湖北省二十一所重点中学2023届高三第三次联考数学试卷及答案.pdf

1、绝密#启用前2023 届湖北省二十一所重点中学高三第三次联考数学本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 A=x R|1 x 2,B=x R|x2/A.则 A B=A.2,2B.(2,2C.1,2D.1,2)2.设复数 z 满足|z 1|=2|Im z|,则 z 在复平面上对应的点的轨迹为A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线3.若 sin=cos3,则 tan3+tan=A.12B.12C.1D.24.已知,代表不同的平面,l1,l2代表不同

2、的直线,则下列说法中正确的是A.若,l1,则 l1B.若 l1/,l2/,则 l1/l2C.若 /,l1,l2,则 l1/l2D.若,l1,l2,则 l1l25.设抛物线 C1:y2=2px(p 0)的焦点为 F(1,0),点 P(2,2).已知以点 F,P 为焦点的椭圆 C2与抛物线 C1有公共点,则该椭圆的离心率的最大值为A.22B.23C.53D.526.图 1 是一个不倒翁模型,它是一种古老的中国儿童玩具,最早记载出现于唐代,一经触动就摇摆然后恢复直立状态.如图 2,将图 1 的模型抽象成一个正圆锥和半球的组合体.已知半球的密度是圆锥的 2 倍,已知要让半球质量不小于圆锥质量,才能使它

3、在一定角度范围内“不倒”,则圆锥的高和底面半径之比至多为图 1图 2高三数学试题 第 1 页（共 4 页）A.12B.1C.2D.47.将曲线(x+y)(x2y+1)+1=0 的图像画在坐标轴上,再把坐标轴擦去(x 轴水平向右,y 轴竖直向上),得到的图像最有可能为ABCD8.若实数 M 满足:对每个满足 an+1=a2n 2 的不为常数的数列 an,存在 k N,使得ak M,则 M 的最大值为A.1B.1 52C.1+52D.2二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的

4、得 2 分，有选错的得 0 分。9.已知 a,b R,4a=b2=9,则 2ab的值可能为A.83B.38C.24D.12410.已知 a b,c d,eaa+1=ebb+1=1.01,(1 c)ec=(1 d)ed=0.99,则A.a+b 0B.c+d 0C.a+d 0D.b+c 011.已知(x+2)6=6i=0aixi,则A.a1+a2+a3+a4+a5+a6=666B.a3=20C.a1+a3+a5 a2+a4+a6D.a1+2a0=a3+2a4+3a5+4a612.已知 a=0,a,b R.设命题 p:过点(1,1)恰可作一条关于 y=ax3+bx 的切线.以下为命题 p 的充分条件

5、的有A.b+a=1B.b a=1C.a=ebD.b=ea三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.圆 x2+y2 2x+3y 3=0 的直径为L.14.请写出一个满足以下条件的函数 f(x)的解析式L.xf(x)为偶函数;y 当 x 0 时,lnx f(x)xe.15.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时,他在他的著作算术研究中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学、密码学高三数学试题 第 2 页（共 4 页）以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数 a,n(n 2),若存在一个整数x,使得 n 整除 x2 a,则

6、称 a 是 n 的一个二次剩余,否则为二次非剩余.从 1 到 20 这 20个整数中随机抽取一个整数 a,记事件 A=“a 与 12 互质”,B=“a 是 12 的二次非剩余”,则P(A)=L.;P(B|A)=L.16.已知 e 为平面单位向量,平面向量 a 满足|a e|+2|a+e|=4,则(a e)(a+e)|a+e|的最小值为L,最大值为L.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(10 分)已知等差数列 an 的首项 a1 0,记数列 an 的前 n 项和为 Sn(n N),且数列 Sn为等差数列.(1)证明:数列Snn2为常数列;(

7、2)设数列a1Snanan+1的前 n 项和为 Tn(n N),求 Tn 的通项公式.18.(12 分)设 ABC 的内心为点 I,AI 与 ABC 的外接圆的另一交点为点 D.(1)证明:BD=ID;(2)若 AI ID=BC BD,且 ABC 的三边成等差数列,求 cosA.19.(12 分)随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的.切比雪夫在数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面均有所建树,他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式:设 X 为离散型随机变量,则 P(|X E(X)|)D(X)2,其中 为任意大于 0 的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量

8、 X 的分布未知的情况下,对事件|X|的概率作出估计.(1)证明离散型切比雪夫不等式;(2)应用以上结论,回答下面问题:已知正整数 n 5.在一次抽奖游戏中,有 n 个不透明的箱子依次编号为 1,2,n,编号为 i(1 i n)的箱子中装有编号为 0,1,i 的 i+1 个大小、质地均相同的小球.主持人邀请 n 位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球,记从编号为 i 的箱子中抽取的小球高三数学试题 第 3 页（共 4 页）号码为 Xi,并记 X=ni=1Xii.对任意的 n,是否总能保证 P(X 0.1n)0.01(假设嘉宾和箱子数能任意多)?并证明你的结论.附:可能用到的公式(数学期望的线性性质)

9、:对于离散型随机变量 X,X1,X2,Xn满足 X=ni=1Xi,则有 E(X)=ni=1E(Xi).20.(12 分)如图,在几何体 ABCDE 中,底面 ABC 为以 AC 为斜边的等腰直角三角形.已知平面 ABC 平面 ACD,平面ABC 平面 BCE,DE/平面 ABC,ADDE.(1)证明:DE 平面 ACD;(2)若 AC=2CD=2,设 M 为棱 BE 的中点,求当几何体 ABCDE 的体积取最大值时 AM 与 CD 所成角的正切值.ABCDE21.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 M(2,0),N(2,0).点 A 满足|AM|AN|=23,记点 A 的轨迹为

10、C.(1)求 C 的方程;(2)设点 T 与点 A 关于原点 O 对称,MTN 的角平分线为直线 l,过点 A 作 l 的垂线,垂足为 H,与 C 交于另一点 B,求|AH|BH|的最大值.22.(12 分)设函数 f(x)=ax+b(a 0),g(x)=ex,h(x)=f(x)g(x),h(x)的极大值点为 x=0.(1)求 b;(2)若曲线 y=f(x),y=g(x)上分别存在两点 A、C,B、D,使得四边形 ABCD 为边平行于坐标轴的矩形,求 a 的取值范围.高三数学试题 第 4 页（共 4 页）2023 届湖北省二十一所重点中学高三第三次联考参考答案及评分细则数学一、选择题：每小题

11、5 分，共 40 分。12345678BACDCDBC7.答案 B【解析】当 x 趋于无穷时,曲线无限趋于 x+y=0,x 2y+1=0,由斜率关系,排除 C,D.由(x+y)(x 2y+1)0,排除 A,故选 B.8.答案 C【解析】令 a1=1+52,则 a2k1=1+52,a2k=1 52(k N).故 M 1+52.下证当 M=1+52时满足条件.x 存在 ak1+52,已经成立;y 存在 ak1 52,则 ak+11+52,成立;z 存在1 52 ak1+52,则 ak+11 52,成立.假设存在 a1,使得对每个 n,an(1 52,1 52),设|a1+1|=t 0.则|an+1

12、|=|an1 1|an1+1|32|an1+1|?32?n1t.令 n log32 1+52t!+1,则|an+1|1+52,矛盾.故总存在 ak,满足x,y,z其中之一.注:M 值的得到可以从二阶不动点的角度考虑,也可以从选项出发考虑.二、选择题：每小题 5 分，共 20 分。9101112BCADBCDBD三、填空题：每小题 5 分，共 20 分。13.514.答案不唯一,如 f(x)=eln|x|+|x|2e,x=0,0,x=0.高三数学试题参考答案 第 1 页（共 5 页）15.720,34(第一空 2 分,第二空 3 分)16.8 215,83(第一空 2 分,第二空 3 分)16.

13、答案 8 215,83【解析】设 x=|a e|,y=|a e|.由余弦定理,(a e)(a+e)|a+e|=x2+y2 42y.将表达式齐次化,原式=x2+y2(x2+y)2y(x2+y).当 x=0 时,原式=0,当 x 0 时,由三角不等式,记 k=yx 14,+),令 t=34 k (,12 原式=tt2+1516 2t.当 t (0,12,则原式=1t 2+1516t(0,83;当 t=0,原式=0;当 t (,0),原式=1t+1516t 2 8 215,0).综上,(a e)(a+e)|a+e|的最小值为 8 215,最大值为83.四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。1

14、7.(10 分)(1)设Sn=a1+(n 1)d(d 0),an=Sn Sn1=(2n 3)d2+2a1d(n 2).(2 分)故 an 的公差为 2d2,则 a1=d2+sa1d 2d2,即a1=d.则 Sn=a1n2,Snn2=a1为常数.(5 分)(2)由(1),an=Sn Sn1=(2n 1)a1(n 2),对 n=1 也成立.a1Snanan+1=n2(2n 1)(2n+1)=14+18?12n 112n+1?.(8 分)故 Tn=nPi=1?14+18?12n 112n+1?=2n+1818(2n+1).(10 分)18.(12 分)(1)由 BID=ABI+BAD=IBD+DBC

15、=IBD,BD=ID.(3 分)(2)设角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,ABC 内切圆半径为 r.则 AI=rsinA2,由条件,rIDsinA=aBDcosA2,故 2r=asinA.(5 分)又 ABC 面积=bcsinA2=r(a+b+c)2,sinA 0,得2bca+b+c=a.(7 分)若 a+b=2c,代入上式得 a:b:c=4:5:6.由余弦定理,cosA=52+62 42256=34,符合题意;(9 分)高三数学试题参考答案 第 2 页（共 5 页）若 a+c=2b,则由 b 与 c 对称,与上面相同;若 b+c=2a,则 2bc=3a2=3?b+c2?2 3bc,则

16、 bc 0,不符合题意.综上,cosA 的值为34.(12 分)19.(12 分)(1)设 X 的所有可能取值为 x1,x2,xn,X 取 xi的概率为 pi(1 i n).由定义,D(X)=P|xiE(X)|?xi E(X)?2pi+P|xiE(X)|?xi E(X)?2pi(2 分)P|xiE(X)|?xi E(X)?2pi 2P|xiE(X)|pi=2P(|X E(X)|),整理即得所需证明不等式.(4 分)(2)由参考公式,E(X)=E?nPi=1E(Xi)i?=nPi=1E(Xi)i=n2.(5 分)故 D(X)=E(X E(X)2)=E?nPi=1(Xii12)2?=nPi=1E(

17、Xii12)2)+2P1ijnE(Xii12)E(Xjj12)=nPi=1E(Xii12)2)=nPi=1D(Xii),用到 E(Xii12)=0(1 i n).(8 分)而 D(Xii)=iPj=0?ji12?2i+114,故 D(X)n4.(10 分)当 n=160 时,P(X 0.1n)P(|X n2|0.4n)n40.16n2 0).(方程 1 分,x 取值范围 1 分,共 2 分)(2)由对称性,不妨点 A 在第一象限,设 A(x0,y0),则 T(x0,y0),设 l 斜率为 k.记 a=(1,k),由 l 为 MTN 的角平分线,TMa|TM|=TNa|TN|.由|TM|=233

18、x03,|TN|=233x0+3,TM=(x0 2,y0),TN=(x0+2,y0),带入并化简得:x0=3ky0,从而 A(3k3k2 1,13k2 1),l:y=kx+3k2 1,k 33.(5 分)故|AH|=?3k2 13k2 1+3k2 1?k2+1=23k2 1k2+1.(6 分)由 AB 的斜率为 1k,AB:x=ky+4k3k2 1.设 A(x1,y1),B(x2,y2),与 C 方程联立,得:(k2 3)y28k23k2 1y+7k2+33k2 1=0,由 x1,x2 0,8k2k2 3 5,即 k b).当 h(x)在(b,12 b)上递增,在(12 b,+)上递减.(2

19、分)故12 b=0,即 b=12.(4 分)(2)由题意,存在 x1 x2,f(x1)=g(x2),f(x2)=g(x1).令 F(x)=f2(x)g2(x),则 F(12)=e 0,由 F(x)在?12,+?上递增,F(x)在?12,+?上存在唯一零点 x0.(6 分)由题意,x1 x0 0,即 12x0+1+2(x0+1)0,也即 x0 0.这等价于 F(0)0,即 0 a 2.此时,在(0,a2(x0+12)上存在 n,(x)在(n,a2(x0+12)上递增,故(n)0,故由零点存在定理,(t)在(0,a2(x0+12)上存在零点,满足条件.(10 分)(ii)若(a2(x0+b)0,即 a 2,也即 x0 0.令 m(t)=a22t lnt+1,m(t)=a2 2t2t2.又 2a2(x0+12)a2,故 m(t)0,m(t)m?a2(x0+12)?0,(t)在(0,a2(t+12)上递减,则(t)(a2(x0+12)=0,不满足题意.(12 分)综上,a 的取值范围为(0,2).(注:第(2)小题的取点过程若用极限代替,不扣分)高三数学试题参考答案 第 5 页（共 5 页）