(2020年高考专用)第四章 三角函数、解三角形 第4节.doc
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1、第第 4 节节 三角函数的三角函数的图像图像与性质与性质 最新考纲 1.能画出 ysin x, ycos x, ytan x 的图像, 了解三角函数的周期性; 2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、 图像与 x 轴的交点等),理解正切函数在区间 2, 2 内的单调性. 知 识 梳 理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数 ysin x,x0,2的图像中,五个关键点是:(0,0), 2,1 ,(, 0), 3 2 ,1 ,(2,0). (2)余弦函数 ycos x,x0,2的图像中,五个关键点是:(0,1), 2,0 ,(, 1), 3 2
2、,0 ,(2,1). 2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中 kZ) 函数 ysin x ycos x ytan x 图像 定义域 R R x|xR,且xk 2 值域 1,1 1,1 R 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 2k 2,2k 2 2k,2k k 2,k 2 递减区间 2k 2,2k 3 2 2k,2k 无 对称中心 (k,0) k 2,0 k 2 ,0 对称轴方程 xk 2 xk 无 微点提醒 1.对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期, 相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1 4个周期. (2)正切曲线相邻
3、两对称中心之间的距离是半个周期. 2.要注意求函数 yAsin(x)的单调区间时 A 和 的符号,尽量化成 0 时 情况,避免出现增减区间的混淆. 3.对于 ytan x 不能认为其在定义域上为增函数, 而是在每个区间 k 2,k 2 (kZ)内为增函数. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)余弦函数 ycos x 的对称轴是 y 轴.( ) (2)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知 yksin x1,xR,则 y 的最大值为 k1.( ) (4)ysin|x|是偶函数.( ) 解析 (1)余弦函数 ycos x 的对称轴有无穷多条,
4、y 轴只是其中的一条. (2)正切函数 ytan x 在每一个区间 k 2,k 2 (kZ)上都是增函数, 但在定义 域内不是单调函数,故不是增函数. (3)当 k0 时,ymaxk1;当 k0, cos x1 2, 解得 2k0)的图像经过坐标原点,由已知并结合正弦函 数的图像可知, 3为函数 f(x)的 1 4周期,故 2 4 3 ,解得 3 2. 法二 由题意,得 f(x)maxf 3 sin 31. 由已知并结合正弦函数图像可知, 3 22k(kZ),解得 3 26k(kZ). 所以当 k0 时,3 2. 答案 (1) k 12,k 5 12 (kZ) (2)3 2 考点三 三角函数的
5、周期性、奇偶性、对称性 多维探究 角度 1 三角函数奇偶性、周期性 【例 31】 (1)(2018 全国卷)已知函数 f(x)2cos2xsin2x2,则( ) A.f(x)的最小正周期为 ,最大值为 3 B.f(x)的最小正周期为 ,最大值为 4 C.f(x)的最小正周期为 2,最大值为 3 D.f(x)的最小正周期为 2,最大值为 4 (2)(2019 武汉调研)设函数 f(x)sin 1 2x 3cos 1 2x |0)的形式. 2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法 令 tx,将其转化为研究 ysin t(或 ycos t)的性质. 3.数形结合是
6、本讲的重要数学思想. 易错防范 1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性;含参数的最值 问题,要讨论参数对最值的影响. 2.求三角函数的单调区间时,当单调区间有无穷多个时,别忘了注明 kZ. 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.函数 y 3sin 2xcos 2x 的最小正周期为( ) A. 2 B.2 3 C. D.2 解析 y2 3 2 sin 2x1 2cos 2x 2sin 2x 6 , T2 2 . 答案 C 2.(2018 石家庄检测)若 8,0 是函数 f(x)sin xcos x 图像的一个对称中心, 则 的一个取值是( ) A.2 B.4
7、 C.6 D.8 解析 因为 f(x)sin xcos x 2sin x 4 , 由题意, 知 f 8 2sin 8 4 0,所以 8 4k(kZ),即 8k2(kZ),当 k1 时,6. 答案 C 3.已知函数 f(x)2sin x(0)在区间 3, 4 上的最小值是2, 则 的最小值等 于( ) A.2 3 B.3 2 C.2 D.3 解析 0, 3x 4, 3 x 4 . 由已知条件知 3 2, 3 2. 答案 B 4.(2019 陕西十四校联考)已知函数 f(x)2sin xcos x(0), 若 f(x)的两个零点 x1,x2满足|x1x2|min2,则 f(1)的值为( ) A.
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