（2020年高考专用）第六章数列 第4节.doc

1、第第 4 节节 数列求和数列求和 最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等 比数列求和的几种常见方法. 知 识 梳 理 1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前 n 项和公式： Snn（a 1an） 2 na1n（n1） 2 d. (2)等比数列的前 n 项和公式： Sn na1，q1， a1anq 1q a 1（1qn） 1q ，q1. 2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其 和. (3

2、)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这 个数列的前 n 项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法 如果一个数列an的前 n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一 个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解. 微点提醒 1.1234nn（n1） 2 . 2.1222n2n（n1）（2n1） 6 . 3.裂项求和常用的三种变形 (1) 1 n（n1） 1 n 1 n1. (2) 1 （2n1）（2n1） 1 2 1 2n1 1 2n1 . (3) 1 n n1 n1 n. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”

3、或“”) (1)若数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sna 1an1 1q .( ) (2)当 n2 时， 1 n21 1 2( 1 n1 1 n1).( ) (3)求 Sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位 相减法求得.( ) (4)若数列 a1， a2a1， ， anan1是首项为 1， 公比为 3 的等比数列， 则数列an 的通项公式是 an3 n1 2 .( ) 解析 (3)要分 a0 或 a1 或 a0 且 a1 讨论求解. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 5P38A9 引申改编)数列an中， an 1 n（n1

4、）， 若an的前 n 项和为 2 019 2 020， 则项数 n 为( ) A.2 018 B.2 019 C.2 020 D.2 021 解析 an 1 n（n1） 1 n 1 n1， Sn11 2 1 2 1 3 1 n 1 n11 1 n1 n n1 2 019 2 020，所以 n2019. 答案 B 3.(必修 5P28 练习 1T1 改编)等比数列an中，若 a127，a9 1 243，q0，Sn 是其 前 n 项和，则 S6_. 解析 由 a127，a9 1 243知， 1 24327 q 8， 又由 q0，解得 q1 3， 所以 S6 27 1 1 3 6 11 3 364

5、9 . 答案 364 9 4.(2018 东北三省四校二模)已知数列an满足 an1an2，a15，则|a1|a2| |a6|( ) A.9 B.15 C.18 D.30 解析 由题意知an是以 2 为公差的等差数列，又 a15，所以|a1|a2| |a6|5|3|1|13553113518. 答案 C 5.(2019 榆林调研)已知数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，bnan2n1， 且 SnTn2n 1n22，则 2T n_. 解析 由题意知 TnSnb1a1b2a2bnann2n 12， 又 SnTn2n 1n22， 所以 2TnTnSnSnTn2n 2n(n1)4. 答案

6、2n 2n(n1)4 6.(2019 河北“五个一”名校质检)若 f(x)f(1x)4，anf(0)f 1 n f n1 n f(1)(nN+)，则数列an的通项公式为_. 解析 由 f(x)f(1x)4，可得 f(0)f(1)4，f 1 n f n1 n 4，所以 2an f(0)f(1) f 1 n f n1 n f(1)f(0)4(n1)，即 an2(n1). 答案 an2(n1) 考点一 分组转化法求和 【例 1】 (2019 郴州质检)已知在等比数列an中，a11，且 a1，a2，a31 成等 差数列. (1)求数列an的通项公式； (2)若数列bn满足 bn2n1an(nN+)，数

7、列bn的前 n 项和为 Sn，试比较 Sn 与 n22n的大小. 解 (1)设等比数列an的公比为 q， a1，a2，a31 成等差数列， 2a2a1(a31)a3，qa3 a22， ana1qn 12n1(nN +). (2)由(1)知 bn2n1an2n12n 1， Sn(11)(32)(522)(2n12n 1) 135(2n1)(12222n 1) 1（2n1） 2 n12 n 12 n22n1. Sn(n22n)1an(nN+)，a11，该数列的前三项分 别加上 1，1，3 后成等比数列，an2log2bn1. (1)分别求数列an，bn的通项公式； (2)求数列an bn的前 n

8、项和 Tn. 解 (1)设等差数列an的公差为 d，则 d0， 由 a11，a21d，a312d 分别加上 1，1，3 后成等比数列， 得(2d)22(42d)， 解得 d2(舍负)，所以 an1(n1)22n1. 又因为 an2log2bn1，所以 log2bnn，则 bn 1 2n. (2)由(1)知 an bn(2n1) 1 2n， 则 Tn 1 21 3 22 5 23 2n1 2n ， 1 2Tn 1 22 3 23 5 24 2n1 2n 1， 由，得 1 2Tn 1 22 1 22 1 23 1 24 1 2n 2n1 2n 1. 1 2Tn 1 22 1 4 1 1 2n 1

9、11 2 2n1 2n 1， Tn12 2 2n 12n1 2n 342n1 2n 332n 2n . 思维升华 非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想 1.转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通 过通项分解或错位相消来完成； 2.不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序 相加法等来求和. 易错防范 1.直接应用公式求和时， 要注意公式的应用范围， 如当等比数列公比为参数(字母) 时，应对其公比是否为 1 进行讨论. 2.在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号. 3.在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩

10、多少项则后剩多 少项. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.(2017 全国卷)等差数列an的首项为 1， 公差不为 0.若 a2， a3， a6成等比数列， 则an前 6 项的和为( ) A.24 B.3 C.3 D.8 解析 设an的公差为 d，根据题意得 a23a2 a6， 即(a12d)2(a1d)(a15d)，解得 d2， 所以数列an的前 6 项和为 S66a165 2 d1665 2 (2)24. 答案 A 2.数列an的通项公式为an(1)n 1 (4n3)， 则它的前100项之和S 100等于( ) A.200 B.200 C.400 D.400 解析 S

11、100(413)(423)(433)(41003)4(12) (34)(99100)4(50)200. 答案 B 3.数列an的通项公式是 an 1 n n1，前 n 项和为 9，则 n 等于( ) A.9 B.99 C.10 D.100 解析 因为 an 1 n n1 n1 n， 所以 Sna1a2an( n1 n)( n n1)( 3 2)( 2 1) n11， 令 n119，得 n99. 答案 B 4.(2019 合肥调研)已知 Tn为数列 2n1 2n 的前 n 项和，若 mT101 013 恒成立，则 整数 m 的最小值为( ) A.1 026 B.1 025 C.1 024 D.1

12、 023 解析 2 n1 2n 1 1 2 n ，Tnn1 1 2n， T101 01311 1 2101 0131 024 1 210， 又 mT101 013 恒成立， 整数 m 的最小值为 1 024. 答案 C 5.(2019 厦门质检)已知数列an满足an1(1)n 1a n2， 则其前100项和为( ) A.250 B.200 C.150 D.100 解析 当 n2k(kN+)时，a2k1a2k2，当 n2k1(kN+)时，a2ka2k12， 当 n2k1(kN+)时，a2k2a2k12，a2k1a2k14，a2k2a2k0，an 的前 100 项和(a1a3)(a97a99)(a

13、2a4)(a98a100)254 250100. 答案 D 二、填空题 6.已知正项数列an满足 a2n16a2nan1an.若 a12，则数列an的前 n 项和 Sn _. 解析 由 a2n16a2nan1an， 得(an13an)(an12an)0， 又 an0，所以 an13an， 又 a12，所以an是首项为 2，公比为 3 的等比数列， 故 Sn2（13 n） 13 3n1. 答案 3n1 7.(2019 武汉质检)设数列(n2n)an是等比数列，且 a11 6，a2 1 54，则数列3 nan 的前 15 项和为_. 解析 等比数列(n2n)an的首项为 2a11 3，第二项为 6

14、a2 1 9，故公比为 1 3，所以 (n2n)an1 3 1 3 n1 1 3n，所以 an 1 3n（n2n），则 3 nan 1 n2n 1 n 1 n1，其前 n 项和为 1 1 n1，n15 时，为 1 1 16 15 16. 答案 15 16 8.(2019 九江调研)已知数列nan的前 n 项和为 Sn，且 an2n，且使得 Snnan1 500 的最小正整数 n 的值为_. 解析 Sn121222n2n， 则 2Sn122223n2n 1，两式相减得 Sn2222nn 2n 12（12 n） 12 n 2n 1， 故 Sn2(n1) 2n 1. 又 an2n， Snnan150

15、2(n1) 2n 1n 2n150 522n 1， 依题意 522n 10，故最小正整数 n 的值为 5. 答案 5 三、解答题 9.已知数列an的前 n 项和 Snn 2n 2 ，nN+. (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn2an(1)nan，求数列bn的前 2n 项和. 解 (1)当 n1 时，a1S11； 当 n2 时，anSnSn1n 2n 2 （n1） 2（n1） 2 n. a1也满足 ann，故数列an的通项公式为 ann. (2)由(1)知 ann，故 bn2n(1)nn. 记数列bn的前 2n 项和为 T2n， 则 T2n(212222n)(12342n). 记 A2

16、12222n，B12342n， 则 A2（12 2n） 12 22n 12， B(12)(34)(2n1)2nn. 故数列bn的前 2n 项和 T2nAB22n 1n2. 10.设数列an的前 n 项和为 Sn，a12，an12Sn(nN+). (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn1log2(an)2，求证：数列 1 bnbn1 的前 n 项和 Tn1 6. (1)解 因为 an12Sn(nN+)， 所以 an2Sn1(n2)， 所以 an1anSnSn1an， 所以 an12an(n2). 又因为 a22a14，a12，所以 a22a1， 所以数列an是以 2 为首项，2 为公比的等

17、比数列， 则 an2 2n 12n(nN +). (2)证明 因 bn1log2(an)2，则 bn2n1. 则 1 bnbn1 1 2 1 2n1 1 2n3 ， 所以 Tn1 2 1 3 1 5 1 5 1 7 1 2n1 1 2n3 1 2 1 3 1 2n3 1 6 1 2（2n3） 1 6. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.(2019 广州模拟)已知数列an满足 a11，an1an2(nN+)，且 Sn为an的 前 n 项和，则( ) A.an2n1 B.Snn2 C.an2n 1 D.Sn2n 1 解析 由题意得 a2a12，a3a22，a4a32，anan12， a

18、2a1a3a2a4a3anan12(n1)， ana12(n1)，an2n1， a11，a23，a35，an2n1， a1a2a3an1352n1， Snn（12n1） 2 n2. 答案 B 12.已知数列an中，an4n5，等比数列bn的公比 q 满足 qanan1(n2) 且 b1a2，则|b1|b2|b3|bn|_. 解析 由已知得 b1a23，q4， bn(3)(4)n 1，|b n|34n 1， 即|bn|是以 3 为首项，4 为公比的等比数列， |b1|b2|bn|3（14 n） 14 4n1. 答案 4n1 13.(2017 全国卷)等差数列an的前 n 项和为 Sn，a33，S

19、410，则 n k1 1 Sk _. 解析 设等差数列an的公差为 d，则 由 a 3a12d3， S44a143 2 d10，得 a 11， d1. Snn1n（n1） 2 1n（n1） 2 ， 1 Sn 2 n（n1）2 1 n 1 n1 . n k1 1 Sk 1 S1 1 S2 1 S3 1 Sn 2 11 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n1 2 1 1 n1 2n n1. 答案 2n n1 14.(2019 河南、河北两省联考)已知数列an的前 n 项和为 Sn，a15，nSn1(n 1)Snn2n. (1)求证：数列 Sn n 为等差数列； (2)令 bn2nan

20、，求数列bn的前 n 项和 Tn. (1)证明 由 nSn1(n1)Snn2n 得 Sn1 n1 Sn n 1， 又S1 1 5，所以数列 Sn n 是首项为 5，公差为 1 的等差数列. (2)解 由(1)可知Sn n 5(n1)n4，所以 Snn24n. 当 n2 时，anSnSn1n24n(n1)24(n1)2n3. 又 a15 也符合上式，所以 an2n3(nN+)， 所以 bn(2n3)2n， 所以 Tn52722923(2n3)2n， 2Tn522723924(2n1)2n(2n3)2n 1， 所以得 Tn(2n3)2n 110(23242n1) (2n3)2n 1102 3（12n1） 12 (2n3)2n 110(2n28) (2n1)2n 12.