（2020年高考专用）第九章 平面解析几何第5节第1课时.doc

1、第第 5 节节 椭椭 圆圆 最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 知 识 梳 理 1.椭圆的定义 我们把平面内到两个定点 F1， F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作 椭圆.这两个定点 F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F1，F2间的距离叫作焦距. 其数学表达式：集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0， 且 a，c 为常数： (1)若 ac，则集合 P 为椭圆； (2)若 ac，则集合 P 为线段； (3)若 ac，则集合 P 为空集. 2.椭

2、圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21 (ab0) y2 a2 x2 b21 (ab0) 图形 性质 范围 axa byb bxb aya 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(a，0)，A2(a，0)， B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a)， B1(b，0)，B2(b，0) 轴 长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 焦距 |F1F2|2c 离心率 ec a(0，1) a，b，c 的关系 c2a2b2 微点提醒 点 P(x0，y0)和椭圆的位置关系 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内x 2 0 a2 y20 b21.

3、 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆.( ) (3)方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.( ) (4)x 2 a2 y2 b21(ab0)与 y2 a2 x2 b21(ab0)的焦距相同.( ) 解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于 |F1F2|时，其轨迹为线段 F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形. (2)因为 ec a a2b2 a 1 b a 2 ，所以 e 越大

4、，则b a越小，椭圆就越扁. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(选修 21P63 练习 1T1 改编)若 F1(3，0)，F2(3，0)，点 P 到 F1，F2的距离之 和为 10，则 P 点的轨迹方程是_. 解析 因为|PF1|PF2|10|F1F2|6，所以点 P 的轨迹是以 F1，F2为焦点的椭 圆，其中 a5，c3，b a2c24，故点 P 的轨迹方程为 x2 25 y2 161. 答案 x2 25 y2 161 3.(选修 2-1P68 练习 1 改编)椭圆 x2 16 y2 251 的焦点坐标为( ) A.( 3，0) B.(0， 3) C.( 9，0) D.(0， 9)

5、 解析 根据椭圆方程可得焦点在 y 轴上，且 c2a2b225169，c3，故 焦点坐标为(0， 3). 答案 B 4.(2018 全国卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 41 的一个焦点为(2，0)，则 C 的离心率为 ( ) A.1 3 B.1 2 C. 2 2 D.2 2 3 解析 不妨设 a0.因为椭圆 C 的一个焦点为(2，0)，所以焦点在 x 轴上，且 c2， 所以 a2448，所以 a2 2，所以椭圆 C 的离心率 ec a 2 2 . 答案 C 5.(2019 武汉模拟)曲线 x2 25 y2 91 与曲线 x2 25k y2 9k1(kb0). 椭圆经过两点(2，0)，(0

6、，1)， 4 a2 0 b21， 0 a2 1 b21， 解得 a2， b1. 所求椭圆的标准方程为x 2 4y 21； 当椭圆的焦点在 y 轴上时，设所求椭圆的方程为y 2 a2 x2 b21 (ab0). 椭圆经过两点(2，0)，(0，1)， 0 a2 4 b21， 1 a2 0 b21， 解得 a1， b2， 与 ab 矛盾，故舍去. 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 2 4y 21. 法二 设椭圆方程为 mx2ny21 (m0，n0，mn). 椭圆过(2，0)和(0，1)两点， 4m1， n1， 解得 m1 4， n1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 2 4y 21. 答案 (1)

7、D (2)x 2 4y 21 规律方法 根据条件求椭圆方程的主要方法有： (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的 a，b.当不知焦点在哪一个坐 标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0，mn)，不必考 虑焦点位置，用待定系数法求出 m，n 的值即可. 【训练 2】 (1)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，若长轴长为 6，且两焦点恰好将 长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( ) A. x2 36 y2 321 B.x 2 9 y2 81 C.x 2 9 y2 51 D. x2 16 y2

8、 121 (2)(2019 榆林模拟)已知 F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆 C 的焦点，过 F2且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，且|AB|3，则 C 的方程为( ) A.x 2 2y 21 B.x 2 3 y2 21 C.x 2 4 y2 31 D.x 2 5 y2 41 解析 (1)椭圆长轴长为 6，即 2a6，得 a3， 两焦点恰好将长轴三等分， 2c1 3 2a2，得 c1， 因此，b2a2c2918， 所以此椭圆的标准方程为x 2 9 y2 81. (2)由题意，设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，将 A(c，y1)代入椭圆方程得 c2 a2 y

9、21 b2 1，由此求得 y21b 4 a2，所以|AB|3 2b2 a ，又 c1，a2b2c2，可解得 a2，b2 3，所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31. 答案 (1)B (2)C 考点三 椭圆的几何性质 多维探究 角度 1 椭圆的长轴、短轴、焦距 【例 31】 (2019 泉州质检)已知椭圆 x2 m2 y2 10m1 的长轴在 x 轴上，焦距为 4，则 m 等于( ) A.8 B.7 C.6 D.5 解析 因为椭圆 x2 m2 y2 10m1 的长轴在 x 轴上，所以 m20， 10m0， m210m， 解得 60)的左、右焦 点， A 是 C 的左顶点， 点 P 在过 A

10、 且斜率为 3 6 的直线上， PF1F2为等腰三角形， F1F2P120 ，则 C 的离心率为( ) A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 4 解析 由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上，如图所示， 设|F1F2|2c，PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120 ， |PF2|F1F2|2c. |OF2|c，过 P 作 PE 垂直 x 轴于点 E，则PF2E60 ， 所以|F2E|c，|PE| 3c，即点 P(2c， 3c). 点 P 在过点 A，且斜率为 3 6 的直线上， 3c 2ca 3 6 ，解得c a 1 4，e 1 4. 答案 D 角度 3 与椭圆性质有关的最值或范围问题 【例

11、 33】 (2017 全国卷)设 A，B 是椭圆 C：x 2 3 y2 m1 长轴的两个端点.若 C 上存在点 M 满足AMB120 ，则 m 的取值范围是( ) A.(0，19，) B.(0， 39，) C.(0，14，) D.(0， 34，) 解析 当焦点在 x 轴上，依题意得 01)， 与直线 l 的方程联立 x 2 a2 y2 a211， yx3， 消去 y 得(2a21)x26a2x10a2a40， 由题意易知 36a44(2a21)(10a2a4)0， 解得 a 5， 所以 ec a 1 a 5 5 ， 所以 e 的最大值为 5 5 . 答案 (1)D (2)A 思维升华 1.椭圆

12、的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义 中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况. 2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定 位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看 焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件， 通过解方程(组)等手段，确定 a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标 准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为 mx2ny21(m0，n 0 且 mn). 易错防范 1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中 x2与 y2的分母

13、大小. 2.在解关于离心率 e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率 e(0，1)进行根的 取舍，否则将产生增根. 3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，axa，byb，0 e1 等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.椭圆x 2 m y2 41 的焦距为 2，则 m 的值等于( ) A.5 B.3 C.5 或 3 D.8 解析 由题意知椭圆焦距为 2，即 c1，又满足关系式 a2b2c21，故当 a2 4 时，mb23；当 b24 时，ma25. 答案 C 2.(2019 郑州模拟)已知椭圆 C：x 2 a2

14、y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离 心率为2 3，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若AF1B 的周长为 12，则 C 的方程 为( ) A.x 2 3y 21 B.x 2 3 y2 21 C.x 2 9 y2 41 D.x 2 9 y2 51 解析 由题意可得c a 2 3，4a12，解得 a3，c2，则 b 3 222 5，所以 椭圆 C 的方程为x 2 9 y2 51. 答案 D 3.已知圆(x1)2(y1)22 经过椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点 F 和上顶点 B，则椭圆 C 的离心率为( ) A.1 2 B. 2 C.2 D

15、. 2 2 解析 由题意得，椭圆的右焦点 F 为(c，0)，上顶点 B 为(0，b).因为圆(x1)2 (y1)22 经过右焦点 F 和上顶点 B，所以 （c1）212， 1（b1）22，解得 bc2，则 a2b2c28，解得 a2 2，所以椭圆 C 的离心率 ec a 2 2 2 2 2 . 答案 D 4.(2019 湖北重点中学联考)已知椭圆x 2 4 y 2 3 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且垂直于长轴的直线交椭圆于 A，B 两点，则ABF1内切圆的半径为( ) A.4 3 B.1 C.4 5 D.3 4 解析 不妨设 A 点在 B 点上方，由题意知：F2(1，0)，将

16、F2的横坐标代入椭圆方 程x 2 4 y2 31 中，可得 A 点纵坐标为 3 2，故|AB|3，所以由 S 1 2Cr 得内切圆半径 r 2S C 6 8 3 4(其中 S 为ABF1 的面积，C 为ABF1的周长). 答案 D 5.已知椭圆x 2 4 y2 21 的两个焦点是 F1，F2，点 P 在该椭圆上，若|PF1|PF2|2， 则PF1F2的面积是( ) A. 2 B.2 C.2 2 D. 3 解析 由椭圆的方程可知 a2，c 2，且|PF1|PF2|2a4，又|PF1|PF2| 2，所以|PF1|3，|PF2|1.又|F1F2|2c2 2，所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|

17、2， 即PF1F2为直角三角形，且PF2F1为直角， 所以 SPF1F21 2|F1F2|PF2| 1 22 21 2. 答案 A 二、填空题 6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2 3)且 a2b，则椭圆的标准方程为 _. 解析 c2 3，a24b2，a2b23b2c212， b24，a216.又焦点在 y 轴上，标准方程为 y2 16 x2 41. 答案 y2 16 x2 41 7.设 F1，F2为椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，经过 F1 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若F2AB 的面积为 4 3的等边三角形，则椭圆 C 的方程为 _. 解析 F2

18、AB 是面积为 4 3的等边三角形， ABx 轴， A，B 两点的横坐标为c， 代入椭圆方程， 可求得|F1A|F1B|b 2 a . 又|F1F2|2c，F1F2A30 ， b 2 a 3 3 2c. 又 SF2AB1 22c 2b2 a 4 3， a2b2c2， 由解得 a29，b26，c23， 椭圆 C 的方程为x 2 9 y2 61. 答案 x2 9 y2 61 8.(2019 昆明诊断)椭圆x 2 9 y2 251 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m，当 m 取最大值时，点 P 的坐标是_. 解析 记椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，有|PF1|PF2|2a10. 则 m|PF

19、1| |PF2| |PF1|PF2| 2 2 25，当且仅当|PF1|PF2|5，即点 P 位于椭 圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值 25.点 P 的坐标为(3，0)或(3，0). 答案 (3，0)或(3，0) 三、解答题 9.已知椭圆的中心在原点， 两焦点 F1， F2在 x 轴上， 且过点 A(4， 3).若 F1AF2A， 求椭圆的标准方程. 解 设所求椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0). 设焦点 F1(c，0)，F2(c，0)(c0). F1AF2A，F1A F2A 0， 而F1A (4c，3)，F2A (4c，3)， (4c) (4c)320， c225，即 c5

20、. F1(5，0)，F2(5，0). 2a|AF1|AF2| （45）232 （45）232 10 904 10. a2 10， b2a2c2(2 10)25215. 所求椭圆的标准方程为 x2 40 y2 151. 10.已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上 顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B. (1)若F1AB90 ，求椭圆的离心率； (2)若AF2 2F2B ，AF1 AB 3 2，求椭圆的方程. 解 (1)若F1AB90 ，则AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|OF2|，即 bc. 所以 a 2c，椭圆的离心率为 ec

21、 a 2 2 . (2)由题知 A(0，b)，F1(c，0)，F2(c，0)，其中 c a2b2，设 B(x，y). 由AF2 2F2B ，得(c，b)2(xc，y)， 解得 x3c 2 ，yb 2，即 B 3c 2 ，b 2 . 将 B 点坐标代入x 2 a2 y2 b21，得 9 4c 2 a2 b2 4 b21， 即 a23c2. 又由AF1 AB (c，b) 3c 2 ，3b 2 3 2， 得 b2c21，即有 a22c21. 由解得 c21，a23，从而有 b22. 所以椭圆的方程为x 2 3 y2 21. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.(2018 合肥二模)已知椭圆

22、x 2 a2 y2 b21(ab0)的左顶点为 M，上顶点为 N，右焦 点为 F，若NM NF 0，则椭圆的离心率为( ) A. 3 2 B. 21 2 C. 31 2 D. 51 2 解析 由题意知，M(a，0)，N(0，b)，F(c，0)，NM (a，b)，NF (c， b).NM NF 0，acb20，即 b2ac.又 b2a2c2，a2c2ac.e2 e10，解得 e 51 2 或 e 51 2 (舍).椭圆的离心率为 51 2 . 答案 D 12.已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、 右焦点分别为F1， F2， P是椭圆上一点， PF1F2 是以 F2P 为底边的等腰三角形，且 60 0 得 m216， 则 x0x 1x2 2 3 4m，y0x0m 1 4m， 即 D 3 4m， 1 4m . 因为 AB 是等腰PAB 的底边，所以 PDAB， 即 PD 的斜率 k 2m 4 33m 4 1，解得 m2，满足 m216. 此时 x1x23，x1x20， 则|AB| 2|x1x2| 2 （x1x2）24x1x23 2， 又点 P 到直线 l：xy20 的距离为 d 3 2， 所以PAB 的面积为 S1 2|AB| d 9 2.