2019年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题（含答案）.pdf

1、2019 年“中南传媒湖南新教材杯”重庆市高中数学竞赛 暨全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案 2019 年“中南传媒湖南新教材杯”重庆市高中数学竞赛 暨全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案 一、填空题(每小题 8 分，共 64 分) 一、填空题(每小题 8 分，共 64 分) 1.设A为三元集合（三个不同实数组成的集合） ，集合| ,Bxy x yA xy=+，若 222 log 6, log 10, log 15B =，则集合A =_. 答案： 22 1, log 3, log 5 提示：设 222 log, log, logAabc=，其中0.abc ， 4 ( ( )3

2、f f x x +=， 则(8)f= . 答案： 7 2 提示： 由题意存在 0 0x 使 0 ()3f x=。 又因( )f x是(0,)+上的单调函数， 这样的 0 0x 是唯一的，再由0 0 4 ( ()3f f x x += 得 00 00 44 ()3xf x xx =+=+ 解得 0 4x =或 0 1x = （舍）。所以 4 ( )4f x x =， 47 (8)4 82 f=。 8.已知 为椭圆 2 9 + 2 4 = 1的内接三角形，且过点(1,0)，则 的面积的最大 值为_. 答案： 162 3 提示：经伸缩变换 = 3 = 2得 内接于圆2 + 2= 1，过点(1 3,0

3、)， = 6，设距的距离为，则0 1 3，| | = 21 2， 1 2 (1 + )，易知当 = 1 3 时， 有最大值为82 9 ，的最大值为 162 3 . 二、解答题(第 9 题 16 分，第 10、11 题各 20 分) 二、解答题(第 9 题 16 分，第 10、11 题各 20 分) 9.已知过点(3,0)斜率为的直线交双曲线： 2 2 3 = 1右支于、两点， 为双曲线的 右焦点，且| + | = 16，求的值. 解：设(1,1)，(2,2)，则直线 l： = ( 3).离心率 = 2。4 分 联立 = ( 3) 2 2 3 = 1 得(2 3)2 62 + 92+ 3 = 0

4、 1+ 2= 62 23.8 分 16 = | + | = (21 1) + (22 1) = 2 62 23 2 .12 分 = 3. 16 分。 10.数列满足1= 3，2= 6，+2= +1 2 +9 ( +). （1）证明：数列是正整数数列； （2）是否存在 +，使得2109 ，并说明理由. 证明： （1）已知 3= 15，+2= +1 2 + 9 +1+3= +2 2 + 9 相减得 +3+1 +2 = +2+ +1 +2+ +1 为常数数列。 5 分 +2+ +1 = 3+1 2 =3 +2= 3+1 ，又1,2 ( +) 又 0， +( +) . 10 分 （2）2109 = 3

5、 19 37，假设有2109 ，则19 。. 15 分 法一：由 1= 3，2= 6，+2= 3+1 得 3,6,15,1,7,1,15,6,3,3,6,(mod 19) 19 ( +) 19 法二：+2= +1 2 + 9 +1 2 9(mod 19) 由费马小定理得 1 1(mod 19)，矛盾. 所以不存在 +，使得2109 ，得证. 20 分 11.已知 , 0，2019+ = 1，求证 + 2019 1 1 300. 注：可直接应用以下结论 （1）ln 1( 0)； （2）ln2019 7.610。 证明：设 = 2019，() = + , 0，则 () = + (1 )，0 1.

6、只要证 ()min 1 1 300，因为 (0) = (1) = 1 1 1 300, 所以只要证明：对满足 () = 0的，有 () 1 1 300。. 5 分 令 () = 1 21(1 )1= 0 得 = 2 1， 此时 () = + = + ( + 1) +1 = ( + 1) 1 2 1 +1 = +1 1 1，. 10 分 () 1 1 300 +1 1 1 1 1 300 1 1 1 1 300 +1 ln2019 2018 ln1 1 300 +ln1 1 2020 . 15 分 ln 1 2018 ln1 1 300 +ln1 1 2020 2018 1 300 1 2020 7.7 ln2019 7.61，不等式成立，得证. 20 分