小学数学解题策略(56)-特殊解题方法.doc
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1、小学数学解题策略(56)特殊解题方法56、特殊解题方法【穷举法】 解答某些数学题,可以把问题所涉及到的数量或结论的有限种情况,不重复不遗漏地全部列举出来,以达到解决问题的目的。这种解题方法就是穷举法。例1 从甲地到乙地有A、B、C三条路线,从乙地到丙地有D、E、F、G四条路线。问从甲地经过乙地到达丙地共有多少条路线?(如图328)分析:从甲地到乙地有3条路线,从乙地到丙地有4条路线。从甲地经过乙地到达丙地共有下列不同的路线。解:3412答:共有12条路线。例2 如果一整数,与1、2、3这三个数,通过加减乘除运算(可以添加括号)组成算式,能使结果等于24,那么这个整数就称为可用的。在4、5、6、
2、7、8、9、10、11、12这九个数中,可用的有_个。(1992年小学数学奥林匹克初赛试题)分析:根据题意,用列式计算的方法,把各算式都列举出来。4(123)24 (512)3246(32l)24 73十豆十22483(21)24 931224102l324 1123l2412(312)24通过计算可知,题中所给的9个数与1、2、3都能够组成结果是24的算式。答:可用的数有9个。例3 从0、3、5、7中选出三个数字能排成_个三位数,其中能被5整除的三位数有_个。(1993年全国小学数学竞赛预赛试题)分析:根据题中所给的数字可知:三位数的百位数只能有三种选择:十位数在余下的三个数字中取一个数字,
3、也有3种选择;个位数在余下的两个数字中取一个数字,有2种选择。解:把能排成的三位数穷举如下,数下标有横线的是能被5整除的。305, 307, 350, 357, 370, 375;503, 507, 530, 537, 570, 573;703, 705, 730, 735, 750, 753答:能排成18个三位数,其中能被5整除的有10个数。例4 数一数图330中有多少个大小不同的三角形?分析:为了不重复不遗漏地数出图中有多少个大小不同的三角形,可以把三角形分成A、B、C、D四类。A类:是基本的小三角形,在图中有这样的三角形16个;B类:是由四个小三角形组成的三角形,在图中有这样的三角形7个
4、。6个尖朝上,一个尖朝下。C类:是由九个小三角形组成的三角形,在图中有这样的三角形3个,尖都朝上。D类:是最大的三角形,图中只有1个。解:1673127(个)答:图中有大小不同的三角形共27个。【设数法】 有些数学题涉及的概念易被混淆,解题时把握不定,还有些数学题是要求两个(或几个)数量间的等量关系或者倍数关系,但已知条件却十分抽象,数量关系又很复杂,凭空思索,则不易捉摸。为了使数量关系变得简单明白,可以给题中的某一个未知量适当地设一个具体数值,以利于探索解答问题的规律,正确求得问题的答案。这种方法就是设数法。设数法是假设法的一种特例。给哪一个未知量设数,要便于快速解题。为了使计算简便,数字尽
5、可能小一点。在分数应用题中,所设的数以能被分母整除为好。若单位“ 1”未知,就给单位“1”设具体数值。例1 判断下列各题。(对的打,错的打)(1)除1以外,所有自然数的倒数都小于1。( )(2)正方体的棱长和它的体积成正比例。( )以上各数的倒数都小于1,就能猜测此题的说法是正确的。第(2)小题,给正方体的棱长设数,分析棱长的变化与其体积变化的规律。由上表看出,正方体的棱长扩大2倍,体积扩大8倍;棱长扩大4倍,体积扩大64倍这不符合正比例的含义,就能断定此题的说法是错误的。几分之几?分析:先把女生人数看作单位“1”,假定女生人数为60人。男生人数则为女生人数比男生人数少几分之几,则为解:通过设
6、数分析,理清了数量关系,找到了解题线索,便能顺利地列出综合算式。 分析:这道题似乎条件不够,不知从何下手。不妨根据路程、时间、速度的关系,给从A地去B地的速度设一个具体数值试一试。假设去时每小时走20千米,那么A、B两地的路程就是:沿原路回家的速度则为:回家时所需的时间则为:解:把全路程看作单位“1”。例4 已知甲校学生数是乙校学生数的40,甲校女生数是甲校学生数的30,乙校男生数是乙校学生数的42,那么,两校女生总数占两校学生总数的百分比是_。(1993年小学数学奥林匹克竞赛试题初赛B卷)分析:题中没有给出具体数量,且数量关系错综复杂,不易理清头绪。我们不妨把乙校人数看作单位“ 1”,给乙校
7、学生人数假定一个具体数值,这样就化难为易了。若假定乙校学生为500人,则甲校学生为:50040= 200(人)由甲校女生数是甲校学生数的30,则甲校女生数为:20030=60(人)由乙校男生数是乙校学生数的42,则乙校女生数为:500(1-42)=290(人)两校学生总数为:500200=700(人)两校女生总数为:60290=350(人)则两校女生总数占两校学生总数的百分比为:350700=50解:5004030500(1-42)(500200)=60+290 700=350700=50或4030+(1-42)(140)=50答:两校女生总数是两校学生总数的50。例7 如图3.32,正方形面
8、积为20平方厘米,求阴影部分的面积。分析:一般的解法是先求正方形的边长和圆的半径,再求圆面积,然后用正方形的面积减去圆面积,即得阴影部分的面积。这样算就要用到开平方的知识。如果假设正方形的边长为1,运用小学的知识便能解决这个问题。我们可以先求阴影部分的面积占正方形面积的百分之几,再计算阴影部分的面积。设正方形的边长为1,正方形的面积则为:12=1圆的半径则为:圆面积占正方形面积的百分比为:阴影部分的面积占正方形面积的百分比为1-78.5=21.5由此可知阴影部分的面积为2021.5=4.3(平方厘米)解:设正方形的边长为1,则阴影部分的面积为=2021.5=4.3(平方厘米)答:阴影部分的面积
9、为4.3平方厘米。注意:如果把正方形的边长设为其它数,计算的结果都是相同的。【类比法】类比法是运用类比推理解答问题的一种方法。类比推理是根据两个对象有一部分属性相类似,从而推出这两个对象的其它属性也可能相类似的一种推理方法。类比推理是富于创造性的一种思维方法,在小学数学中有着广泛的应用。例如,分数和比都含有相除的意义,我们根据除法的商不变性质,类推出分数的基本性质和比的基本性质。在解答数学题时,遇到问题A和问题B有许多类似的属性,见到问题B时就会联想到问题A,于是可以用解决问题A的办法去解决问题B,或者用解决问题B的办法去解决问题A。例1 从时针指向3点整开始,经过多少分钟,分针正好与时针重合
10、?分析:此题与追及问题相类似。如果把钟面上1分钟的距离作为1格,则1小时分针走60格,时针走5格。那么分针走1格,经过多少时间分针与时针重合,实质上就是要解决多少时间分针追上时针的问题。例 2 A、B、C、D、E、F、G7个站,每两站间都是相隔 600米。问从A站到G站的路程是多少米?分析:不能简单回答从A站到G站的路程是6007=4200(米)。此题与在不是封闭的线路上要求两端都要植树的问题相类似,把7个站看成7棵树,根据段数比棵树少1的道理解答此题。解:600(7-1)=3600(米)答:从A站到G站的路程是3600米。例3 王老师为学校购买音乐器材。他带去的钱可以买10台手风琴或50把提
11、琴,如果他买了6台手风琴后,把剩下的钱全部买提琴,可以买多少把提琴?分析:题中没有给出王老师带了多少钱,以及提琴和手风琴的单价等条件,怎么能算出剩下的钱可以买多少把提琴呢?可是仔细一想,便可发现此题与工程问题相似。如果把王老师一共带的钱数看作“ 1”,则每台手风琴 =20(把)答:可以买20把提琴。此题还可用解正比例应用题的方法来解答,把题意转化为:“买10台手风琴的钱与买50把提琴的钱相等,买4台手风琴的钱可以买多少把提琴?”解:设可以买x把提琴10(10-6)=50x答:可以买20把提琴。【尝试法】解答某些数学题,可以先根据题意对题目的答案进行猜测,然后把猜测的答案试一试,看这个答案是否符
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