（2020年高考专用）第九章 平面解析几何 第1节.doc

1、 第第 1 节节 直线的方程直线的方程 最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素； 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念， 掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3.掌握确 定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)， 了解斜截式与一次函数的关系. 知 识 梳 理 1.直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l，把 x 轴(正方向) 按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角，叫作直线 l 的倾斜角. (2)规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0； (3)范围：直线的倾斜角 的

2、取值范围是0，). 2.直线的斜率 (1)定义：当 90 时，一条直线的倾斜角 的正切值叫作这条直线的斜率，斜率 常用小写字母 k 表示，即 ktan_，倾斜角是 90 的直线斜率不存在. (2)斜率公式： 经过两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 ky 2y1 x2x1. 3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 ykxb 与 x 轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 yy0k(xx0) 两点式 过两点 yy1 y2y1 xx1 x2x1 与两坐标轴均不垂直 的直线 截距式 纵、横截距 x a y b1 不过原点

3、且与两坐标 轴均不垂直的直线 一般式 AxByC0 (A2B20) 所有直线 微点提醒 1.直线的倾斜角 和斜率 k 之间的对应关系： 0 00). 由题意得 1 a 3 b1， 1 2ab6， 解得 a2， b6. 故直线 l 的方程为x 2 y 61， 即 3xy60. 答案 A 考点一 直线的倾斜角与斜率 典例迁移 【例 1】 (1)直线 2xcos y30 6， 3 的倾斜角的取值范围是( ) A. 6， 3 B. 4， 3 C. 4， 2 D. 4， 2 3 (2)(一题多解)(经典母题)直线 l 过点 P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0， 3)为端点的 线段有公共点，则直线

4、 l 斜率的取值范围为_. 解析 (1)直线 2xcos y30 的斜率 k2cos ， 因为 6， 3 ，所以1 2cos 3 2 ， 因此 k2cos 1， 3. 设直线的倾斜角为 ，则有 tan 1， 3. 又 0，)，所以 4， 3 ， 即倾斜角的取值范围是 4， 3 . (2)法一 设 PA 与 PB 的倾斜角分别为 ，直线 PA 的斜率是 kAP1，直线 PB 的斜率是 kBP 3，当直线 l 由 PA 变化到与 y 轴平行的位置 PC 时，它的倾斜 角由 增至 90 ，斜率的取值范围为1，). 当直线 l 由 PC 变化到 PB 的位置时，它的倾斜角由 90 增至 ，斜率的变化范

5、围 是(， 3. 故斜率的取值范围是(， 31，). 法二 设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 yk(x1)，即 kxyk0. A，B 两点在直线 l 的两侧或其中一点在直线 l 上， (2k1k)( 3k)0， 即(k1)(k 3)0，解得 k1 或 k 3. 即直线 l 的斜率 k 的取值范围是(， 31，). 答案 (1)B (2)(， 31，) 【迁移探究 1】 若将例 1(2)中 P(1，0)改为 P(1，0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围. 解 设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 yk(x1)，即 kxyk0. A，B 两点在直线 l 的两侧或其

6、中一点在直线 l 上， (2k1k)( 3k)0， 即(3k1)(k 3)0，解得1 3k 3. 即直线 l 的斜率的取值范围是 1 3， 3 . 【迁移探究 2】 若将例 1(2)中的 B 点坐标改为 B(2，1)，其他条件不变，求直 线 l 倾斜角的取值范围. 解 由例 1(2)知直线 l 的方程 kxyk0， A，B 两点在直线 l 的两侧或其中一点在直线 l 上， (2k1k)(2k1k)0， 即(k1)(k1)0，解得1k1. 即直线 l 倾斜角的取值范围是 0， 4 3 4 ， . 规律方法 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求 直线倾斜角的取值范围时，常

7、借助正切函数 ytan x 在0，)上的单调性求解， 这里特别要注意，正切函数在0，)上并不是单调的. 2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为 2时，直 线斜率不存在. 【训练 1】 若直线 l：ykx 3与直线 2x3y60 的交点位于第一象限，则 直线 l 的倾斜角的取值范围是( ) A. 6， 3 B. 6， 2 C. 3， 2 D. 3， 2 解析 直线 ykx 3恒过点(0， 3)，可作两直线的图像，如图所示，从图中 可以看出，直线 l 的倾斜角的取值范围为 6， 2 . 答案 B 考点二 直线方程的求法 【例 2】 求适合下列条件的直线方程： (1)经过

8、点 P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)经过点 A(1，3)，倾斜角等于直线 y3x 的倾斜角的 2 倍； (3)经过点 B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 解 (1)设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a， 若 a0，即 l 过点(0，0)和(4，1)， 所以 l 的方程为 y1 4x，即 x4y0. 若 a0，则设 l 的方程为x a y a1， 因为 l 过点(4，1)，所以4 a 1 a1， 所以 a5，所以 l 的方程为 xy50. 综上可知，直线 l 的方程为 x4y0 或 xy50. (2)由已知设直线 y3x 的倾斜角为 ，则所求直线的倾斜角为

9、2. 因为 tan 3，所以 tan 2 2tan 1tan2 3 4. 又直线经过点 A(1，3)， 因此所求直线方程为 y33 4(x1)， 即 3x4y150. (3)由题意可知，所求直线的斜率为 1. 又过点(3，4)，由点斜式得 y4 (x3). 所求直线的方程为 xy10 或 xy70. 规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件. 2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应 先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零). 【训练 2】 (1)求过点 A(1，3)，斜率是直线 y4x 的斜率的1 3的直线方

10、程； (2)求经过点 A(5，2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程. 解 (1)设所求直线的斜率为 k，依题意 k41 3 4 3.又直线经过点 A(1，3)， 因此所求直线方程为 y34 3(x1)，即 4x3y130. (2)当直线不过原点时，设所求直线方程为 x 2a y a1，将(5，2)代入所设方程， 解得 a1 2，所以直线方程为 x2y10；当直线过原点时，设直线方程为 y kx，则5k2，解得 k2 5，所以直线方程为 y 2 5x，即 2x5y0.故所求 直线方程为 2x5y0 或 x2y10. 考点三 直线方程的综合应用 多维探究 角度 1 与

11、不等式相结合的最值问题 【例 31】 设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxy m30 交于点 P(x，y)，则|PA| |PB|的最大值是_. 解析 由直线 xmy0 求得定点 A(0，0)，直线 mxym30， 即 y3m(x1)，所以得定点 B(1，3).当 m0 时，两条动直线垂直，当 m0 时，因为 1 m m1，所以两条动直线也垂直，因为 P 为直线 xmy0 与 mx ym30 的交点，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA| |PB|PA| 2|PB|2 2 5(当且仅当|PA|PB| 5时，等号成立)，所以|PA| |PB|的最大值是 5. 答案 5 角度 2 由直线方程求参数范围 【例 32】 已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 00 时，a0. S1 2 |OA| |OB| 1 2 12k k |12k| 1 2 （12k）2 k 1 2 4k1 k4 1 2(224)4， “”成立的条件是 k0 且 4k1 k，即 k 1 2， Smin4，此时直线 l 的方程为 x2y40.