人教A版新教材必修第一册《2.2 第1课时 基本不等式》教案（定稿）.docx

1、第1课时基本不等式学习目标1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题导语从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！一、基本不等式的证明与理解问题1如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗

2、？提示正方形的边长AB，故正方形的面积为a2b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立，我们称该不等式为重要不等式问题2现在我们讨论一种特别的情况，如果a0，b0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样结论？提示用，分别替换上式中的a，b可得到ab2，当且仅当ab时，等号成立我们习惯表示成.问题3上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a0，b0都能成立？请给出证明提示方法一(作差法)0，即，当且仅当ab时，等号成立方法二(性质法)要证，只需证2ab，只需证2ab0，只需证()20，显然()20

3、成立，当且仅当ab时，等号成立方法三(利用几何意义证明)如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，ACa，BCb，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有ACDDCB，故CD，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为，由此也可以得出圆的半径不小于半弦知识梳理1基本不等式：如果a0，b0，则，当且仅当ab时，等号成立2其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数3两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数二、求简单代数式的最值例1已知x0，求x的最小值解因为x0，所以x24，当且仅当x，即x2时等号成立，因此所求的最小值为4.延伸探究1当x0时，求x的最大值解原多项式可变

4、为x，因为x0，故有x24，所以4，当且仅当x，即x2时等号成立故原式的最大值为4.2当x1时，求x的最小值解因为x1，故有x10，所以xx11215，当且仅当x1，即x3时等号成立因此所求的最小值为5.反思感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的x的值是否为已知范围内的值，三点缺一不可跟踪训练1(多选)下面四个推导过程正确的有()A若a，b为正实数，则22B若aR，a0，则a24C若x，yR，xy0，则22D若a0，b0，则ab答案

5、AC解析A中，a，b为正实数，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确；B中，aR，a0，不符合基本不等式的条件，故B错误；C中，由xy0，b0时，有；ab2；ab2.由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值知识梳理最值定理已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当xy时，和xy有最小值2；(2)如果和xy等于定值S，那么当且仅当xy时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大注意点：(1)三个关键点：一正、二定、三相等一正：各项必须为正；二定：各项之和或各项之积为定值；三相等：必须验

6、证取等号时的条件是否具备(2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换例2(1)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77C81 D82答案C解析因为x0，y0，所以，即xy281，当且仅当xy9时，等号成立，即(xy)max81.(2)若m0，n0，mn81，则mn的最小值是()A4 B4 C9 D18答案D解析因为m0，n0，mn81，所以mn218，当且仅当mn9时，等号成立，故mn的最小值是18.反思感悟通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求最值应注意以下几个方面：拼凑的技巧，以整式

7、为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提跟踪训练2(1)已知正数a，b满足ab8，则a2b取得最小值时a，b的值分别为()A2,2 B2,4C4,4 D4,2答案D解析因为a0，b0，所以a2b228，当且仅当即时，等号成立，即a2b取得最小值8，所以a2b取得最小值时a，b的值分别为4,2.(2)已知0x0，则yx(12x)2x(12x)2，当且仅当2x12x，即x时，等号成立所以y的最大值为.1知识清单：(1)基本不等式的推导与证明(2)求简单代数式的最值(3)最值定理2方法归纳：拼凑法3

8、常见误区：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字，更是不能缺少1不等式a212a中等号成立的条件是()Aa1 Ba1Ca1 Da0答案B解析当a212a，即(a1)20，即a1时，等号成立2已知x0，则x2有()A最大值0 B最小值0C最大值4 D最小值4答案C解析x0，x22224.当且仅当x，即x1时“”成立x2(x0)有最大值为4.3下列结论正确的是()A当x0且x1时，x2B当x0时，2C当x0，x的最小值为2D当x0时，x的最小值为2答案B解析选项A不满足“取等号时的条件”，故不正确；选项C不满足“各项必须为正”，故不正确；选项D不满

9、足“积为定值”，故不正确4已知y4x(x0，a0)在x3时取得最小值，则a的值为_答案36解析y4x(x0，a0)，y4x24，当且仅当4x即x时，等号成立又y4x(x0，a0)在x3时取得最小值，3，a36.1下列不等式中正确的是()Aa4 Ba2b24abC. Dx22答案D解析若a0，则a4不成立，故A错；若a1，b1，则a2b24ab，故B错；若a4，b16，则1)B. yC. yt(t1)Dyt1(t0)答案B解析A中，yt2，当且仅当t1时等号成立；B中，y2，当且仅当t1时等号成立；C中，ytt113；D中，yt13.3设x，y满足xy40，且x，y都是正数，则xy的最大值是()

10、A400 B100 C40 D20答案A解析(x0，y0)，xy22400.当且仅当xy20时，等号成立xy的最大值是400.4设x0，则33x的最大值是()A3 B32 C1 D32答案D解析x0，3x22，当且仅当x时，等号成立，2，则33x32，即33x的最大值为32.5(多选)下列不等式中正确的是()Aa212a B.2C.2 Dx21答案BD解析由基本不等式可知B，D正确6(多选)下列条件可使2成立的有()Aab0 Bab0，b0 Da0，b0，0.7已知0x1，则x(1x)的最大值为_，此时x_.答案解析因为0x0，所以x(1x)22，当且仅当x1x，即x时“”成立，即当x时，x(

11、1x)取得最大值.8已知x，则函数yx1的最小值为_答案解析由x得x0，则函数yx1x22，当且仅当，即x时，等号成立，此时函数取得最小值.9已知x3，求x的最小值解因为x3，所以x30，所以x(x3)323237，当且仅当x3，即x5时，等号成立所以x的最小值为7.10(1)已知x，求y4x2的最大值；(2)已知0x，求yx(12x)的最大值解(1)x0，y4x23231，当且仅当54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1.(2)0x0，y2x(12x)2，当且仅当2x12x，即x时，上式等号成立，故当x时，ymax.11式子的最小值为()A3 B4 C6 D8答案B解析|x|2

12、4，当且仅当|x|，即x2时，等号成立，故最小值为4.12若0x0，y0，且x2y4，则(1x)(12y)的最大值为()A16 B9 C4 D36答案B解析(1x)(12y)229，当且仅当1x12y，即x2，y1时，等号成立，故所求最大值为9.14已知x0，y0,2x3y6，则xy的最大值为 _.答案解析因为x0，y0,2x3y6，所以xy(2x3y)22.当且仅当2x3y，即x，y1时，xy取得最大值为.15(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有()A(1,4) B(6,8)C(7,12) D.答案AC解析设矩形的长和宽分别为x，y，则xyl，Sxy.由xy2知，S，故A，C成立16已知x，y为正实数，3x2y10，求W的最大值解x，y为正实数，3x2y10，W23x2y210(3x2y)20，当且仅当3x2y，3x2y10，即x，y时，等号成立W2，即W的最大值为2.