d |bc| a2b2 b，在 RtF2PO 中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1| 6a，又|F1O|c，所以

17、 在F1PO 与 RtF2PO 中，根据余弦定理得 cosPOF1a 2c2（ 6a）2 2ac cosPOF2a c，则 3a 2c2( 6a)20，得 3a2c2，所以 ec a 3. (2)由双曲线方程可得其渐近线方程为 y b ax，即 bx ay0，圆 C2：x 2y22ax 3 4a 20 可化为(xa)2y21 4a 2，圆心 C2 的坐标为(a，0)，半径 r1 2a，由双曲 线 C1的一条渐近线与圆 C2有两个不同的交点， 得 |ab| a2b22b， 即 c 24b2， 又知 b2c2a2，所以 c24(c2a2)，即 c20)的一条 渐近线与圆(x2)2(y1)21 相切

18、，则 C 的离心率为( ) A.4 3 B.5 4 C.16 9 D.25 16 (2)(2019 安阳二模)已知焦点在 x 轴上的双曲线 x2 8m y2 4m1，它的焦点到渐近 线的距离的取值范围是_. 解析 (1)双曲线 C 的渐近线方程为 by ax0，结合图形易知与圆相切的只可能 是 byax0，又圆心坐标为(2，1)， 则 |b2a| a2b21，得 3a4b，所以 9a 216b216(c2a2)，则 e225 16， 又 e1，故 e5 4. (2)对于焦点在 x 轴上的双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，它的一个焦点(c，0)到渐近 线bxay0的距离为 |bc|

19、 b2a2b.本题中， 双曲线 x2 8m y2 4m1即 x2 8m y2 m4 1，其焦点在 x 轴上，则 8m0， m40，解得 40)的 两条渐近线方程. 易错防范 1.双曲线方程中 c2a2b2，说明双曲线方程中 c 最大，解决双曲线问题时不要忽 视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆. 2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1， )这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错. 3.双曲线x 2 a2 y2 b21 (a0，b0)的渐近线方程是 y b ax， y2 a2 x2 b21 (a0，b0)的渐 近线方程是 y a bx.

20、4.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行 时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直 线与双曲线仅有一个交点. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.(2019 郑州模拟)设双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则 双曲线的渐近线方程为( ) A.y 1 2x B.y 2 2 x C.y 2x D.y 2x 解析 因为 2b2， 所以 b1， 因为 2c2 3， 所以 c 3， 所以 a c2b2 2， 所以双曲线的渐近线方程为 y b ax 2 2 x. 答案 B 2.(20

21、19 重庆九校联考)双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一个焦点为 F，过点 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 A，且交 y 轴于 B，若 A 为 BF 的中点， 则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 6 2 解析 由题易知双曲线 C 的一条渐近线与 x 轴的夹角为 4，故双曲线 C 的离心率 e cos 4 1 2. 答案 A 3.(一题多解)(2018 全国卷)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2， 则点(4，0)到 C 的渐近线的距离为( ) A. 2 B.2 C.3 2 2 D.2 2 解析 法一 由

22、离心率 ec a 2，得 c 2a，又 b 2c2a2，得 ba，所以双 曲线 C 的渐近线方程为 y x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到 C 的渐近线 的距离为 4 112 2. 法二 离心率 e 2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 y x，点(4，0) 到 C 的渐近线的距离为 4 112 2. 答案 D 4.已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 3 2，过右焦点 F 作渐近线的垂线，垂 足为 M.若FOM 的面积为 5，其中 O 为坐标原点，则双曲线的方程为( ) A.x24y 2 5 1 B.x 2 2 2y2 5 1 C.x 2 4 y2 51 D

23、. x2 16 y2 201 解析 由题意可知 ec a 3 2，可得 b a 5 2 ， 取一条渐近线为 yb ax， 可得 F 到渐近线 yb ax 的距离 d bc a2b2b， 在 RtFOM 中，由勾股定理可得|OM|OF|2|MF|2 c2b2a，由题意可 得1 2ab 5， 联立 b a 5 2 ， 1 2ab 5， 解得 a2， b 5， 所以双曲线的方程为x 2 4 y2 51. 答案 C 5.(2019 呼和浩特质检)已知 F2，F1是双曲线y 2 a2 x2 b21(a0，b0)的上、下两个焦 点， 过 F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点 B， A， 若ABF2为等边

24、三角形， 则双曲线的渐近线方程为( ) A.y 2x B.y 2 2 x C.y 6x D.y 6 6 x 解析 根据双曲线的定义，可得|BF1|BF2|2a， ABF2为等边三角形， |BF2|AB|， |BF1|AB|AF1|2a， 又|AF2|AF1| 2a，|AF2|AF1|2a4a，在AF1F2中，|AF1|2a，|AF2|4a，F1AF2 120 ，|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1| |AF2|cos 120 ，即 4c24a216a2 22a4a 1 2 28a2，亦即 c27a2，则 b c2a2 6a2 6a，由此可得 双曲线 C 的渐近线方程为 y 6 6

25、x. 答案 D 二、填空题 6.(2018 沈阳模拟)直线 l：y2x10 过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)一个焦点且与 其一条渐近线平行，则双曲线方程为_. 解析 由题意得一个焦点为 F(5，0)，c5，b a2， 又 a2b2c2，所以 a25，b220， 所以双曲线方程为x 2 5 y2 201. 答案 x2 5 y2 201 7.设双曲线x 2 9 y2 161 的右顶点为 A， 右焦点为 F.过点 F 且平行于双曲线的一条渐 近线的直线与双曲线交于点 B，则AFB 的面积为_. 解析 a29，b216，故 c5. A(3，0)，F(5，0)，不妨设直线 BF 的方程为

26、 y4 3(x5)， 代入双曲线方程解得 B 17 5 ，32 15 . SAFB1 2|AF| |yB| 1 2 2 32 15 32 15. 答案 32 15 8.已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原 点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线 PO，PF2分别交双曲线 C 左、右支于 M， N.若|PF1|2|PF2|，且MF2N60 ，则双曲线 C 的离心率为_. 解析 由题意，|PF1|2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|PF2|2a，可得|PF1| 4a，|PF2|2a，又|F1O|F2O|，|PO|MO|，得四边

27、形 PF1MF2为平行四边形， 又MF2N60 ，可得F1PF260 ，在PF1F2中，由余弦定理可得，4c216a2 4a22 4a 2a cos 60 ，即 4c220a28a2，c23a2，可得 c 3a，所以 ec a 3. 答案 3 三、解答题 9.(2019 安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2在坐标轴上， 离心率为 2，且过点 P(4， 10). (1)求双曲线的方程； (2)(一题多解)若点 M(3，m)在双曲线上，求证：MF1 MF2 0. (1)解 e 2， 可设双曲线的方程为 x2y2(0). 双曲线过点(4， 10)，1610，即 6. 双曲线的方

28、程为 x2y26，即x 2 6 y2 61. (2)证明 法一 由(1)可知，ab 6， c2 3，F1(2 3，0)，F2(2 3，0)， kMF1 m 32 3，kMF2 m 32 3， kMF1 kMF2 m2 912 m2 3 . 点 M(3，m)在双曲线上，9m26，m23， 故 kMF1 kMF21，MF1MF2.MF1 MF2 0. 法二 由(1)可知，ab 6，c2 3， F1(2 3，0)，F2(2 3，0)， MF1 (2 33，m)，MF2 (2 33，m)， MF1 MF2 (32 3)(32 3)m23m2， 点 M(3，m)在双曲线上，9m26，即 m230， MF

29、1 MF2 0. 10.设 A，B 分别为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线 y 3 3 x2 与双曲线的右支交于 M，N 两点，且在双曲线的右支上存 在点 D，使OM ON tOD ，求 t 的值及点 D 的坐标. 解 (1)由题意知 a2 3， 一条渐近线为 yb ax，即 bxay0. 由焦点到渐近线的距离为 3，得 |bc| b2a2 3. 又c2a2b2，b23， 双曲线的方程为 x2 12 y2 31. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)

30、，其中 x02 3. 又OM ON tOD ，即(x1，y1)(x2，y2)t(x0，y0)， 则 x1x2tx0，y1y2ty0. 将直线方程 y 3 3 x2 代入双曲线方程 x2 12 y2 31 得 x 216 3x840，其中 (16 3)24840， 则 x1x216 3，y1y2 3 3 (x1x2)412. x0 y0 4 3 3 ， x20 12 y20 31. 解得 x 04 3， y03. t4，点 D 的坐标为(4 3，3). 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.(2019 河南适应测试)已知 F1，F2分别是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左

31、、右焦 点，P 是双曲线上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为 6，则双曲 线的渐近线方程为( ) A.y 2x B.y 1 2x C.y 2 2 x D.y 2x 解析 不妨设 P 为双曲线右支上一点，则|PF1|PF2|，由双曲线的定义得|PF1| |PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，所以|PF1|4a，|PF2|2a.又因为 2c2a， 4a2a，所以 PF1F2为最小内角，故PF1F2 6. 由余弦定理，可得（4a） 2（2c）2（2a）2 2 4a 2c 3 2 ，即( 3ac)20，所以 c 3a，则 b 2a，所以双曲线的渐近线方程为 y 2x. 答案

32、D 12.(2019 广东六校联考)已知点 F 为双曲线 E：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点，直 线 ykx(k0)与 E 交于不同象限内的 M，N 两点，若 MFNF，设MNF，且 12， 6 ，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A. 2， 2 6 B.2， 31 C.2， 2 6 D. 2， 31 解析 如图， 设左焦点为 F， 连接 MF， NF， 令|MF|r1， |MF|r2， 则|NF|MF| r2， 由双曲线定义可知 r2r12a， 点 M 与点 N 关于原点对称， 且 MFNF， |OM|ON|OF|c，r21r224c2， 由得 r1r22(c2a2)，

33、又知 SMNF2SMOF， 1 2r1r22 1 2c 2 sin 2，c2a2c2 sin 2， e2 1 1sin 2，又 12， 6 ，sin 2 1 2， 3 2 ，e2 1 1sin 22，( 3 1)2. 又 e1，e 2， 31. 答案 D 13.(2018 北京卷)已知椭圆 M：x 2 a2 y2 b21(ab0)，双曲线 N： x2 m2 y2 n21.若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的 顶点，则椭圆 M 的离心率为_；双曲线 N 的离心率为_. 解析 设椭圆的右焦点为 F(c，0)，双曲线 N 的渐近线与椭圆 M 在第一

34、象限内的 交点为 A， 由题意可知A c 2， 3c 2 ， 由点A在椭圆M上得， c2 4a2 3c2 4b21， b 2c23a2c24a2b2， b2a2c2，(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)，4a48a2c2c40，e4椭8e2椭 40，e2椭4 2 3，e椭 31(舍去)或 e椭 31，椭圆 M 的离心率 为 31.双曲线的渐近线过点 A c 2， 3c 2 ， 渐近线方程为 y 3x， n m 3， 故双曲线的离心率 e双 m2n2 m2 2. 答案 31 2 14.已知椭圆 C1的方程为x 2 4y 21，双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1的左、右 顶点，而 C2

35、的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点. (1)求双曲线 C2的方程； (2)若直线 l： ykx 2与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A 和 B， 且OA OB 2(其 中 O 为原点)，求 k 的取值范围. 解 (1)设双曲线 C2的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， 则 a23，c24，再由 a2b2c2，得 b21. 故 C2的方程为x 2 3y 21. (2)将 ykx 2代入x 2 3y 21， 得(13k2)x26 2kx90. 由直线 l 与双曲线 C2交于不同的两点，得 13k20， （6 2k）236（13k2）36（1k2）0， k21 3且 k 21. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2 6 2k 13k2，x1x2 9 13k2. x1x2y1y2x1x2(kx1 2)(kx2 2) (k21)x1x2 2k(x1x2)23k 27 3k21. 又OA OB 2，得 x1x2y1y22， 3k 27 3k212，即 3k29 3k21 0，解得1 3k 23. 由得1 3k 21， 故 k 的取值范围为 1， 3 3 3 3 ，1 .