人教A版新教材必修第一册《1.4.2充要条件》教案(定稿).docx
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1、1.4.2充要条件学习目标1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明导语同学们,上节课,我们学习了充分条件与必要条件,让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一,同样的条件也可能得出不同的结论,但生活中还有一些实例,比如:“人不犯我,我不犯人,人若犯我,我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构,其实在我们数学上,也有很多类似的问题,让我们一探究竟吧!一、充要条件问题1下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题?(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等;(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等;(3)若
2、一元二次方程ax2bxc0有两个不相等的实数根,则ac0;(4)若AB是空集,则A与B均是空集提示不难发现,上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题;命题(2)是真命题,但它的逆命题是假命题;命题(3)是假命题,但它的逆命题是真命题问题2你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p,q的关系吗?提示首先原命题和逆命题都是成对出现的,不能说单独的一个命题是逆命题判断p是q的什么条件,其实质是判断“若p,则q”及其逆命题“若q,则p”是真是假,原命题为真而逆命题为假,p是q的充分不必要条件;原命题为假而逆命题为真,则p是q的必要不充分条件;原命题为真,逆命题为真,则p是q的充要条件;原命题
3、为假,逆命题为假,则p是q的既不充分也不必要条件知识梳理如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有pq,又有qp,就记作pq,此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件注意点:充要条件的判断方法:确定哪个是条件,哪个是结论;尝试用条件推结论;再尝试用结论推条件;最后判断条件是结论的什么条件例1指出下列各组命题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)(1)p:x1,q:x1;(2)p:1x5,q:x1且x5;(3)p:x2y,q:(x2)2y2;(4)p:a是自然数;q:a是正
4、数解(1)当x1时,x1成立;当x1时,x1或x2.p是q的充分不必要条件(2)1x5x1且x5,p是q的充要条件(3)由q:(x2)2y2,得x2y且x2y,又p:x2y,故p是q的必要不充分条件(4)0是自然数,但0不是正数,故pq;又是正数,但不是自然数,故qp.故p是q的既不充分也不必要条件反思感悟判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假(2)集合法:即利用集合的包含关系判断(3)等价法:即利用pq与qp的等价关系,一般地,对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价法(4)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1p2
5、pn,可得p1pn;充要条件也有传递性跟踪训练1指出下列各组命题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)(1)p:三角形为等腰三角形,q:三角形存在两角相等;(2)p:O内两条弦相等,q:O内两条弦所对的圆周角相等;(3)p:AB,q:A与B之一为空集;(4)p:a能被6整除,q:a能被3整除;解(1)充要条件;(2)必要不充分条件;(3)必要不充分条件;(4)充分不必要条件二、充要条件的证明例2求证:一元二次方程ax2bxc0(a,b,c是常数且a0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac0,且x1x20,ac0.充分性:由ac0及x1x
6、20,方程ax2bxc0(a0)有一正一负两实根综上,一元二次方程ax2bxc0(a,b,c是常数且a0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围解p:2x10,q:1mx1m(m0)因为p是q的必要不充分条件,所以q是p的充分不必要条件,即x|1mx1mx|2x10,故有或解得m3.又m0,所以实数m的取值范围为m|00)因为p是q的充分不必要条件,设p代表的集合为A,q代表的集合为B,所以AB.所以或解得m9,即实数m的取值范围为m|m92本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由解因为p:2x
7、10,q:1mx1m(m0)若p是q的充要条件,则m不存在故不存在实数m,使得p是q的充要条件反思感悟应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解跟踪训练3在充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中,若问题中的a存在,求a的取值集合M,若问题中的a不存在,说明理由问题:已知集合Ax|0x4,集合Bx|1ax1a(a0),是否存在实数a,使得xA是xB成立的_?解由题意知Ax|0x4,若选,则A是B的真子集
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