小学数学解题策略（42）-最值规律.doc

1、小学数学解题策略（42）最值规律【积最大的规律】（1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积最大。用字母表示，就是如果a1+a2+an=b（b为一常数），那么，当a1=a2=an时，a1a2an有最大值。例如，a1+a2=10，；1+9=1019=9；2+8=1028=16；3+7=1037=21；4+6=1046=24；4.5+5.5=104.55.5=24.75；5+5=1055=25；5.5+4.5=105.54.5=24.75；9+1=1091=9；由上可见，当a1、a2两数的差越小时，它们的积就越大；只有当它们的差为0，即a1=a2时，它们的积就会变得最大。

2、三个或三个以上的数也是一样的。由于篇幅所限，在此不一一举例。由“积最大规律”，可以推出以下的结论：结论1 所有周长相等的n边形，以正n边形（各角相等，各边也相等的n边形）的面积为最大。例如，当n=4时，周长相等的所有四边形中，以正方形的面积为最大。例题：用长为24厘米的铁丝，围成一个长方形，长宽如何分配时，它的面积为最大？解 设长为a厘米，宽为b厘米，依题意得（a+b）2=24即 a+b=12由积最大规律，得a=b=6（厘米）时，面积最大为66=36（平方厘米）。（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的长方形。）结论2 在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大。例题：用12米长的

3、铁丝焊接成一个长方体，长、宽、高如何分配，它的体积才会最大？解 设长方体的长为a米，宽为b米，高为c米，依题意得（a+b+c）4=12即a+b+c=3由积最大规律，得a=b=c=1（米）时，长方体体积为最大。最大体积为111=1（立方米）。（2）将给定的自然数N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是2或3，并且2至多为两个时，这些自然数的积最大。例如，将自然数8拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积为最大。怎么办呢？我们可将各种拆法详述如下：分拆成8个数，则只能是8个“1”，其积为1。分拆成7个数，则只能是6个“1”，1个“2”，其积为2。分拆成6个数，可得两组数：（1，

4、1，1，1，1，3）；（1，1，1，1，2，2）。它们的积分别是3和4。分拆成5个数，可得三组数：（1，1，1，1，4）；（1，1，1，2，3）；（1，1，2，2，2）。它们的积分别为4，6，8。分拆成4个数，可得5组数：（1，1，1，5）；（1，1，2，4）；（1，1，3，3）；（1，2，2，3）；（2，2，2，2）。它们的积分别为5，8，9，12，16。分拆成3个数，可得5组数：（1，1，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2，2，4）；（2，3，3）。它们的积分别为6，10，12，16，18。分拆成2个数，可得4组数：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。它们的积分别为7，

5、12，15，16。分拆成一个数，就是这个8。从上面可以看出，积最大的是18=332。可见，它符合上面所述规律。用同样的方法，将6、7、14、25分拆成若干个自然数的和，可发现6=3+3时，其积33=9为最大；7=3+2+2时，其积322=12为最大；14=3+3+3+3+2时，其积33332=162为最大；由这些例子可知，上面所述的规律是正确的。【和最小的规律】几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达，就是如果a1a2an=c（c为常数），那么，当a1=a2=an时，a1+a2+an有最小值。例如，a1a2=9，19=91+9=10；33=93+3=6；由上述各式可见，当两数

6、差越小时，它们的和也就越小；当两数差为0时，它们的和为最小。例题：用铁丝围成一个面积为16平方分米的长方形，如何下料，材料最省？解 设长方形长为a分米，宽为b分米，依题意得ab=16。要使材料最省，则长方形周长应最小，即a+b要最小。根据“和最小规律”，取a=b=4（分米）时，即用16分米长的铁丝围成一个正方形，所用的材料为最省。推论 由“和最小规律”可以推出：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。例如，面积均为4平方分米的正方形和圆，正方形的周长为8分米；而的周长小于正方形的周长。【面积变化规律】在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。为0.4336=2.598（平方分米）。方形

7、的面积。推论 由这一面积变化规律，可以推出下面的结论：在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。例如，周长为4分米的正方形面积为1平方分米；而周长为4分米的圆，于和它周长相等的正方形面积。【体积变化规律】在表面积一定的正多面体（各面为正n边形，各面角和各二面角相等的多面体）中，面数越多，体积越大。例如，表面积为8平方厘米的正四面体SABC（如图1.30），它每一个面均为正三角形，每个三角形面积为2平方厘米，它的体积约是1.1697立方厘米。而表面积为8平方厘米长约为1.1546厘米，体积约为1.539立方厘米。显然，正方体体积大于正四面体体积。推论 由这一体积变化规律，可推出如下结论：在表

8、面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。例如，表面积为8平方厘米的正四面体，体积约为1.1697立方米；表面积为8平方厘米的正六面体（正方体），体积约为1.539立方厘米；而表面积是8平方厘米的球，体积却约有2.128立方厘米。可见上面的结论是正确的。【排序不等式】 对于两个有序数组：a1a2an 及b1b2bn，则a1b1+a2b2+anb抇n（同序）Ta1b抇1+a2b抇2+anb抇n（乱序）a1bn+a2bn-1+anb1（倒序）（其中b抇1、b抇2、b抇n为b1、b2、bn的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且仅当a1=a2=an，或b1=b2=bn时，式中等号成立。）由这一不等

9、式可知，同序积之和为最大，倒序积之和为最小。例题：设有10个人各拿一只水桶，同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二、九、十个人的桶，分别需要1、2、3、9、10分钟。问：如何安排这10个人的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少？这个总费时至少是多少分钟？解 设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1，2，3，9，10。打水时，等候的人数为第二个有序数组，等候时间最长的人数排前，这样组成1，2，3，9，10。根据排序不等式，最小积的和为倒序，即110+29+38+47+56+65+74+83+92+101=（110+29+38+47+56）2=（10+18+24+28+30）2=220（分钟）其排队顺序应为：根据注满一桶水所需时间的多少，按从少到多的排法。10