广东省六校联盟2023届高三上学期第二次联考数学试卷及答案.pdf

1、 广东六校联盟广东六校联盟 2023 届高三第二次联考届高三第二次联考 数数 学学 本试卷共本试卷共 4 页，页，22 小题，满分小题，满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔威签字笔将自己的姓名和考生号，考场号，座位号填答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔威签字笔将自己的姓名和考生号，考场号，座位号填写在答题卡上写在答题卡上.并用并用 2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.2.选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目

2、选项的答案信息点涂黑，如需改铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按不按以上要求作答的答案无效以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只

3、需将答题卡交回考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.一、单选题：本题共一、单选题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题的四个选项中，只有一项符合分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，题目要求，1.若|24xAx=，|13Bxx=N，则AB=（）A.|12xx B.01，C.1 D.|13xx 【答案】B【解析】【分析】解不等式求出集合A，列举法写出集合B，由交集的定义求AB即可.【详解】由24x，得2x，所以|2Axx=,又0,1,2B=所以01AB，=故选 B 2.若,Ra b且0ab，则“1ab”是“ab”的（）A.充分不必要

4、条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】若1,1ab=，满足1ab，排除充分性，若2,1ab=，满足ab，排除必要性，故选：D 3.已知函数1,(1)()(2)3,(1)xaxf xaxa x=+，满足对任意12xx，都有1212()()0f xf xxx成立，则 a 的取值范围是（）A.(0,1)B.3,14 C.30,4 D.3,24【答案】C【解析】【分析】分段函数单调递减，则每一段分段图象均单调递减，且整体也是单调递减.【详解】由对任意12xx，都有1212()()0f xf xxx成立可得

5、，()f x在R上单调递减，所以1 10120(2)1 3aaaaa+，解得304a的解集为（）A.()()33,log 2log 2,+B.3(log 2,)+C.3(,log 2)D.33(log 2,log 2)【答案】B【解析】【分析】由题意，作出函数()f x简图，数形结合列指数不等式，并求解.【详解】()f x是定义在R上的偶函数，()f x在)0+,上是增函数，且()20f=，作出函数()f x的简图，如图所示，则(3)0 xf时，332log 2xx，或32xx的解集为3(log 2,)+.故选：B 5.若tan2=，则()sin1 sin22sin4=（）A.25 B.25

6、C.65 D.65【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换与同角三角函数关系，一步步化简为只含tan的式子再代入即可解出答案.【详解】()sin1 sin22sin4，()sin1 2sincossincos=，()22sinsincos2sincossincos+=，()2sinsincossincos=，()sinsincos=，2sinsincos=，222sinsincossincos=+，22tantantan1=+，tan2=，()()()()222222tantansin1 sin22sin614tan521=+，故选：C.6.已知函数()()2sin0,2f xx=+，其图象

7、相邻的最高点之间的距离为，将函数()yf x=的图象向左平移12个单位长度后得到函数()g x的图象，且()g x为奇函数，则（）A.()f x的图象关于点,06对称 B.()f x的图象关于点,06对称 C.()f x在,6 3 上单调递增 D.()f x在2,36上单调递增【答案】C【解析】【分析】根据函数()f x图象相邻的最高点之间的距离为，得到T=，易得()()2sin 2f xx=+.将函数()yf x=的图象向左平移12个单位长度后，可得()2sin 26g xx+=，再根据()g x是奇函数，得到()2sin 26f xx=，然后逐项验证即可.【详解】因为函数()f x图象相邻

8、的最高点之间的距离为，所以其最小正周期为T=，则22T=.所以()()2sin 2f xx=+.将函数()yf x=的图象向左平移12个单位长度后，可得()2sin 22sin 2126xxg x+=+=的图象，又因为()g x是奇函数，令()6kkZ+=，所以()6kk=Z.又2 B.0.80.60.60.8 D.0.60.8log0.60.8【答案】BC【解析】【分析】根据指对幂函数的单调性结合中间量即可比较，结合选项即可得结果【详解】解：函数0.8yx=，在(0,)+上单调递增，0.80.80.60.8，故 A错误；函数0.6xy=，在R上单调递减，0.80.60.60.6，函数0.6y

9、x=，在(0,)+上单调递增，0.60.60.60.8，0.80.60.60.8=，故 C 正确；00.60.80.8log0.61og0.810.80.8=，故 D错误，故选：BC 10.已知0ab，2ab+=，则（）A.ab+的最大值是94 B.122+ab的最小值是4 2 C.sin2+ba【答案】BC【解析】【分析】求得012ba，利用二次函数的基本性质可判断 A选项的正误；利用基本不等式可判断B选项的正误；构造函数()2sinf xxx=+，其中01x，利用函数的单调性可判断 C选项的正误；构造函数()2lng xxx=+，其中12x，22abb+=，所以，01b，()21,2ab=

10、，所以，012ba.对于 A选项，21992244abaaa+=+=+，A 选项错误；对于 B选项，由基本不等式可得1113222 222 22 24 2ababa b+=，当且仅当3212ab=时，等号成立，即122+ab的最小值是4 2，B 选项正确；对于 C选项，sin2sinabbb+=+，令()2sinf xxx=+，其中01x，则()cos10fxx=，所以，函数()f x在区间()0,1上单调递减，因为01b，所以，()()02f bf=，即sin2sin2abbb+=+，C 选项正确；对于 D选项，ln2lnbaaa+=+，构造函数()2lng xxx=+，其中12x，则()1

11、110 xgxxx=，所以，函数()g x在区间()1,2上为减函数，12b，()()11g bg=，即ln2ln1baaa+=+，当(,)3x时，()0fx，若()1kf xx+恒成立，则满足条件的正整数 k可能是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】AB【解析】【分析】将()1kf xx+转化为()()1ln11xkxx+时，()1kf xx+恒成立，即()()1ln11xkxx+，则()minkgx，则()11011xh xxx=+，故()h x在()0,+上单调递增，又因为()()22 1 ln 121 ln30h=+=，所以()h x在()2,3上存在零点0 x，且()001ln

12、 1xx=+，所以当00 xx时，()0h x，即()0g x时，()0h x，即()0g x，()g x单调递增；故()()()()00min0000001 ln111(1)11xxgxg xxxxxx+=+=+=+，因为023x，故0314x+，所以由()minkgx，0b，直线yxa=+与曲线1e21xyb=+相切，则21ab+的最小值为_.【答案】8【解析】【分析】设直线yxa=+与曲线121xyeb=+相切于点()00,xy，根据导数的几何意义先求出0 x，进而得到关系21ab+=，再由均值不等式可得出答案.【详解】设直线yxa=+与曲线121xyeb=+相切于点()00,xy 由函

13、数121xyeb=+的导函数为1xye=，则001|e1xx xky=解得01x=所以0122yab=+=，即21ab+=则()21214424428babaababababab+=+=+=当且仅当4baab=，即11,24ab=时取得等号.故答案为：8 16.已知函数()2lnf xx=，直线 l的方程为2yx=+，过函数()f x上任意一点 P 作与 l夹角为30的直线，交 l于点 A，则PA的最小值为_.【答案】()2 2 2ln2【解析】【分析】利用已知将PA转化为点 P到直线 l的距离为 d，即可得出当过点 P的()f x的切线与直线 l平行时，点 P 到直线 l的距离最小，再通过求

14、导，令导数等于直线 l的斜率，即可得出点 P的坐标，再通过点到直线的距离得出 d，即可代入PA与 d 的关系式得出答案.【详解】设点 P到直线 l的距离为 d，点 P 作与 l夹角为30，1sin302dPA=，即2PAd=，要使PA最小，只需 d最小即可，则当过点 P的()f x的切线与直线 l平行时，点 P到直线 l的距离最小，即 d最小，设()00,2lnP xx，求导得()2fxx=，即021x=时 d 最小，此时02x=，()2,2ln2P，则()min22ln222 2ln21 1d+=+，则()minmin22 2 2ln2PAd=，故答案为：()2 2 2ln2.四、解答题：本

15、题共四、解答题：本题共 6小题，第小题，第 17 题题 10分，第分，第122=B题各题各 12 分，共分，共 70 分，解答应写出文分，解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤.17.设函数2()(3)3,f xxaxa a=+R.（1）解关于 x的不等式()0f x；（2）当4,)x+时，不等式()9f x 恒成立，求 a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析 （2）9a a 【解析】【分析】（1）对 a分类讨论：当3a 时.分别求出对应的解集；（2）利用分离参数法得到93axx+，再利用基本不等式求出93xx+的最小值，即可求出 a的取值范围.【小问 1 详解】

16、()(3)()f xxxa=当3a 时，不等式()0f x 的解集为(,3)a，当3a=时，不等式()0f x 时，不等式()0f x 的解集为(3,)a.【小问 2 详解】()(3)()f xxxa=因为4,)x+，所以由()9f x 可化为：99,33xaaxxx+，因999332(3)39333xxxxxx+=+=（当且仅当933xx=，即6x=时等号成立），所以9a.所以 a 的取值范围为9a a.18.如图，在四边形ABCD中，1sincos364BDADAA+=，（1）求角A的值；（2）若3,3ABAD=，1,2CDCCBD=，求四边形ABCD的面积 为【答案】（1）6A=；（2）

17、5 34【解析】【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式化简得31cos22A+=，再判断得33723A+，结合BDAD，即可求解得6A=；（2）由余弦定理求解得3BD=，再由正弦定理以及2CCBD=，可得3cos2CBD=，从而解得,32CCDB=，然后计算ABD和BCD面积和即可.【小问 1 详解】2sincoscoscos3636AAAA+=+2cos211coscos13243262AAA+=+=，因为0A，得72333A+，2323A+=或4323A+=，解得6A=或2A=，因为BDAD，得2A，6A=【小问 2 详解】在ABD中，()223323 3cos36BD=+=，在BCD中，

18、13sin3sinsinsinCCBDCBDC=，2CCBD=2sincos3sinCBDCBDCBD=，03CBD 的解集.【答案】（1）极大值为5ln24，极小值为2.（2）300e|2xx 【解析】【分析】(1)直接利用导函数求极值即可；(2)首先结合已知条件得到20032axx=，然后求解不等式即可.【小问 1 详解】由题意可知，()f x定义域为(0,)+，223()23axxafxxxx+=+=，当1a=时，2231(21)(1)()xxxxfxxx+=，则1()002fxx；1()012fxx，10 x，从而由韦达定理可知，01002ax xa=，即0003(32)02axxx=

19、，从而222000000000(2)ln2463(32)(32)ln2afxaxxxxxxxx=+，因为200320axx=，的【故关于0 x的不等式()02afx的解集为300e|2xx.20.已知ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，面积为 S，满足()221sin3SabC=.（1）证明sin2sinAB=（2）求所有正整数 k，m的值，使得cmb=和tantanAkC=同时成立【答案】（1）证明见解析；（2）1,2km=【解析】【分析】（1）由()221sin3SabC=结合已知条件得，222320aabb=，进而得到20ab=，再利用正弦定理边化角即可求解；（2）由tan

20、tanAkC=得，sinsincoscosACkAC=,再利用正余弦定理化简得 ()222222abck bca+=+，结合条件得()2222222244bbm bk bm bb+=+，即 2231mk=+，再分析求解即可.【小问 1 详解】因为()2211sinsin32SabCabC=，所以222320aabb=，即()()220abab+=，因为0,0ab，所以20ab=，即2ab=，由正弦定理得2 sin2 2 sinRARB=，其中R为ABC的外接圆半径，所以sin2sinAB=.【小问 2 详解】由tantanAkC=，可知sinsincoscosACkAC=，则由正、余弦定理得到

21、22222222akcbcaabcbcab=+，化简得()222222abck bca+=+，因为cmb=，2ab=，所以()2222222244bbm bk bm bb+=+，即2352311kmkk+=+，因为,k m均为正整数，所以由21k+可知1k+为 2的正整数因式 1或 2，故1k=，所以22341 1m=+=+，即2m=，所以1,2km=.21.某同学用“五点法”画函数()()sin0,0,2f xAxB A=+两种情况讨论，求出()t的最大值即可求解.【小问 1 详解】解：由题意，331327332ABAB+=+=+=+=，解得,3,023,AB=，所以()3sin23f xx

22、=+，123x=；【小问 2 详解】解：因为函数()f x的图象向右平移23个单位得到()g x的图象，所以2()3sin3sin2332g xxx=+=，所以若总存在0,2x，使得23sin3()22xm g xm+成立即为总存在0,2x，使得23sin3sin2022xxmm成立，设sin2xt=，则0,1t，且23320tmtm在0,1有解，令()2332ttmtm=，0,1t，当122m，即1m 时，()()max11 40tm=，所以14m；当122m，即1m 时，()()max020tm=，所以2m ，与1m 相矛盾，舍去.综上，14m.22.已知函数2()e,()esinxxf

23、xaxg xxax=，其中aR（1）若0a，证明 f（x）在(0,)+上存在唯一的零点.（2）若1ea【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】(1)依题意转化为2exax=有唯一解即可;(2)利用等量替换，放缩转化为3111222236621111e(e)exxxxaxxxx=即可证明.【小问 1 详解】令()0f x=,即20exax=,即2exax=,令22(),()e(e2),xxh xh xxxxa=+因为,()0 x+,所以()0h x恒成立,所以()h x在,()0 x+单调递增,且()()00,()ee1aahahaaaa=,即()0ha，由零点存在性定理知,()0 x

24、+时,()h x存在唯一零点,所以,()0 x+时方程2exax=有唯一解,所以 f（x）在(0,)+上存在唯一的零点.【小问 2 详解】由()esinxg xxax=，得()(1)ecosxg xxax=+，令(1)ecos,(2)()esin),(xxmxaxxxaxxm+=+=当(0,)x时，(2)e)0(sinxxxaxm+=恒成立，所以函数()m x在(0,)上单调递增，且(0)10,ma=，所以存唯一0(0,1)x，使得0()0m x=，所以()g x在0(0,)x单调递减，0(,)x单调递增，0(0)0,()(0)0,()e0gg xgg=，所以存在唯一的2(0,)x，使得2()

25、0g x=，从而()g x在(0,)上有唯一的零点2x.由题可知，1211()exf xax=，得121exax=，1(0,)x+，2222()esinxg xxax=，得222esinxxax=，2(0,)x+令()sin,()1 cos,xxxxx=当(0,)x时，()1 cos0 xx=恒成立，在 所以()sinxxx=在(0,)x上单调递增，则()sin(0)0 xxx=，即sinxx恒成立,又因为(0,)x时，sin0,x 所以1sinxx，因为2(0,)x所以2222eesinxxxax=，令()ext xa=在,()0 x+上单调递增，(0)0,ln(1)10tata=，所以xea=有唯一解3x，即3exa=，所以23222eeesinxxxxax=，即32xx，所以要证1232xx，只用证1332xx，由1321eexxaxa=得，133361eexxaxa=，得3111222236621111e(e)exxxxaxxxx=，令e()=,(0,)xxxx+，2(1)e()=xxxx，令()0 x解得1,x 令()0 x解得01x,得证.【点睛】利用放缩,等量替换将多元转化为单元函数进行证明是不等式证明的常用方法.