（2020年高考专用）第六章 数列 第3节.doc

1、第第 3 节节 等比数列及其前等比数列及其前 n 项和项和 最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式； 2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系， 并能用有关知识解决相应的问题； 3.了解等比数列与指数函数的关系. 知 识 梳 理 1.等比数列的概念 (1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数， 那么这个数列叫作等比数列. 数学语言表达式： an an1q(n2，q 为非零常数). (2)如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使得 a，G，b 成等比数列，那么根据等比数列 的定义，G a b G，G 2ab，G ab，我们称

2、 G 为 a 与 b 的等比中项.即：G 是 a 与 b 的等比中项a，G，b 成等比数列G2ab. 2. 等比数列的通项公式及前 n 项和公式 (1)若等比数列an的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 ana1qn 1； 通项公式的推广：anamqn m. (2)等比数列的前 n 项和公式：当 q1 时，Snna1；当 q1 时，Sna 1（1qn） 1q a 1anq 1q . 3.等比数列的性质 已知an是等比数列，Sn是数列an的前 n 项和. (1)若 klmn(k，l，m，nN+)，则有 ak alam an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak， akm，

3、ak2m，仍是等比数列，公比为 qm. (3)当 q1，或 q1 且 n 为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比数列， 其公比为 qn. 微点提醒 1.若数列an为等比数列，则数列c an(c0)，|an|，a2n， 1 an 也是等比数列. 2.由 an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证 a10. 3.在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q1 与 q1 分类讨论，防止 因忽略 q1 这一特殊情形而导致解题失误. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)等比数列公比 q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数

4、a，b，c 成等比数列的充要条件是 b2ac.( ) (3)数列an的通项公式是 anan，则其前 n 项和为 Sna（1a n） 1a .( ) (4)数列an为等比数列，则 S4，S8S4，S12S8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q0. (2)若 a0，b0，c0 满足 b2ac，但 a，b，c 不成等比数列. (3)当 a1 时，Snna. (4)若 a11，q1，则 S40，S8S40，S12S80，不成等比数列. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 5P22 抽象概括改编)已知an是等比数列，a22，a51 4，则公比 q 等于 ( ) A.1 2 B.

5、2 C.2 D.1 2 解析 由题意知 q3a5 a2 1 8，即 q 1 2. 答案 D 3.(必修 5P23 例 2 改编)在 9 与 243 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数 列，则这两个数为_. 解析 设该数列的公比为 q，由题意知， 2439q3，q327，q3. 插入的两个数分别为 9327，27381. 答案 27，81 4.(2019 马鞍山质检)已知等比数列an满足 a11，a3 a54(a41)，则 a7的值为 ( ) A.2 B.4 C.9 2 D.6 解析 根据等比数列的性质得 a3a5a24，a244(a41)，即(a42)20，解得 a4 2. 又a11，a

6、1a7a244，a74. 答案 B 5.(2018 北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法 计算出半音比例， 为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音 程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它 的前一个单音的频率的比都等于 12 2.若第一个单音的频率为 f， 则第八个单音的频 率为( ) A. 3 2f B. 3 22f C. 12 25f D. 12 27f 解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为 f，公比为 12 2的等比数列，设 此数列为an，则 a8 12 27f，即第八个单音的频率为 12 27f. 答案

7、 D 6.(2015 全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前 n 项和.若 Sn 126，则 n_. 解析 由 an12an，知数列an是以 a12 为首项，公比 q2 的等比数列，由 Sn2（12 n） 12 126，解得 n6. 答案 6 考点一 等比数列基本量的运算 【例 1】 (1)(2017 全国卷)设等比数列an满足 a1a21，a1a33，则 a4_. (2)等比数列an的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn，已知 S37 4，S6 63 4 ，则 a8 _. 解析 (1)由an为等比数列，设公比为 q. 由 a 1a21， a1a33，得 a 1a1q1，

8、a1a1q23， 显然 q1，a10， 得 1q3，即 q2，代入式可得 a11， 所以 a4a1q31(2)38. (2)设数列an首项为 a1，公比为 q(q1)， 则 S3a1（1q 3） 1q 7 4， S6a 1（1q6） 1q 63 4 ， 解得 a 11 4， q2， 所以 a8a1q71 42 732. 答案 (1)8 (2)32 规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中 有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而 解. 2.等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q1 时，an的前 n

9、 项 和 Snna1；当 q1 时，an的前 n 项和 Sna 1（1qn） 1q a 1anq 1q . 【训练 1】 (1)等比数列an中各项均为正数，Sn是其前 n 项和，且满足 2S38a1 3a2，a416，则 S4( ) A.9 B.15 C.18 D.30 (2)(2017 北京卷)若等差数列an和等比数列bn满足 a1b11，a4b48，则 a2 b2_. 解析 (1)设数列an的公比为 q(q0)， 则 2S 32（a1a1qa1q2）8a13a1q， a1q316， 解得 q2，a12，所以 S42（12 4） 12 30. (2)an为等差数列，a11，a48a13d13

10、d，d3，a2a1d 132.bn为等比数列，b11，b48b1 q3q3，q2，b2b1 q 2，则a2 b2 2 21. 答案 (1)D (2)1 考点二 等比数列的判定与证明 【例 2】 (2016 全国卷)已知数列an的前 n 项和 Sn1an，其中 0. (1)证明an是等比数列，并求其通项公式； (2)若 S531 32，求 . (1)证明 由题意得 a1S11a1，故 1，a1 1 1，a10. 由 Sn1an，Sn11an1， 得 an1an1an， 即 an1(1)an， 由 a10，0 得 an0，所以a n1 an 1. 因此an是首项为 1 1，公比为 1的等比数列，

11、于是 an 1 1 1 n1 . (2)解 由(1)得 Sn1 1 n . 由 S531 32，得 1 1 5 31 32，即 1 5 1 32. 解得 1. 规律方法 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用 于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续 三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对 n1 的情形进行验证. 【训练 2】 (2019 广东省级名校联考)已知 Sn是数列an的前 n 项和，且满足 Sn 2ann4. (1)证明：Snn2为等比数列； (2)求数列Sn的前 n 项和 Tn. (1)证明 因为 a

12、nSnSn1(n2)， 所以 Sn2(SnSn1)n4(n2)， 则 Sn2Sn1n4(n2)， 所以 Snn22Sn1(n1)2(n2)， 又由题意知 a12a13， 所以 a13，则 S1124， 所以Snn2是首项为 4，公比为 2 等比数列. (2)解 由(1)知 Snn22n 1， 所以 Sn2n 1n2， 于是 Tn(22232n 1)(12n)2n 4（12 n） 12 n（n1） 2 2n2 n3n23n8 2 . 考点三 等比数列的性质及应用 【例 3】 (1)等比数列an的各项均为正数，且 a5a6a4a718，则 log3a1log3a2 log3a10( ) A.12

13、B.10 C.8 D.2log35 (2)已知数列an是等比数列， Sn为其前 n 项和， 若 a1a2a34， a4a5a68， 则 S12( ) A.40 B.60 C.32 D.50 解析 (1)由等比数列的性质知 a5a6a4a7，又 a5a6a4a718，所以 a5a69，则 原式log3(a1a2a10)log3(a5a6)510. (2)数列 S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列 4，8，S9S6，S12S9 是首项为 4，公比为 2 的等比数列，则 S9S6a7a8a916，S12S9a10a11 a1232，因此 S1248163260. 答案 (1)B (

14、2)B 规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质， 特别是性质“若 mnpq，则 am anap aq”，可以减少运算量，提高解题速 度. 2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形. 此外，解题时注意设而不求思想的运用. 【训练 3】 (1)(2019 西安质检)在等比数列an中，若 a3，a7是方程 x24x20 的两根，则 a5的值是( ) A.2 B. 2 C. 2 D. 2 (2)(一题多解)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若S6 S33，则 S9 S6_. 解析 (1)根据根与系数之间的关系得 a3a74， a3a7

15、2，由 a3a740， 所以 a31，a13)，TnTn1(n4，nN+)，T11，T2a1 a21，T3 a1 a2 a3a1a2T21，T4a1a2a3a4a11，故 n 的最小值为 6. 答案 C 12.数列an中， 已知对任意 nN+， a1a2a3an3n1， 则 a21a22a23 a2n等于( ) A.(3n1)2 B.1 2(9 n1) C.9n1 D.1 4(3 n1) 解析 a1a2an3n1，nN+，n2 时，a1a2an13n 11， 当 n2 时，an3n3n 12 3n1， 又 n1 时，a12 适合上式，an2 3n 1， 故数列a2n是首项为 4，公比为 9 的

16、等比数列. 因此 a21a22a2n4（19 n） 19 1 2(9 n1). 答案 B 13.(2019 华大新高考联盟质检)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a3a112a25， 且 S4S12S8，则 _. 解析 an是等比数列，a3a112a25， a272a25，q42， S4S12S8，a 1（1q4） 1q a 1（1q12） 1q a 1（1q8） 1q ， 1q41q12(1q8)， 将 q42 代入计算可得 8 3. 答案 8 3 14.已知数列an满足 a11，an12an( 为常数). (1)试探究数列an是不是等比数列，并求 an； (2)当 1 时，求数列n(an)的前 n 项和 Tn. 解 (1)因为 an12an，所以 an12(an). 又 a11， 所以当 1 时，a10，数列an不是等比数列， 此时 anan10，即 an1； 当 1 时，a10，所以 an0， 所以数列an是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， 此时 an(1)2n 1，即 a n(1)2n 1. (2)由(1)知 an2n1，所以 n(an1)n2n， Tn2222323n2n， 2Tn22223324n2n 1， 得： Tn222232nn2n 12（12 n） 12 n2n 12n12 n2n 1(1n)2n12. 所以 Tn(n1)2n 12.