（2020年高考专用）教材高考审题答题二.doc

1、 核心热点 真题印证 核心素养 三角函数 的图像与 性质 2018 全国，10；2018 全国，8；2018 全国，6； 2017 浙江，17；2017 山东，16；2017 全国，14 直观想象、 逻辑推理 三角恒等 变换 2018 浙江， 18； 2018 江苏， 16； 2018 全国， 15； 2018 全 国，4；2017 全国，15；2016 全国，14 逻辑推理、 数学运算 解三角形 2018 全国，17；2018 全国，6，2017 全国，17； 2018 北京，15；2018 天津，15；2016 全国，17 逻辑推理、 数学运算 教材链接高考三角函数的图像与性质 教材探究(

2、引自人教 A 版必修 4P147 复习参考题 A 组第 9 题、第 10 题两个经典 题目) 题目 9 已知函数 y(sin xcos x)22cos2x. (1)求函数的递减区间； (2)求函数的最大值和最小值. 题目 10 已知函数 f(x)cos4x2sin xcos xsin4 x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)当 x 0， 2 时，求 f(x)的最小值及取得最小值时 x 的集合. 试题评析 两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关 键在于运用二倍角公式及两角和公式化为 yAsin(x)k 的形式，然后利用 三角函数的性质求解. 【教材拓展】 已知函数 f

3、(x)4tan xsin 2x cos x 3 3. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f(x)在区间 4， 4 上的单调性. 解 (1)f(x)的定义域为x|x 2k，kZ， f(x)4tan xcos xcos x 3 3 4sin xcos x 3 3 4sin x 1 2cos x 3 2 sin x 3 2sin xcos x2 3sin2x 3 sin 2x 3cos 2x 2sin 2x 3 . 所以 f(x)的最小正周期 T2 2 . (2)由 22k2x 3 22k(kZ)， 得 12kx 5 12k(kZ). 设 A 4， 4 ，B x 12kx 5 1

4、2k，kZ ，易知 AB 12， 4 . 所以当 x 4， 4 时，f(x)在区间 12， 4 上单调递增，在区间 4， 12 上单 调递减. 探究提高 1.将 f(x)变形为 f(x)2sin 2x 3 是求解的关键，(1)利用商数关系统一 函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数. 2.把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求 yAsin(x)B 的单调性 及奇偶性、最值、对称性等问题. 【链接高考】 (2017 山东卷)设函数 f(x)sin x 6 sin x 2 ， 其中 03， 已知 f 6 0. (1)求 ； (2)将函数 yf(x)的图像上各点的横坐标伸长为原来

5、的 2 倍(纵坐标不变)，再将得 到的图像向左平移 4个单位，得到函数 yg(x)的图像，求 g(x)在 4， 3 4 上的最 小值. 解 (1)因为 f(x)sin x 6 sin x 2 ， 所以 f(x) 3 2 sin x1 2cos xcos x 3 2 sin x3 2cos x 3 1 2sin x 3 2 cos x 3sin x 3 . 由题设知 f 6 0， 所以 6 3k(kZ)， 故 6k2(kZ). 又 03，所以 2. (2)由(1)得 f(x) 3sin 2x 3 ， 所以 g(x) 3sin x 4 3 3sin x 12 . 因为 x 4， 3 4 ，所以 x

6、 12 3， 2 3 ， 当 x 12 3，即 x 4时，g(x)取得最小值 3 2. 教你如何审题三角恒等变换、三角函数与平面向量 【例题】 (2019 郑州质检)已知向量 m(2sin x， cos2xsin2x)， n( 3cos x， 1)，其中 0，xR.若函数 f(x)m n 的最小正周期为 . (1)求 的值； (2)在ABC 中，若 f(B)2，BC 3，sin B 3sin A，求BA BC的值. 审题路线 自主解答 解 (1)f(x)m n2 3sin xcos xcos2xsin2x 3sin 2xcos 2x 2sin 2x 6 . 因为 f(x)的最小正周期为 ，所以

7、 T 2 2|. 又 0，所以 1. (2)由(1)知 f(x)2sin 2x 6 . 设ABC 中角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c. 因为 f(B)2，所以 2sin 2B 6 2， 即 sin 2B 6 1，由于 0B，解得 B2 3 . 因为 BC 3，即 a 3，又 sin B 3sin A， 所以 b 3a，故 b3. 由正弦定理，有 3 sin A 3 sin 2 3 ，解得 sin A1 2. 由于 0A 3，解得 A 6. 所以 C 6，所以 ca 3. 所以BA BCcacos B 3 3cos 2 3 3 2. 探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方

8、法是“化简转化法”， 即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三 角函数进行巧“化简”； 然后把以向量共线、 向量垂直形式出现的条件转化为“对 应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化. 2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角 函数的相关知识进行求解. 【尝试训练】 已知函数 f(x)a b，其中 a(2cos x， 3sin 2x)，b(cos x，1)， xR. (1)求函数 yf(x)的单调递减区间； (2)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f(A)1，a 7，且向 量 m(

9、3，sin B)与 n(2，sin C)共线，求边长 b 和 c 的值. 解 (1)f(x)2 cos2x 3sin 2x1cos 2x 3sin 2x12cos 2x 3 ， 令 2k2x 3 2k(kZ)， 解得 k 6xk 3(kZ)， 函数 yf(x)的单调递减区间为 k 6，k 3 (kZ). (2)f(A)12cos 2A 3 1， cos 2A 3 1，又 32A 3 7 3 ， 2A 3，即 A 3. a 7，由余弦定理得 a2b2c22bccos A(bc)23bc7. 向量 m(3，sin B)与 n(2，sin C)共线， 2sin B3sin C，由正弦定理得 2b3c

10、， 由得 b3，c2. 满分答题示范解三角形 【例题】 (12 分)(2017 全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知ABC 的面积为 a2 3sin A. (1)求 sin Bsin C； (2)若 6cos Bcos C1，a3，求ABC 的周长. 规范解答 高考状元满分心得 写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得 分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出1 2acsin B a2 3sin A就有分，第(2)问中求 出 cos Bcos Csin Bsin C1 2就有分. 写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则

11、没分，所以在答题 时要写清得分关键点， 如第(1)问中由正弦定理得1 2sin Csin B sin A 3sin A； 第(2)问由余 弦定理得 b2c2bc9. 计算正确是得分保证： 解题过程中计算准确， 是得满分的根本保证， 如 cos Bcos Csin Bsin C1 2化简如果出现错误，本题的第(2)问就全错了，不能得分. 构建模板 【规范训练】 (2018 全国卷)在平面四边形 ABCD 中，ADC90 ，A45 ， AB2，BD5. (1)求 cosADB； (2)若 DC2 2，求 BC. 解 (1)在ABD 中，由正弦定理得 BD sinA AB sinADB，即 5 si

12、n 45 2 sinADB， 所以 sinADB 2 5 . 由题设知，ADB90 ， 所以 cosADB1 2 25 23 5 . (2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB 2 5 . 在BCD 中，由余弦定理得 BC2BD2DC22 BD DC cosBDC 258252 2 2 5 25. 所以 BC5. 1.已知函数 f(x)sin x2 3sin2x 2. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间 0，2 3 上的最小值. 解 (1)因为 f(x)sin x 3cos x 32sin x 3 3， 所以 f(x)的最小正周期为 2. (2)因为 0x2 3

13、，所以 3x 3. 当 x 3，即 x 2 3 时，f(x)取得最小值. 所以 f(x)在区间 0，2 3 上的最小值为 f 2 3 3. 2.(2019 西安调研)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 asin A4bsin B，ac 5(a2b2c2). (1)求 cos A 的值； (2)求 sin(2BA)的值. 解 (1)由 asin A4bsin B，及 a sin A b sin B，得 a2b. 由 ac 5(a2b2c2)， 及余弦定理，得 cos Ab 2c2a2 2bc 5 5 ac ac 5 5 . (2)由(1)及 A(0，)，可得 sin

14、 A2 5 5 ， 代入 asin A4bsin B，得 sin Basin A 4b 5 5 . 由(1)知，A 为钝角，所以 cos B 1sin2B2 5 5 . 于是 sin 2B2sin Bcos B4 5，cos 2B12sin 2B3 5， 故 sin(2BA)sin 2Bcos Acos 2Bsin A 4 5 5 5 3 5 2 5 5 2 5 5 . 3.已知函数 f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x(xR). (1)求 f(x)的最小正周期； (2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f(A)2，c5，cos B1 7， 求ABC

15、 中线 AD 的长. 解 (1)f(x)cos 2x 3sin 2x2sin 2x 6 . T2 2 .函数 f(x)的最小正周期为 . (2)由(1)知 f(x)2sin 2x 6 ， 在ABC 中 f(A)2，sin 2A 6 1， 2A 6 2，A 3.又 cos B 1 7且 B(0，)， sin B4 3 7 ， sin Csin(AB) 3 2 1 7 1 2 4 3 7 5 3 14 ， 在ABC 中，由正弦定理 c sin C a sin A，得 5 5 3 14 a 3 2 ， a7，BD7 2. 在ABD 中，由余弦定理得， AD2AB2BD22AB BDcos B 52

16、7 2 2 257 2 1 7 129 4 ， 因此ABC 的中线 AD 129 2 . 4.(2018 湘中名校联考)已知函数 f(x)cos x(cos x 3sin x). (1)求 f(x)的最小值； (2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 f(C)1，SABC3 3 4 ，c 7，求ABC 的周长. 解 (1)f(x)cos x(cos x 3sin x)cos2x 3sin xcos x 1cos 2x 2 3 2 sin 2x1 2sin 2x 6 . 当 sin 2x 6 1 时，f(x)取得最小值1 2. (2)f(C)1 2sin 2C 6 1，s

17、in 2C 6 1 2， C(0，)，2C 6 6， 13 6 ，2C 6 5 6 ，C 3. SABC1 2absin C 3 3 4 ，ab3. 又(ab)22abcos 372ab， (ab)216，即 ab4，abc4 7， 故ABC 的周长为 4 7. 5.已知ABC 中内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m(2sin B， 3)， n(cos 2B，2cos2B 21)，B 为锐角且 mn. (1)求角 B 的大小； (2)如果 b2，求 SABC的最大值. 解 (1)mn， 2sin B 2cos2B 21 3cos 2B， sin 2B 3cos 2B，即 tan

18、 2B 3. 又B 为锐角，2B(0，)， 2B2 3 ，B 3. (2)B 3，b2， 由余弦定理 b2a2c22accos B， 得 a2c2ac40. 又 a2c22ac，代入上式，得 ac4， 故 SABC1 2acsin B 3 4 ac 3， 当且仅当 ac2 时等号成立， 即 SABC的最大值为 3. 6.(2019 南昌二模)已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，且满足(a bc)(sin Bsin Csin A)bsin C. (1)求角 A 的大小； (2)设 a 3，S 为ABC 的面积，求 S 3cos Bcos C 的最大值. 解 (1)(abc)

19、(sin Bsin Csin A)bsin C， 根据正弦定理，知(abc)(bca)bc，即 b2c2a2bc. 由余弦定理，得 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2. 又 A(0，)，所以 A2 3. (2)根据 a 3，A2 3 及正弦定理 得 b sin B c sin C a sin A 3 3 2 2， b2sin B，c2sin C. S1 2bcsin A 1 22sin B2sin C 3 2 3sin Bsin C. S 3cos Bcos C 3sin Bsin C 3cos Bcos C 3cos(BC). 故当 BC 6时，S 3cos Bcos C 取得最大值 3.