人教A版新教材必修第一册《习题课 函数性质的综合问题》教案（定稿）.docx

1、习题课函数性质的综合问题学习目标1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件.2.掌握函数性质的综合应用问题一、函数图象的对称性问题1当函数yf(x)的图象关于直线xa对称时，会满足怎样的条件呢？提示如图所示，在xa两边取对称的两个自变量的值，如ax，ax，由对称性知它们的函数值相等，即f(ax)f(ax)；反之，若对定义域内任意x都有f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称问题2当函数yf(x)的图象关于点(a，0)对称时，又会满足怎样的条件呢？提示如图所示，在xa两边取对称的两个自变量的值，如ax，ax，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(ax)f(ax)；反之，若对定

2、义域内任意x都有f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于点(a，0)对称知识梳理1函数图象关于直线对称yf(x)在定义域内恒满足的条件yf(x)的图象的对称轴f(ax)f(ax)直线xaf(x)f(ax)直线xf(ax)f(bx)直线x2.函数图象关于点对称yf(x)在定义域内恒满足的条件yf(x)的图象的对称中心f(ax)f(ax)(a，0)f(x)f(ax)f(ax)f(bx)f(ax)f(bx)c例1定义在R上的偶函数yf(x)，其图象关于点对称，且x0,1时，f(x)x，则f等于()A1 B0 C1 D.答案B解析yf(x)的图象关于点对称，ff0，即f(1x)f(x)0.又y

3、f(x)为偶函数，f(x)f(x)，f(1x)f(x)0，即f(1x)f(x)，ff0.反思感悟解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法：(1)图象法，根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论(2)性质法，根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题注意：使用性质要规范，切不可自创性质！跟踪训练1若函数yf(x)在(0,2)上单调递增，函数yf(x2)是偶函数，则下列结论正确的是()Af(1)ff Bff(1)fCfff(1) Dff(1)f答案B解析yf(x2)是偶函数，f(2x)f(2x)故yf(x)的图象关于直线x2对称，ff，ff，又f(x)在(0,2)上单调递

4、增，1，ff(1)f，即ff(1)f.二、函数性质的综合应用例2已知函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f.(1)确定函数f(x)的解析式(2)用定义法证明f(x)在(1,1)上是增函数(3)解不等式：f(t1)f(t)0.(1)解根据题意得即解得f(x).(2)证明任取x1，x2(1,1)，且令x1x2，f(x1)f(x2).1x1x21，x1x20,1x0,1x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在(1,1)上是增函数(3)解f(t1)f(t)f(t)f(x)在(1,1)上是增函数，解得0t.不等式的解集为.反思感悟奇偶性、单调性的综合应用利用函数的奇

5、偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域跟踪训练2已知函数f(x)的定义域为(2,2)，函数g(x)f(x1)f(32x)(1)求函数g(x)的定义域(2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)0的解集解(1)由题意可知所以解得x，故函数g(x)的定义域为.(2)由g(x)0，得f(x1)f(32x)0，所以f(x1)f(32x)因为f(x)为奇函数，所以f(x1)f(2x3)而f(x)在(2,2)上是减函数，所以解得x2.所以不等式g(x)0的解集

6、为.1知识清单：(1)函数的对称轴和对称中心(2)函数奇偶性的综合应用2方法归纳：数形结合、等价转化3常见误区：容易忽视奇函数中的隐含条件f(0)0.1下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是()答案B2设f(x)是R上的偶函数，且在(0，)上单调递减，若x10，则()Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)Df(x1)与f(x2)的大小关系不确定答案A3已知定义在R上的奇函数f(x)，且当x0，)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x1)f(1)0的解集是()A(，1) B(1，)C1，) D(，1答案C解析因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x1)f(1

7、)0等价于f(2x1)f(1)又当x0时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上为增函数，所以f(2x1)f(1)等价于2x11，解得x1.4已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x2)5的解集是 _.答案(7,3)1已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(2)的值是()A0 B1 C2 D4答案A解析由题意得f(02)f(2)f(0)0.2已知f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上()A单调递增 B单调递减C有增有减 D增减性不确定答案B解析由f(x)是偶函数，即f(x)f(x)，得m0，所以f(x)x

8、23，画出函数f(x)x23的图象(图略)知，在区间(2,5)上单调递减3已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)f(4x)，当2x0时，f(x)，则f等于()A2 B C. D2答案D解析f(x)f(4x)，f(x)的图象关于直线x2对称，ff.又函数f(x)为奇函数，ff(2)2，即f2.4已知函数f(x)在区间(0,2)上是减函数，又函数yf(x2)是偶函数，那么f(x)()A在区间(2,4)上是减函数B在区间(2,4)上是增函数C在区间(2,0)上是减函数D在区间(2,0)上是增函数答案B解析函数yf(x2)是偶函数，函数yf(x2)关于y轴对称，即函数yf(x)关于x2对称，

9、函数f(x)在(0,2)上是减函数，函数f(x)在(2,4)上是增函数5已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析偶函数满足f(x)f(|x|)，根据这个结论，有f(2x1)ff(|2x1|)f，进而转化为不等式|2x1|，解这个不等式得x的取值范围是.6(多选)若函数yf(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是()A3个交点的横坐标之和为0B3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关Cf(0)0Df(0)的值与函数解析式有关答案AC7已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(

10、4,4)，且在(4,0上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)g(x)0的解集是_答案(4，2)(0,2)解析设h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，所以h(x)是奇函数，由图象可知，当4x0，g(x)0，即h(x)0，当0x2时，f(x)0，即h(x)0，所以h(x)0的解集为(4，2)(0,2)8设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x对称，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_.答案0解析f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.又f(x)关于直线x对称，ff.在式中，当x时，f(0)f(1)0.在式中，以x代替x，得f

11、f，即f(x)f(1x)f(2)f(11)f(1)f(1)0，f(3)f(12)f(2)f(2)0，同理，f(4)f(5)0.f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)0.9已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)的解析式解(1)根据题意，得函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)1，则f(2)f(2).(2)根据题意得，当x0时，f(x)1.在(，0)上任取x1，x2，且x1x2，则f(x1)f(x2).又由x110，x210，可得f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)由定义可知，函数yf(x)在区间(，0)上单调递减(3)当x0时，x0)在区间0,2上的最小值为g(m

12、)求函数g(m)的解析式解因为f(x)x2mx2(m0)，所以当02，即04时，函数f(x)2在区间0,2上单调递减，此时g(m)f(2)42m.综上可知，g(m)11. 定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图，则下列函数中在(2,0)上与f(x)的单调性不同的是()Ayx21 By|x|1Cy Dy答案D解析易知f(x)在(2,0)上单调递减，A，B，C选项中函数在(，0)上单调递减，D选项中，函数在(，0)上单调递增12若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2R，有f(x1x2)f(x1)f(x2)1，则下列说法一定正确的是()Af(x)1为奇函数 Bf(x)1为偶函数Cf(x)

13、1为奇函数 Df(x)1为偶函数答案C解析对任意x1，x2R有f(x1x2)f(x1)f(x2)1，令x1x20，得f(0)1.令x1x，x2x，得f(0)f(x)f(x)1.f(x)1f(x)1f(x)1，f(x)1为奇函数13设定义在R上的奇函数f(x)在(0，)上单调递增，且f(1)0，则不等式xf(x)f(x)0的解集为()Ax|1x1Bx|x1或0x1Cx|x1Dx|1x0或0x1答案D解析奇函数f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(x)，xf(x)f(x)0，xf(x)0，又f(1)0，f(1)0，从而有函数f(x)的大致图象如图所示则不等式xf(x)f(x)0的解集为x|1x

14、0或0x114已知函数f(x)若f(x1)0，则x0，f(x)(x)22xx22xf(x)，同理可得，当x0时，函数f(x)单调递增，所以不等式f(x1)f(2x1)等价于|x1|0，解得x0或x2.15(多选)函数f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数yf(xa)b为奇函数，下列函数有对称中心的是()Af(x)x Bf(x)x33x2Cf(x)x4x2 Df(x)答案ABD解析函数yf(xa)b为奇函数，f(xa)bf(xa)b，即f(xa)f(xa)2b.对于A，由f(xa)f(xa)2b得ab，对于任意的ab，P(a，b)都是其对称中心，故A满足题意；对于B，f(

15、x)x33x2x2(x3)，f(x1)f(x1)(x1)2(x2)(x1)2(x2)4，当a1，b2时，P(1，2)即为其对称中心，故B满足题意；对于C，f(x)x4x2是偶函数，图象关于y轴对称，且f(x)在(0，)单调递增，在(，0)单调递减，其图象大致为故不可能找到一个点使它为中心对称图形，故C不满足题意；对于D，f(x)的图象如图所示其图象关于(1,0)对称16定义在(，0)(0，)上的函数yf(x)满足f(xy)f(x)f，且函数f(x)在(，0)上单调递减(1)求f(1)，并证明函数yf(x)是偶函数；(2)若f(2)1，解不等式ff1.解(1)令y0，则ff(x)f，得f(1)f(x)f(x)0，再令x1，y1，可得f(1)f(1)f(1)，得2f(1)f(1)0，所以f(1)0，令y1，可得f(x)f(x)f(1)f(x)，又该函数的定义域关于原点对称，所以f(x)是偶函数(2)因为f(2)1，又该函数为偶函数，所以f(2)1.因为函数f(x)在(，0)上单调递减，所以函数f(x)在(0，)上单调递增又ffff(2x4)，所以f(|2x4|)f(2)，即解得1x2或2x3.所以不等式ff1的解集为1,2)(2,3