小学数学解题策略（22）-两差法.doc

1、小学数学解题策略（22）两差法第二十二讲 两差法解应用题时，首先确定一个标准数（即1倍数），再根据已知的两数差与倍数差，用除法求出1倍数，然后以此为基础，用乘法求出另一个数的解题方法，叫做两差法。用两差法一般是解答差倍问题。 差倍问题的数量关系是：两数差倍数差=1倍数1倍数倍数=几倍数较小数+两数差=较大数例1 某厂女职工人数是男职工人数的6倍，男职工比女职工少65人。这个厂男女职工共有多少人？（适于四年级程度）解：根据“人数差倍数差=1倍数”，有：65（6-1）=13（人）那么，这个厂男女职工共有的人数是：13（6+1）=91（人）答略。例2 小李买3本日记本，小华买同样的8本日记本，比小李

2、多用2.75元。小李、小华两人分别用去多少钱？（适于五年级程度）解：小华比小李多用2.75元（总价差），是因为小华比小李多买（8-3）本（数量差）日记本，用这两个差求出每本日记本的价钱。小李用的钱数是：0.553=1.65（元）小华的钱数是：0.558=4.40（元）答略。例3 甲、乙两数的差是28，甲数是乙数的3倍。问甲乙两数各是多少？（适于四年级程度）解：甲-乙=28，甲是乙的3倍，那么乙就是1倍数，28所对应的倍数是3-1=2（倍），则乙数可以求出。解法是：28（3-1）=14乙数143=42甲数答：甲数是42，乙数是14。例4 一个植树小组植树。如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7

3、棵，就缺4棵。这个植树小组有多少人？一共有多少棵树苗？（适于五年级程度）解：把题中的条件简要摘录如下： 每人5棵 剩14棵 每人7棵 缺4棵比较两次分配的情况可看出，由于第二次比第一次每人多栽（7-5）棵，一共要多栽（14+4）棵树。根据两次每人栽的棵数差和所栽总棵数的差，可求出植树小组的人数，然后再求出原有树苗的棵数。（14+4）（7-5）=9（人）人数59+14=59（棵）棵数答略。例5 用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进3杯水，连瓶共重440克；如果倒进5杯水，连瓶共重600克。一杯水和一个空瓶各重多少克？（适于五年级程度）解：解这类题，要先找出“暗差”的等量关系，再找解题的最佳方法。

4、这道题的“暗差”有两个：一个是5-3=2（杯），另一个是600-440=160（克）。这里两个暗差的等量关系是：2杯水的重量=160克。这样就能很容易求出一杯水的重量：1602=80（克）一个空瓶的重量：440-803=200（克）答略。*例6 甲从西村到东村，每小时步行4千米。3.5小时后，乙因有急事，从西村出发骑自行车去追甲，每小时行9千米。问乙需要几小时才能追上甲？（适于高年级程度）解：乙出发时，甲已经行了（43.5）千米，乙每行1小时便可比甲每小时多行（9-4）千米，那么（43.5）千米中含有几个（9-4）千米，乙追上甲就需要多少个小时。所以：答：乙需2.8小时才能追上甲。例6是典型的

5、“追及问题”。由此可知，追及问题也可以利用两差法来解答。*例7 某电风扇厂生产一批电风扇。原计划每天生产120台电风扇，实际每天比原计划多生产30台，结果提前12天完成任务。这批电风扇的生产任务是多少台？（适于高年级程度）解：在同样的时间（计划天数）里，实际比原计划多生产电风扇的台数是：（120+30）12。因为实际每天比原计划多生产30台，因此：计划完成任务的天数是60天，那么这批电风扇的生产任务就是：12060=7200（台）答略。*例8 甲每小时走5千米，乙每小时走4千米，两人同走一段路，甲比乙少用了3小时。问这段路长多少千米？（适于五年级程度）解：解答这道题应从“差异”入手。因为凡是发

6、生差异必定有它的道理。题中的差异是“甲比乙少用了3小时”，抓住它作如下追问，即可发现解题途径。为什么会“甲比乙少用了3小时”？因为甲比乙的速度快。（1）在3个小时里甲比乙多走多少千米的路呢？在3小时里甲比乙正好多走：43=12（千米）（2）甲每小时可以追上乙多少千米呢？5-4=1（千米）（3）走完这12千米的差数甲要走几小时呢？121=12（小时）（4）这段路长多少千米？512=60（千米）综合算式：543（5-4）=5121=512=60（千米）答略。解：此题是“差倍”问题的变形。答略。两堆煤原来各有多少吨？（适于六年级程度）解：这里已知两堆煤的总数和运走的总数，不知道两堆煤在总数中占多大比

7、率，也无法把运走的煤分为甲堆运走的和乙堆运走的。虽然知道甲堆运知道，无法发生联系，因此这两个分率无法参加运算。本题的难点在于两堆煤运走的分率不同，若分率相同，分析就会有所进展。然后再看假设引出了什么差异。已知条件告诉我们共运走180吨，与方才算得的162吨相差180-162=18（吨），为什么会产生这18吨的差异呢？270-120=150（吨）甲堆答略。*例11 祖父给兄弟二人同样数目的零花钱，祖母给了哥哥1100日元，给了弟弟550日元，这样兄弟二人所得到的零花钱数的比为75。求祖父给兄弟二人的钱数都是多少日元？（适于六年级程度）解：因为祖父给兄弟二人的钱数相同，所以祖母给兄弟二人的钱数之差

8、，就是他们分别得到的所有零花钱钱数之差。1100-550=550（日元）由兄弟二人所得到的零花钱钱数的比为75可知，把哥哥的钱看成是7份的话，弟弟的钱数就是5份，它们相差：7-5=2（份）所以，每一份的钱数是：5502=275（日元）哥哥有零花钱：2757=1925（日元）其中祖父给的是：1925-1100=825（日元）答：祖父给兄弟二人的钱都是825日元。*例12 一位牧羊人赶着一群羊走过来，小明问他：“你的羊群里有山羊、绵羊各几只？”牧羊人说：“山羊的只数加上99只就是绵羊的只数，绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍，你去算吧。”请你帮助小明算一算。（适于五年级程度）解：由“山羊的只数加上

9、99只就是绵羊的只数”知道，绵羊比山羊多99只。由“绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍”知道，绵羊的只数加上99只后，绵羊的只数比山羊多（99+99）只。此时，如果把山羊只数看作1倍，绵羊只数就是3倍，比山羊多（3-1）倍，这（3-1）倍正好是（99+99）只（图22-1）。用除法可以求出1倍数（山羊只数），再用加法就可以求出绵羊只数。（99+99）（3-1）=1982=99（只）山羊只数99+99=198（只）绵羊只数答略。*例13 某工厂有大、小两个车间。如果从小车间调10人到大车间，则大车间的人数是小车间的3倍；如果从大车间调30人到小车间，则两个车间的人数相等。求大、小两个车间各有多少

10、人？（适于高年级程度）解：根据“如果从大车间调30人到小车间，则两个车间的人数相等”知道，大车间比小车间多302人；根据“如果从小车间调10人到大车间，则大车间的人数是小车间的3倍”知道，这样调动后，大车间比小车间多（302+102）人。把调动后小车间的人数看作1倍数，则大车间的人数就是3倍数，比小车间的人数多（3-1）倍数，这（3-1）倍数正好是（302+102）人。用除法可以求出1倍数（调动后，小车间人数），加上10就得小车间原有人数。（302+102）（3-1）+10=8024+10=50（人）（小车间原有人数）50+302=110（人）（大车间原有人数）答略。在差倍问题中，有一类比较特

11、殊，这就是年龄问题。年龄问题一般用差倍问题的解题思路、计算公式来分析、解答。但要注意年龄问题所单独具有的“定差”特点，即大、小两个年龄，相当于大、小两个数，无论现在、过去、将来，这两个年龄的差不变。抓住这个特点，再利用差倍问题的数量关系和解题方法，便可解答年龄问题。*例14 今年哥哥18岁，弟弟8岁。问几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍？（适于高年级程度）解：作图22-2。哥哥和弟弟年龄之差（18-8）岁始终不变。把几年前弟弟的年龄看作1倍数，哥哥的年龄就是3倍数，比弟弟多（3-1）倍数，这（3-1）倍数正好对应于（18-8）岁。用除法可以求出1倍数，就是几年前弟弟的年龄，再用减法便可求出几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍。8-（18-8）（3-1）=3（年）答略。*例15 今年父亲40岁，儿子4岁。问几年后父亲的年龄是儿子的4倍？（适于高年级程度）解：作图22-3。父子年龄之差（40-4）岁始终不变。把几年后儿子的年龄看作1倍数，父亲的年龄就是4倍数，比儿子多（4-1）=3倍数，这（4-1）倍数正好对应于（40-4）岁。用除法可求出1倍数，即几年后儿子的年龄，再用减法便可求出几年后父亲的年龄是儿子的4倍。（40-4）（4-1）-4=363-4=8（年）答略。13