（2020年高考专用）第五章 平面向量 第1节.doc

1、 第第 1 节节 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 最新考纲 1.了解向量的实际背景； 2.理解平面向量的概念， 理解两个向量相等的 含义； 3.理解向量的几何表示； 4.掌握向量加法、 减法的运算， 并理解其几何意义； 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义， 理解两个向量共线的含义； 6.了解向量线性 运算的性质及其几何意义. 知 识 梳 理 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或模). (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的. (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量. (4)平行向量： 方向相同或相反的非零向量

2、.平行向量又叫共线向量.规定： 0 与任一 向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和 的运算 (1)交换律： abba. (2)结合律： (ab)c a(bc) 减法 求 a 与 b 的相 反向量b 的 和的运算叫作 aba(b) a 与 b 的差 数乘 求实数 与向 量 a 的积的运 算 (1)|a|a|； (2)当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时，a0 (a)a； ()aaa； (ab)a

3、b 3.共线向量定理 a 是一个非零向量，若存在一个实数 ，使得 ba，则向量 b 与非零向量 a 共线. 微点提醒 1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向 量终点的向量，即A1A2 A2A3 A3A4 An1AnA1An ，特别地， 一个封闭图 形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP 1 2(OA OB ). 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若 ab，bc，则 ac.( ) (3)向量AB 与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，

4、D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立.( ) 解析 (2)若 b0，则 a 与 c 不一定平行. (3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则 A，B，C，D 四点不一定在一 条直线上. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 4P108A1 改编)给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的； 若 a，b 都是单位向量，则 ab；向量AB 与BA相等.则所有正确命题的序号是 ( ) A. B. C. D. 解析 根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模 相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，

5、故错误；向量AB 与BA 互为相反向量，故错误. 答案 A 3.(必修 4P87A6 引申改编)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四 边形 ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD 等于( ) A.OM B.2OM C.3OM D.4OM 解析 OA OB OC OD (OA OC )(OB OD )2OM 2OM 4OM . 答案 D 4.(2019 宜春调研)如图所示，已知AC 3BC，OA a，OB b，OC c，则下列等 式中成立的是( ) A.c3 2b 1 2a B.c2ba C.c2ab D.c3 2a 1 2b 解析 因为AC 3BC， OA

6、 a， OB b， 所以OC OA AC OA 3 2AB OA 3 2(OB OA )3 2OB 1 2OA 3 2b 1 2a. 答案 A 5.(2018 长沙检测)若四边形 ABCD 满足AD 1 2BC 且|AB|DC |，则四边形 ABCD 的形状是( ) A.等腰梯形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 解析 因为AD 1 2BC ，所以AD BC ，且|AD |1 2|BC |，所以四边形 ABCD 为以 AD 为上底，BC 为下底的梯形.又|AB |DC |，所以梯形 ABCD 的两腰相等.因此四边 形 ABCD 是等腰梯形. 答案 A 6.(2019西安调研)设 a 与 b 是两

7、个不共线向量，且向量 ab 与(b2a)共线， 则 _. 解析 依题意知向量 ab 与 2ab 共线，设 abk(2ab)，则有(12k)a (k)b0，所以 12k0， k0， 解得 k1 2， 1 2. 答案 1 2 考点一 平面向量的概念 【例 1】 (1)设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使 a |a| b |b|0 成立的 是( ) A.a2b B.ab C.a1 3b D.ab (2)给出下列四个命题： 若|a|b|，则 ab； 若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“AB DC ”是“四边形 ABCD 为平行四 边形”的充要条件； 若 ab，bc，则 ac； ab

8、的充要条件是|a|b|且 ab. 其中正确命题的序号是( ) A. B. C. D. 解析 (1)由 a |a| b |b|0 得 a |a| b |b|0，即 a b |b| |a|0，则 a 与 b 共线且方向相 反，因此当向量 a 与向量 b 共线且方向相反时，能使 a |a| b |b|0 成立.对照各个选 项可知，选项 A 中 a 与 b 的方向相同；选项 B 中 a 与 b 共线，方向相同或相反； 选项 C 中 a 与 b 的方向相反；选项 D 中 a 与 b 互相垂直. (2)不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. 正确.AB DC ，|AB |DC |且AB DC

9、 ，又 A，B，C，D 是不共线的四点， 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则|AB | |DC |， AB DC 且AB ，DC 方向相同，因此AB DC . 正确.ab，a，b 的长度相等且方向相同，又 bc，b，c 的长度相等且 方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac. 不正确.当 ab 且方向相反时， 即使|a|b|， 也不能得到 ab， 故|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是. 答案 (1)C (2)A 规律方法 对于向量的有关概念应注意以下几点： (1)平行向量就是共线向量，二者

10、是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行 具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量 具有传递性. (2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可 以比较大小. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数 图像的平移混为一谈. (4)非零向量 a 与 a |a|的关系： a |a|是与 a 同方向的单位向量. 【训练 1】 (1)如图，等腰梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 P，点 E，F 分别在两腰 AD，BC 上，EF 过点 P，且 EFAB，则下列等式中成立的是( ) A.AD BC

11、 B.AC BD C.PE PF D.EP PF (2)给出下列说法： 非零向量 a 与 b 同向是 ab 的必要不充分条件； 若AB 与BC共线，则 A，B，C 三点在同一条直线上； a 与 b 是非零向量，若 a 与 b 同向，则 a 与b 反向； 设 ， 为实数，若 ab，则 a 与 b 共线. 其中错误说法的序号是_. 解析 (1)根据相等向量的定义，分析可得AD 与BC 不平行，AC与BD 不平行，所以 AD BC ，ACBD 均错误，PE 与PF平行，但方向相反也不相等，只有EP与PF方 向相同，且大小都等于线段 EF 长度的一半，所以EP PF. (2)根据向量的有关概念可知正确

12、，错误. 答案 (1)D (2) 考点二 平面向量的线性运算 多维探究 角度 1 向量的线性运算 【例 21】 (2018 全国卷)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中 点，则EB ( ) A.3 4AB 1 4AC B.1 4AB 3 4AC C.3 4AB 1 4AC D.1 4AB 3 4AC 解析 E 是 AD 的中点，EA 1 2AD ， EB EAAB1 2AD AB ， 又知 D 是 BC 的中点， AD 1 2(AB AC)， 因此EB 1 4(AB AC)AB3 4AB 1 4AC . 答案 A 角度 2 利用向量线性运算求参数 【例 22】 (1)如

13、图，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，E 为线段 AO 的中点.若BE BABD (，R)，则 等于( ) A.1 B.3 4 C.2 3 D.1 2 (2)在锐角ABC 中，CM 3MB ，AM xAB yAC(x，yR)，则x y_. 解析 (1)E 为线段 AO 的中点， BE 1 2BA 1 2BO 1 2BA 1 2 1 2BD 1 2BA 1 4BD BA BD ， 1 2 1 4 3 4. (2)由题设可得AM CM CA 3 4CB AC3 4(AB AC)AC3 4AB 1 4AC ， 则 x3 4，y 1 4.故 x y3. 答案 (1)B (2)3 规

14、律方法 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反 向量将加减法相互转化. 2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找 相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果. 【训练 2】 (1)如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等 分点，AB a，ACb，则AD ( ) A.a1 2b B.1 2ab C.a1 2b D.1 2ab (2)设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD1 2AB，BE 2 3BC.若DE 1AB 2AC ( 1，2为实数)，则 12的值为_. 解析 (

15、1)连接 CD，由点 C，D 是半圆弧的三等分点， 得 CDAB 且CD 1 2AB 1 2a， 所以AD AC CD b1 2a. (2)DE DB BE 1 2AB 2 3BC 1 2AB 2 3(AC AB)1 6AB 2 3AC ， DE 1AB 2AC ， 11 6，2 2 3， 因此 121 2. 答案 (1)D (2)1 2 考点三 共线向量定理及其应用 【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线. (1)若AB ab，BC2a8b，CD 3(ab).求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线. (1)证明 AB ab，BC2a8b，CD

16、 3(ab). BD BC CD 2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB .AB，BD 共线，又它们有公共点 B， A，B，D 三点共线. (2)解 kab 与 akb 共线，存在实数 ， 使 kab(akb)，即 kabakb， (k)a(k1)b. a，b 是不共线的两个非零向量， kk10，k210，k 1. 规律方法 1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点 共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. 2.向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数 1，2，使 1a2b0 成立. 【训练 3】 (1)已知 a，b 是不共线的向量，AB

17、 ab，ACab，R， 则 A，B，C 三点共线的充要条件为( ) A.2 B.1 C.1 D.1 (2)(一题多解)已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，则使 等式 x2OA xOB BC 0 成立的实数 x 的取值集合为( ) A.0 B. C.1 D.0，1 解析 (1)因为 A，B，C 三点共线，所以AB AC，设ABmAC(m0)，则 ab m(ab)，所以 m， 1m，所以 1. (2)法一 若要 x2OA xOB BC 0 成立，BC必须与 x2OA xOB 共线，由于OA OB BA 与BC共线，所以OA 和OB 的系数必须互为相反数，则 x2

18、x，解得 x0 或 x1，而当 x0 时，BC 0，此时 B，C 两点重合，不合题意，舍去.故 x 1. 法二 BC OC OB ，x2OA xOB OC OB 0，即OC x2OA (x 1)OB ，A，B，C 三点共线， x2(x1)1，即 x2x0，解得 x0 或 x1.当 x0 时，x2OA xOB BC 0，此时 B，C 两点重合，不合题意，舍去.故 x1. 答案 (1)D (2)C 思维升华 1.向量线性运算的三要素 向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素 是“首尾相接，指向终点” ；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减 向量” ；平行四边

19、形法则要素是“起点重合”. 2.三个常用结论 (1)O 为ABC 的重心的充要条件是OA OB OC 0； (2)四边形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的中点，则AB DC 2EF ； (3)对于平面上的任一点 O，OA ，OB 不共线，满足OP xOA yOB (x，yR)，则 P，A，B 共线xy1. 注意向量共线与三点共线的区别. 易错防范 1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要 考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性. 2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导 致错误.

20、 基础巩固题组 (建议用时：35 分钟) 一、选择题 1.已知下列各式： AB BCCA； ABMB BO OM ； OA OB BO CO ； AB ACBD CD ，其中结果为零向量的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由题知结果为零向量的是，故选 B. 答案 B 2.如图，在正六边形 ABCDEF 中，BA CD EF ( ) A.0 B.BE C.AD D.CF 解析 由题图知BA CD EF BAAFCBCBBFCF. 答案 D 3.设 a 是非零向量， 是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与 a 的方向相反 B.a 与 2a 的方向相同 C.|a|a| D

21、.|a| a 解析 对于 A，当 0 时，a 与 a 的方向相同，当 0 时，a 与 a 的方向相反， B 正确；对于 C，|a|a|，由于|的大小不确定，故|a|与|a|的大小关 系不确定；对于 D，|a 是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小. 答案 B 4.已知AB a2b， BC5a6b， CD 7a2b， 则下列一定共线的三点是( ) A.A，B，C B.A，B，D C.B，C，D D.A，C，D 解析 因为AD AB BCCD 3a6b3(a2b)3AB ， 又AB， AD 有公共点 A， 所以 A，B，D 三点共线. 答案 B 5.设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，

22、CA，AB 的中点，则EB FC( ) A.BC B.1 2AD C.AD D.1 2BC 解析 如图，EB FCECCBFBBCECFB1 2(AC AB)1 2 2AD AD . 答案 C 6.(2019 唐山二模)已知O是正方形ABCD的中心.若DO AB AC， 其中， R， 则 ( ) A.2 B.1 2 C. 2 D. 2 解析 DO DA AO CB AO AB AC1 2AC AB1 2AC ，1，1 2， 因此 2. 答案 A 7.如图所示，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB， AC 于不同的两点 M，N，若AB mAM ，AC nAN，

23、则 mn 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 O 为 BC 的中点， AO 1 2(AB AC)1 2(mAM nAN )m 2AM n 2AN ， M，O，N 三点共线，m 2 n 21， mn2. 答案 B 8.在ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且BC 3CD ，点 O 在线段 CD 上(与 点 C，D 不重合)，若AO xAB (1x)AC，则 x 的取值范围是( ) A. 0，1 2 B. 0，1 3 C. 1 2，0 D. 1 3，0 解析 设CO yBC ， 因为AO AC CO AC yBCACy(ACAB)yAB(1y)AC. 因为BC 3CD ，

24、点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)， 所以 y 0，1 3 ， 因为AO xAB (1x)AC， 所以 xy，所以 x 1 3，0 . 答案 D 二、填空题 9.如图，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始 点和终点的向量中，与向量OA 相等的向量有_个. 解析 根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA 相等的向量有CB ， DO ，EF ，共 3 个. 答案 3 10.设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 _. 解析 向量 a，b 不平行，a2b0，又向量 ab 与 a2b 平行，则存在唯 一的实数 ，使 a

25、b(a2b)成立，即 aba2b，则得 ， 12，解得 1 2. 答案 1 2 11.在ABC 中，点 M，N 满足AM 2MC ，BN NC .若MN xAB yAC，则 xy _. 解析 由题中条件得，MN MC CN 1 3AC 1 2CB 1 3AC 1 2(AB AC )1 2AB 1 6 AC xAByAC， 所以 x1 2，y 1 6，因此 xy 1 2 1 6 1 3. 答案 1 3 12.(2018 清华大学自主招生能力测试)设 O 在ABC 的内部，D 为 AB 的中点，且 OA OB 2OC 0，则ABC 的面积与AOC 的面积的比值为_. 解析 D 为 AB 的中点，则

26、OD 1 2(OA OB )， 又OA OB 2OC 0，OD OC ，O 为 CD 的中点. 又D 为 AB 的中点，SAOC1 2SADC 1 4SABC，则 SABC SAOC4. 答案 4 能力提升题组 (建议用时：15 分钟) 13.已知点 O， A， B 不在同一条直线上， 点 P 为该平面上一点， 且 2OP 2OA BA ， 则( ) A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上 解析 因为 2OP 2OA BA ，所以 2APBA，所以点 P 在线段 AB 的反向延长线 上，故选

27、B. 答案 B 14.(2019 合肥二模)设 D，E，F 分别为ABC 三边 BC，CA，AB 的中点，则DA 2EB 3FC( ) A.1 2AD B.3 2AD C.1 2AC D.3 2AC 解析 因为 D，E，F 分别为ABC 三边 BC，CA，AB 的中点， 所以DA 2EB 3FC1 2(BA CA)21 2(AB CB)31 2(AC BC) 1 2BA ABCB3 2BC 3 2AC 1 2CA 1 2AB 1 2BC AC1 2AC AC3 2AC . 答案 D 15.已知ABC 和点 M 满足MA MB MC 0， 若存在实数 m 使得AB ACmAM 成立，则 m_.

28、解析 由已知条件得MB MC MA ，如图，延长 AM 交 BC 于 D 点，则 D 为 BC 的中点. 同理 E，F 分别是 AC，AB 的中点， 因此点 M 是ABC 的重心， AM 2 3AD 1 3(AB AC)，则 m3. 答案 3 16.(2019 郑州模拟)设 e1与 e2是两个不共线向量， AB 3e 12e2， CB ke 1e2， CD 3e12ke2，若 A，B，D 三点共线，则 k 的值为_. 解析 由题意，A，B，D 三点共线，故必存在一个实数 ，使得AB BD . 又AB 3e 12e2，CB ke 1e2，CD 3e12ke2， 所以BD CD CB 3e 12ke2(ke1e2) (3k)e1(2k1)e2， 所以 3e12e2(3k)e1(2k1)e2， 又 e1与 e2不共线， 所以 3（3k）， 2（2k1），解得 k 9 4. 答案 9 4